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20.2勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
基础提优题目
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A. a:b:c=5: 12: 13
B.∠A:∠B:∠C=2: 3:5
C. a=9k,b=40k,c=41k(k>0)
D.
2.若△ABC的三边长a，b，c满足 则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
3.[2025 西安雁塔区月考]如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C,D,M,N均在格点上,点A,B,C,D中能与点M，N构成一个直角三角形的是 ( )
A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D
4.[2025 杨州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;……根据上述规律,写出第⑤组勾股数为 .
5.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,以点 A为圆心,AC长为半径画弧,交AB 于点 D,BD=2,则∠ACB= .
6.如图,把一块△ABC土地划出一个△ACD 后,测得 CD=3 m,AD=4 m,BC=12 m,AB=13 m,其中∠ACB=90°.
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求图中阴影部分的面积.
综合应用题
7.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 ( )
8.如图,在△ABC 中,AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则△ABC的面积为 ( )
A.30 B.24 C.20 D.48
9.如图是3×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点.线段 AB，CD 的端点均在格点上，且交于点O，则∠BOD 的度数为 ( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
10.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于 m是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示).
11.如图所示，在△ABC中，AB：BC:CA=3:4:5,且周长为36 cm,点 P 从点A 开始沿 AB边向点 B 以 1 cm/s的速度移动;点Q从点 B 开始沿 BC边向点 C以2cm /s的速度移动，如果同时出发,则 3 s 时,△BPQ 的面积为 cm .
12.[2025 淄博期末] (1)如图①,P 是等边三角形ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10.若 P'是△ABC外的一点,且△P'AB≌△PAC,求 PP'的长度及∠APB的度数；
(2)如图②,Q 是等边三角形 ABC 内一点,QA=5,QB=12,∠AQB=150°,求 CQ的长.
创新拓展题
13.[2025泉州期末]小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”.
(1)如图①，已知线段AB=12，小明在线段AB上取点M和N，使得 再将线段AM，MN，BN围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形；
(2)如图②，P为线段AB上一点，请在线段 BP 上作点 Q,使AP,PQ,QB(PQ(3)已知正方形 A，B的边长分别为有理数m，n，且满足 若正方形C的面积等于正方形 A 和正方形 B 的面积之和.求证：正方形C的边长也是有理数.
1. D
2. D【点拨】由题意得 解得 且a=b.∴△ABC是等腰直角三角形,故选 D.
点易错已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不是直角三角形.在利用公式 时，一定要注意c是最大边，即∠C=90°.
3. D 4.11,60,61 5.90°
6.【解】(1)△ACD是直角三角形.
理由:∵∠ACB=90°,BC=12 m,AB=13 m,
∴由勾股定理得 AC=5m .
又∵CD=3m,AD=4m,
∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°.
(2)图中阴影部分的面积
点方法将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积的和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度、三边长度等.
7. C
8. B
9. B
10. m 【点拨】由题意得 ·m是大于1的奇数,∴b=m.
11.18
12.【解】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵△P'AB≌△PAC,
∴P'A=PA=6,P'B=PC=10,∠P'AB=∠PAC.
∴易知∠P'AP=∠BAC=60°.
∴△APP'为等边三角形.
∴PP'=PA=6,∠APP'=60°.
∴△BPP'为直角三角形，且
(2)将△QAC绕点 A 逆时针旋转 60°得到△Q'AB,连接QQ',则△Q'AB≌△QAC,
∴Q'A=QA=5,Q'B=QC,∠Q'AQ=60°.
∴△AQQ'为等边三角形.
(负值已舍去).∴QC=13.
13.【解】
∴AM=3,MN=4.
∴BN=12-3-4=5.
∵AM +MN =9+16=25=BN ,
∴由线段AM，MN，BN围成的三角形是直角三角形.
(2)点Q的位置如图所示.
(3)设正方形 C 的边长为x,
∴1-n-m+ mn=1-(n+m)+ mn=
则
∵m，n都是有理数， 也是有理数，即正方形 C的边长也是有理数.

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