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20.1勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
基础提优题目
1.在△ABC 中,∠C=90°,若, 则 AB + ( )
A.3 B.6 C.2 D.4
2.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,BC=a,AC=b,AB=c,则下列说法错误的是 ( )
A. B.
C. a=b D.∠C=90°
3.[2025 安徽] 如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边 AC 的中点为 D,边 BC 上的点 E 满足ED⊥AC.若 则AC的长是 ( )
A.4 B.6 C.2 D.3
4.若实数m，n满足0,且m,n恰好是 Rt△ABC的两条边长,则第三条边长为 .
5.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点 A 为圆心,以 AB长为半径作弧；再以点 C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在 AC 上方交于点 D,连接 BD,则 BD 的长为 .
7.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①中空白部分的面积为 S ，图②中空白部分的面积为 S .
(1)请用含 a,b,c的代数式分别表示 S ,S ;
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.
综合应用题
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,若AC=4,BC=2,则阴影部分的面积为 ( )
A.4 B.4π C.8π D.8
9.[2025 安顺期末]如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE=10,BE=24,则 EF的长是 ( )
A.14 B.16 C. D.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 在边 BC上,把△ABC沿直线AD折叠，使得点 B的对应点 B'落在AC的延长线上,则 CD= .
11.如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则 AF 的长是 .
12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0),点 B 的坐标为(2,0),点 M 为x轴上方一动点，且 MA=2，以 BM 为边构造等边三角形BMP,连接 AP,当线段 AP 取最大值时,AP= ,点 M 的坐标为 .
13.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm /s的速度运动，设运动的时间为 t s.
(1)当点 P 运动到 BC的中点时,t的值是 ;
(2)在4s 内,若BP=AP,求 BP的长;
(3)当△ABP 为直角三角形时,求t的值.
创新拓展题
14.已知在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为直线 BC上一动点，连接AE.
(1)如图①,若E为线段 BC上的一点且满足∠CAE=15°,若 求线段AE的长；
(2)如图②,若E为线段 BC上的一点,过点 C作CF∥AB交AE的延长线于点 F,过点 B 作 BG⊥AF于点 G,延长 BG交 CF于点 H,连接 EH,试探究线段 AE，BH，EH之间的数量关系，并证明其结论；
(3)如图③,AC=3,将AE绕点 A 逆时针旋转 60°得到 AE',连接 BE',请直接写出 BE'的最小值.
1. B 2. A 3. B 4.5 或 5.
7.(1)【解】根据题意得
(2)【证明】由题意得
5点步骤证明勾股定理的三个步骤：
(1)读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成的，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少；
(2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式；
(3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理。
8. A 9. D
10.3 【点拨】在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6, 由折叠得,BD=B'D,AB'=AB=10,∴B'C=AB'-AC=10-6=4.设 CD=x,则 B'D=BD=8-x.在Rt△DB'C中,( 即 解得x=3,∴CD=3.
11.10
12.6 ;(-3, )【点拨】如图①，以M为顶点，MA 为边构造等边三角形AMN,连接BN,
∴AN=NM=AM=2,∠AMN= 60°. 由 题 知 BM = MP,∠BMP = 60°.∴∠BMP=∠AMN.∴∠AMN+∠AMB=∠BMP+∠AMB,即∠NMB=∠AMP.∴△NMB≌△AMP.∴BN=AP.易知BN≤AN+AB,当N,A,B三点共线(如图②)时，BN 最大，此时AP 取最大值，最大值为BN的长.如图②,过点 M 作MT⊥x轴于点 T.易知 (负值已舍去).由题知OA=OB=2,∴OT=3,AB=4.∴M(-3, ),BN=AN+AB=2+4=6.∴AP 的最大值为6.
13.【解】(1)2
(2)易知 BC=8cm .当点 P 到达点C时,t=8÷2=4,
∴在4 s内,点 P 在线段 BC 上.
∵AP=BP=2tcm,BC=8cm,
∴PC=(8-2t) cm.
根据勾股定理得
即 解得
(3)①当∠APB=90°时,点 P 和点C 重合,t=8÷2=4;
②当∠BAP=90°时,点 P 在线段BC 的延长线上.
∵BP=2tcm,BC=8cm,
∴PC=(2t-8) cm.
在 Rt△ACP 中，根据勾股定理得 在 Rt△ABP 中,根据勾股定理得
解得
综上,t=4 或
14.【解】(1)如图①,过点 E 作 EM⊥AB 于点M.
∵在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,
AC=BC,
∴∠CAB=∠B=45°.
∵∠CAE=15°,
∴∠BAE=30°.∴AE=2EM.
∵EM⊥AB,∠B=45°,
∴△BEM是等腰直角三角形.∴BM=EM.
∴EM=2.∴AE=4.
(2)AE=BH+EH.
证明如下：如图②，延长AC，BH交于点T.
∵BH⊥AF,∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BGE=90°.
∵∠AEC=∠BEG,
∴易得∠CAE=∠CBT.
∵∠ACE=∠BCT=90°,AC=BC,
∴△ACE≌△BCT.∴CE=CT,AE=BT.
∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠ABC=∠CAB=45°.
∵CF∥AB,
∴∠ECF=∠ABC=45°,∠TCH=∠CAB=45°.
∴∠HCT=∠HCE.
又∵CH=CH,∴△HCT≌△HCE.∴HT=EH.
∴AE=BT=BH+HT=BH+EH.
(3)BE'的最小值为 【点拨】如图③，将 AC绕点A 逆时针旋转 60°得到 AN，连接 NE'.由旋转的性质可得 AN = AC, AE' = AE,∠CAN =∠EAE' = 60°, ∴∠E'NA=∠ECA=90°.∵N 是定点,∴点 E'在过点N且与AN 垂直的直线上运动.∴当BE'⊥NE'时,BE'有最小值.过点 B 作 BQ⊥NE'于点 Q,延长 BC 交直线NE'于点 P,连接 PA.∵在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°,∵∠ANQ=90°,即AN⊥NE',∴AN∥BQ.∴∠ABQ=180°-∠BAN=180°—45°—60°=75°.∴∠PBQ=30°.∴PQ= BP.∴BQ= PQ.∵AN=AC,AP=AP,∴Rt△APN≌Rt△APC. ∴∠PAC = ∠PAN = ∠CAN= 30°. 易知 BC=3,∴BP= 易知BE'的最小值为

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