资源简介

专项培优4勾股定理中的折叠问题
类型 1 三角形中的折叠问题
1.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,BC=6 cm,AB=10 cm,将斜边AB翻折，使点 B 落在直角边 AC 延长线上的E处，折痕为AD，则CE的长为 ( )
A.2cm B.3cm C.4 cm D.5cm
2. 如图,在 Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点 C与AB 的中点 D 重合,折痕交 AC于点 M,交 BC于点 N,则线段 CN的长为 ( )
A.4 B.5 C. D.
3.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D 是边 AC 的中点,E是边 BC 上一点,连接BD,DE.将△CDE沿 DE 翻折,点 C落在 BD上的点 F处,则CE= .
类型2 长方形中的折叠问题
4.如图,在长方形 ABCD中,AB=4 cm,AD=12 cm,将此长方形折叠,使点 D 与点B重合，折痕为 EF，则AE的长为 ( )
A.3 B.4 C. D.
5.[2025深圳盐田区期中]如图，在长方形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=4 cm.把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点 F，则重叠部分△ACF的面积为 ( )
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm
6.如图,在长方形纸片 ABCD中,AB=5,BC=13,E,F分别在边 AB,BC上,将△BEF沿EF折叠,点 B落在 B'处,当 B'在 AD 上时,B'在 AD 上可移动的最大距离为 .
7.如图,在长方形 ABCD中,AB=1,BC=2,E是边AD 上的一个动点，将△ABE沿 BE 翻折，点A落在 F处，则线段 DF 的最小值为 .
8.[2025郑州金水区期中] 学完了勾股定理的相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题.大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角,即在长方形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD.
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图①,在长方形纸片ABCD中,AB=5,AD=12，将纸片折叠，使AB落在对角线 AC上，折痕为AE(点 E 在边 BC 上),点 B 落在点 B'处,求CE的长度；
(2)如图②,有一张长方形纸片ABCD,AB=6,AD=13,F为AD边上一点,AF=3,E为 BC 边上一点.将纸片折叠，折痕为 EF，使点 B 恰好落在线段 ED上的B'处,点A落在A'处.求线段B'D 的长度.
类型3 正方形中的折叠问题
9.如图,在正方形 ABCD中,AB=10,E是 BC的中点,将△ABE 沿 AE 折叠至△AFE,延长EF交DC于点 G,则DG的长是 ( )
A.4 B. C.3 D.
10.[2025日照东港区月考]如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点 B落在CD边上的 B'处，点 A 的对应点为点 A'，B'C=3,则AM的长为 ( )
A.1.8 B.2 C.2.3 D.
11.在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)如图①，E是边长为12的正方形纸片ABCD的边AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，使点D落在F处,射线 DF交AB于点 P.
根据以上操作，图①中 AP 与 EF 的数量关系是
(2)在(1)的条件下,若E是AD的中点,如图②,延长CF交AB于点 Q，点 Q的位置是否确定 如果确定，求出线段 BQ的长度；如果不确定，说明理由.
1. A 2. B
3. 【点拨】∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点，
∵将△CDE沿 DE 翻折,点 C 落在 BD 上的点 F 处,
∴DF=CD = 3,CE = EF,∠EFD =∠ACB = 90°.
∴BF=BD-DF=2,∠BFE=90°.设 CE=x,则 EF=x,BE=BC-CE=4-x.在 Rt△BFE中,由勾股定理,得 解得
4. C
5. B 【点拨】由折叠的性质,得∠CAB=∠CAE.∵四边形ABCD是长方形,AB=8cm,AD=4 cm,∴CD∥AB,CD⊥DA,BC=AD=4 cm,CD=AB=8cm.∴∠DCA=∠CAB.∴∠CAE=∠DCA.∴CF=AF.在 Rt△DAF中,AD=4 cm,DF=CD-CF=(8-CF) cm,∴(8- 解得
6.4
8.【解】(1)∵四边形 ABCD是长方形,AB=5,AD=12,∴BC=AD=12,∠B=90°,
由折叠的性质，得AB'=AB=5,B'E=BE=BC-CE=12-CE,∠AB'E=∠B=90°,
在 Rt△ECB'中,
即 解得
(2)∵四边形ABCD是长方形,AB=6,AD=13,AF=3,∴CD=AB=6,BC=AD=13,AD∥BC,∠C=90°,DF=AD-AF=13-3=10.
∴∠DFE=∠BEF.
由折叠的性质,得∠DEF=∠BEF,B'E=BE,
∴∠DFE=∠DEF.∴DE=DF=10.
∴B'E=BE=BC-CE=13-8=5,
9. B 【点拨】连接 AG.在正方形ABCD 中,AD=AB=BC=CD=10,∠D=∠B=∠C=90°.由折叠的性质知AB=AF,BE=EF,∠B=∠AFE=90°,∴AD=AF,
∠AFG=90°=∠D.在 Rt△ADG 和 Rt△AFG 中, ∴Rt△ADG≌Rt△AFG.∴DG=FG.设DG=FG=x,则GC=10-x.∵E为CB 的中点,∴CE=BE=EF=5,∴EG=5+x.在 Rt△CEG中,由勾股定理,得 即 解得x=
10. B 【点拨】连接 MB,MB',如图,由折叠的性质,知MB=MB'.∵四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形,∴AB=AD=CD=9,∠A=∠D=90°.设AM=x,则MD=9-x.在Rt△ABM中, 即
∵B'C=3,∴DB'=CD-B'C=6.在 Rt△DB'M 中, B'M ,即
解得x=2.∴AM的长为2.
11.【解】(1)AP=EF
(2)点Q的位置确定,连接 EQ.
∵四边形 ABCD 是边长为12的正方形，
∴∠A=∠ADC=∠B=90°,CD=AB=BC=12.
由折叠的性质,可知 EF=DE,CF=CD=12,∠EFC=∠ADC=90°,
∴∠EFQ=90°.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.∴AE=EF.
在 Rt△AEQ和Rt△FEQ中,
∴Rt△AEQ≌Rt△FEQ.
∴AQ=FQ.设BQ=x,则 FQ=AQ=12-x.
∴CQ=CF+FQ=12+(12-x)=24-x.
∴在 Rt△BCQ中, 解得x=9,∴BQ=9.

展开更多......

收起↑