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专项培优8特殊四边形中的折叠问题
类型 1 把一个顶点折叠到一条边上
1.如图，已知四边形 ABCD 是边长为6 的菱形，且∠BAD=120°,点 E,F分别在AB,BC边上,将菱形沿 EF 折叠,使点 B 正好落在 AD 边上的点 G处.若EG⊥AC,则 FG的长为 .
2.如图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD，P为AD边上的一点(不与点 A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点 B落在点 P 处，点C落在点G处，PG交 DC于点 H,折痕为 EF,连接 BP,BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH.
(2)当点 P 在边 AD上移动时,△PDH 的周长是否发生变化 请证明你的结论.
类型2 把一个顶点折叠到一条对角线上
3.如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=120°,将△AEF折叠,使点A恰好落在对角线 BD上的点 G处(不与点 B，D重合)，折痕为 EF.若DG=2,BG=6,求AF的长.
类型3 把一个顶点折叠到另一个顶点上
4.[2025 深圳月考]把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和 D 重合，折痕为 EF.
(1)连接 BE,求证:四边形 BFDE 是菱形;
(2)若AB=8cm,BC=16 cm,求线段 DF的长.
类型4 把一个顶点折叠到四边形内(外)
5.如图,在△ABC 中,AB>AC,∠A=30°,AC=6,点 E 为 AC 的中点,点 F 为边AB 上的一个动点，将三角形沿 EF 折叠，点A 的对应点为A′，当以 E，F，A′，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段 AF 的长为 .
6.如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=3,AB=CD=9.在矩形ABCD的边AB上取一点 E,在CD上取一点 F,且 E,F不与矩形的顶点重合，将纸片沿 EF折叠，点 B 的对应点是点 B',点 C的对应点是点 C',EB'与CD交于点G,得到△EFG.
(1)若∠BEF=70°,则∠EGF= .
(2)探究△EFG的形状，并说明理由.
(3)如何折叠能够使△EFG的面积最大 请你画图探究并求出最大值.
类型5 多次折叠
7.[2025佛山南海区模拟]在一节综合实践课上，数学老师要求同学们动手折叠一张正方形纸片AB-CD,如图,M是边 AB 的中点,P,Q是 DC 边上的两个动点,连接 PM,QM,将∠AMP 折叠,使点A落在线段 PM 上的点 A'处,EM 是折痕,将∠BMQ折叠,使点 B落在线段 QM 上的点 B'处,FM是折痕.
(1)如图①,当点 P 与点 Q 重合时.
①线段 EM与FM的位置关系是： ；
②请说明:∠DEM=∠AMF.
(2)如图②,当点 P 在点 Q 的左侧时,若∠PMQ=30°,求∠EMF 的度数.
(3)若∠PMQ=α,则∠EMF 的度数为 .(用含α的代数式表示)
专项培优 8 特殊四边形中的折叠问题
1.3 【点拨】如图,设AC与EG交于点O,FG交AC 于点 H.∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=120°,∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD.∴△ABC,△ACD 都是等边三角形. ∴∠CAD =∠B = 60°. ∵ EG⊥AC,∴∠GOA=90°.∴∠AGO=30°.由折叠可知∠EGF=∠B = 60°,∴∠AGH = 90°.∴FG⊥ AD. ∵ AD ∥ BC,∴FG=等边三角形ABC的边 BC上的高
2.(1)【证明】∵四边形 ABCD 为正方形,∴AD∥BC.∴∠APB=∠PBC.
由折叠的性质,得∠EPH=∠EBC,PE=BE,
∴∠EBP=∠EPB.
∴∠EBC-∠EBP=∠EPH-∠EPB,即∠PBC=∠BPH.
∴∠APB=∠BPH.
(2)【解】△PDH的周长不发生变化.证明如下：过点 B作BQ⊥PH,垂足为 Q,
∴∠BQP=∠BQH=90°。
∵四边形 ABCD为正方形，
∴∠A=∠C=90°,AB=BC.
∵BP=BP,∠A=∠BQP,由(1)知∠APB=∠BPH,
∴△ABP≌△QBP.∴AP=QP,AB=QB.
又∵AB=BC,∴BC=BQ.
又∵BH=BH,∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH=QH.
∴△PDH的周长为 PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+CD=8.
故△PDH的周长不发生变化.
3.【解】作 FH⊥BD于点 H.由折叠的性质可知,FG=FA.由题意得 BD=DG+BG=8.
∵四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=120°,
∴△ABD为等边三角形.∴AD=BD=8.
设AF=x,则FG=x,DF=8-x.
在 Rt△DFH 中,易知∠FDH=60°,∴∠DFH=30°.
在 Rt△FDH 中,由勾股定理得
在Rt△FHG中, 即 解得
∴AF的长为
4.(1)【证明】如图,由折叠可知,EF 垂直并平分BD,设BD与EF 交于点O,则 BF=DF,OB=OD.
∵四边形 ABCD 是矩形,∴DE∥BF.
∴∠EDO=∠FBO.
又∵∠EOD=∠FOB,
∴△DOE≌△BOF(ASA).∴DE=BF.
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
又∵BF=DF,∴四边形 BFDE 是菱形.
(2)【解】设DF= xcm,则BF= xcm,则CF=(16-x) cm.在 Rt△DCF中，由勾股定理得 解得x=10,∴DF=10 cm.
5.3或 3【点拨】如图①，四边形 A'CEF 是平行四边形,且点 A'与点 F 在直线AC 的同侧.∵AC=6,点 E为AC 的中点, 由折叠得 A'E=AE=3,∵四边形 A'CEF 是平行四边形,∴A'F∥CE,A'F=CE.∴A'F∥AE,A'F=AE.∴四边形 A'EAF 是平行四边形.∴AF=A'E=3.如图②,四边形 A'CFE 是平行四边形，且点 A'与点 F 在直线AC 的异侧，作 CG⊥AB于点G.∵∠AGC=90°,∠A=30°,∴CG= AC=3.由折叠得A'E=AE=3,∵四边形A'CFE 是平行四边形,∴CF=A'E=3.∴CF=CG.若点 F 与点G 不重合,则CF>CG,这与CF=CG不符,∴点 F 与点 G 重合.∴∠AFC= ∠AGC = 90°. ∴ AF = 综上所述，线段AF 的长为3或3 .故答案为3或3
6.【解】(1)40°
(2)△EFG是等腰三角形.理由如下:在矩形 ABCD 中,AB∥CD,∴∠GFE=∠BEF.
根据折叠可知∠GEF=∠BEF,
∴∠GEF=∠GFE.
∴GE=GF.∴△GEF 是等腰三角形.
(3)当点 B'与点 D 重合时,△EFG的面积最大,如图. ∵AD=(B')D GF.由(2)可知GF=GE,设GE=GF=x,根据折叠,得 BE=GE=x.
∵AB=9,∴AE=9-x.
在 Rt△AEG中，根据勾股定理得 解得x=5,∴GF=GE=5.
∴△EFG面积的最大值
7.【解】(1)①EM⊥FM
②由①得 EM⊥FM,即∠EMF=90°,
∴∠AMF=∠AME+∠EMF=∠AME+90°.
∵∠DEM为△AEM的一个外角,
∴∠DEM=∠A+∠AME=90°+∠AME.
∴∠DEM=∠AMF.
(2)∵∠PMQ=30°,
由折叠可知∠AME=∠PME,∠BMF=∠QMF,即
∴∠EMF=180°-(∠AME+∠BMF)=180°-75°=105°.
或

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