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第2课时 正方形的判定
基础提优题目
1.下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是 ( )
2.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列三个结论:①当 AB=BC 时,它是菱形;②当 AC⊥BD时,它是矩形;③当AC=BD,AC⊥BD时,它是正方形.其中结论正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形 EFGH 是正方形，BD，AC应满足的条件是 .
4.如图,正方形 ABCD的对角线 AC,BD 相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若 则点 E 到边CD的距离为 .
5.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD相交于点O，点 E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点 E,F 分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为 ts，连接DE,DF,BE,BF,已知△ABD 是边长为6 cm的等边三角形，当t= 时，四边形 DEBF 为正方形.
6.[2025商丘期中]如图,在矩形 ABCD中,DE平分∠ADC交边 BC于点 E,过点 E作 EF∥DC交边AD于点 F,连接 BD.
(1)求证:四边形 EFDC是正方形;
(2)若BE=2,DE=3求 BD的长.
综合应用题学
7.如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE,△CBF,△CDG,△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边长之比为1：2，连接 BG，DE,分别交 AE,CG于点 M,N,连接MN,则四边形GBED和四边形 GMEN的面积比为 ( )
A.5:2 B.2:1 C. :1 D.
8.[2025淮北二模]如图,在正方形ABCD中,点 E,F分别是 AB,BC的中点,DE,AF 交于点 G,连接CG,EF,DF,则下列说法正确的个数为 ( )
①△ADE≌△BAF;②DG:DE=4:5;
③依次连接AE,EF,DF,AD的中点 P,Q,M,N,则四边形 MNPQ为等腰梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边 AD,BC的中点,E,F分别是边 BM,CM的中点,当AB:AD= 时,四边形 MENF 是正方形.
10.(1)将矩形纸片ABCD 沿过点 D 的直线折叠，使点 A 落在CD 上的点 A'处，得到折痕 DE,如图①.求证:四边形 AEA'D 是正方形.
(2)将图①中的矩形纸片 ABCD 沿过点 E 的直线折叠，点C恰好落在AD上的点 C'处，点 B 落在点B'处,得到折痕 EF,B'C'交AB 于点 M,如图②.线段 MC'与ME 是否相等 若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由.
创新拓展题
11.如图,四边形 ABCD 为正方形,点 E 为线段AC上一点,连接 DE,过点 E作EF⊥DE,交射线 BC于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形 DEFG是正方形;
(2)若 求CG的长度；
(3)当线段 DE与正方形 ABCD 的某条边的夹角是30°时,直接写出∠EFC的度数.
第2课时正方形的判定
1. B 2. C 3. AC=BD且AC⊥BD
4.0.5 【点拨】如图,连接 EO,交 CD 于点 H.∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形.在正方形ABCD中,AC⊥BD,OD=OC,∴∠COD=90°.∴四边形OCED是正方形. OE⊥CD.∵AC= ,
∴AB= 即点 E到边 CD的距离为0.5.
5.3 【点拨】由题意得 OE=OF=t cm,∴EF=2t cm∵菱形 ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,∴OB=OD,AC⊥BD.又∵OE=OF,∴四边形 DEBF 是菱形.∴当 EF=BD时,四边形 DEBF 是正方形.∵△ABD是边长为6 cm的等边三角形,∴BD=6 cm.由 EF=BD(2t=6,解得t=3,∴当t=3时,四边形 DEBF 是正方形.
6.(1)【证明】∵四边形 ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ADC=∠C=90°.
∵EF∥DC,∴四边形 EFDC为平行四边形.
∵∠C=90°,∴四边形 EFDC为矩形.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC.∴∠CDE=∠DEC.∴CD=CE.
∴四边形 EFDC是正方形.
(2)【解】在 Rt△CDE中,CD=CE,DE=3
∴CD=CE=3.∴BC=BE+EC=2+3=5.
∴在 Rt△BCD中,
7. B
8. C 【点拨】∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=BC=AB,∠ABC=∠BAD=90°.∵E,F分别是AB,BC的中点,∴AE=BF.∴△ADE≌△BAF(SAS).故①正确;∴∠ADE=∠BAF.∵∠DAG+∠BAF=90°,∴∠DAG+∠ADE=90°.∴∠AGE=90°.∴AF⊥DE.设正方形ABCD的边长为 2a,则 AE=a,∴DE= a.∴AG= 故②正确;∵P,Q,M,N 分别是 AE,EF,DF,AD 的中点, PN=QM,PQ∥MN,PQ=MN,∴四边形 PQMN 是平行四边形.由①②可知,AF=ED,AF⊥DE,∴PN=QM=PQ=MN,∠PNM=90°.∴平行四边形 PQMN是正方形.故③错误.综上①②正确，∴正确的个数为2.故选C.
9.1: 2 【点拨】∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,∠A=∠D=∠ABC=∠DCB=90°.∵AB:AD=1:2,M是AD 的中点,∴AB= AM = DM = DC. ∴∠ABM =∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°.∴∠BMC= 90°,∠MBC=∠MCB=45°.∴BM=CM.∵N,E,F 分别是BC,BM,CM的中点,∴ME=MF,NF∥BM,NE∥CM.∴四边形 MENF 是菱形.又∵∠BMC=90°,∴四边形MENF是正方形.
10.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=90°,AB∥CD.
由折叠得AD=A'D,AE=A'E,∠ADE=∠A'DE.
∵AB∥CD,∴∠AED=∠A'DE=∠ADE.
∴AD=AE.∴AD=AE=A'E=A'D.
∴四边形 AEA'D 是菱形.
∵∠A=90°,∴四边形 AEA'D 是正方形.
(2)【解】MC'=ME.
证明:如图,连接C'E,由(1)知AD=AE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC,∠EAC'=∠B=90°.
由折叠知B'C'=BC,∠B=∠B'=90°,
∴AE=B'C',∠EAC'=∠B'=90°.
又∵C'E=EC',
∴Rt△EC'A≌Rt△C'EB'(HL).
∴∠CEA=∠EC'B'.∴MC'=ME.
.(1)【证明】作 EP⊥CD于点 P,EQ⊥BC于点 Q,∴∠EQF=∠EPD=90°.由题意知∠DCA=∠BCA=45°,∴EQ=EP,∠QEC=∠PEC=45°.
在矩形 DEFG中,∠DEF=90°,
∴∠PED+∠FEC=45°.
又∵∠QEF+∠FEC=45°,∴∠QEF=∠PED.
∴△EQF≌△EPD(ASA).∴EF=ED.
∴矩形 DEFG是正方形.
(2)【解】如图①,在正方形 ABCD A 中,AB= BC=2,∠B=90°,
∴点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知
(3)【解】∠EFC=120°或 30°. 【点拨】①当 DE 与AD的夹角为30°时,点 F 在 BC 边上,∠ADE=30°,如图②所示,易得∠ADC=∠DEF=∠DCB=90°,则∠CDE=90°-30°=60°.在四边形 CDEF 中,由四边形内角和定理得 ②当 DE 与DC的夹角为 30°时,点 F 在 BC 的延长线上,∠CDE=30°,如图③所示,设 EF与 DC交于点 H.易得∠HCF=∠DEF = 90°. ∵ ∠CHF = ∠EHD, ∴ ∠EFC =∠CDE=30°.综上所述,∠EFC的度数为 120°或 30°,

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