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第二十章 勾股定理全章热门考点整合应用
核心考点整合
考点1 勾股定理及其应用
1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题.对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中,∠ACB=90°,AB+AC=9,BC=3,则AC的长为 .
2.[2025东营] 如图所示,正方形 ABCD 的边长为2,其面积标记为 S ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S ，……按照此规律继续下去,则 S 的值为 .
3.如图①是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行360°全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为150 m.图②中，射线 OM，ON是两条相交的公路,∠MON=30°,将图①的球机安装在公路ON上的A处，OA=240 m.求该球机夜间在公路OM 上所能监控到的部分的长度.
考点2 勾股定理的逆定理及其应用
4.如图,∠BAC=90°,AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则∠DBA= .
5.如图是由六个边长为1的小正方形构成的大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中 BC边上的高是 ( )
A. B. C.2 D.
6.2025 年是“全运年”，第十五届全运会于 2025 年 11 月 9 日至 21 日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到 D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB=160 m,AC=200 m,点C在点 B的正东方120m处，点 D在点C的正北方50m处.
(1)试判断AB与 BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.
考点3 勾股数
7.法国数学家费尔马早在 17世纪就研究过形如 的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数解(x，y，z)称为勾股数.如(3，4，5)就是一组勾股数.
(1)请你再写出两组勾股数： ， ；
(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，z=2n， 那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以说明.
思想方法 整合
思想1 转化思想
8.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm,一只蚂蚁沿台阶从点A 出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是 cm.
思想2 方程思想
9.[2025 泰州期中] 如图,已知三角形纸片ABC,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在边 BC上的点 D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，折痕与AC 的交点为E,则AE的长是 .
思想3 分类讨论思想
10.如图,C为直线l上的一个动点,AD⊥l于点 D,BE⊥l于点E,点E在点 D右侧,并且点A,B在直线l的同侧,AD=DE=8,BE=2,当CD长为多少时，△ABC为直角三角形
3.【解】如图,作AH⊥OM 于点 H,在 OH 上取点 P,P',使
∵OA=240m,∠MON=30°,
90(m).
∴该球机夜间在公路OM上所能监控到的部分的长度为180 m.
4.45° 5. A
6.【解】(1)AB⊥BC.理由如下:由题知AB=160m,AC=200m,点 C在点 B 的正东方120m处,即 BC=120 m.
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.
∴AB⊥BC、
(2)由题意可知 BC⊥CD,CD=50 m.
在 Rt△BCD中,由勾股定理,得
∴AB+BD=160+130=290(m).
而AC+CD=200+50=250(m).
∵290m>250m,即AB+BD>AC+CD,
∴小亮跑的路线更短.
7.【解】(1)(6,8,10);(9,12,15)(答案不唯一)
∴(x,y,x)为勾股数.
8. 130
9. 【点拨】由折叠的性质可得AD=AB=2,CE=DE,∠ADB=∠B,∠CDE=∠C.∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°.∴∠ADB+∠CDE=90°,∴∠ADE=180°-(∠ADB+∠CDE)=90°.设AE=x,则DE=CE=AC-AE=3-x.在 Rt△ADE中,由勾股定理,得 AE ,即 解得
10.【解】过点 B作 BF⊥AD于点 F,
则易得四边形 DEBF 为长方形，
∴BF=DE=8,DF=BE=2,
∴AF=6.
由勾股定理得，
当∠CAB=90°时,点 C 在点 D 的左侧,此时
由勾股定理得 解得CD=6;
当∠ABC=90°时,点 C在线段 DE 上,此时
由勾股定理得 解得
当∠ACB=90°时,易知点 C在线段 DE 上,此时
由勾股定理得
整理,得(CD-4) =0,∴CD=4.
综上,当 CD 长为 6 或 4 或 时,△ABC 为直角三角形.

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