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专项培优5利用勾股定理解决最值问题
类型1 对称法求最值
1. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,AB=15,D为边 AB上一点,将△BCD沿CD 翻折,点B落在点 E处,CE交AB 于点 F,则 EF的最大值为 ( )
A. B. C. D.
2.如图,在△ABE中,∠AEB=90°,点C是边 BE上的点,且BC=AE=6,CE=2,BD平分∠ABC交AC于 D,点 M,N分别是 BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为 ( )
A. B. C. D.
类型2 拼接求最值
3.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=10,AC=15,P 是△ABC内的一点,连接 PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
类型3 展开图求最值
4.如图是一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 dm,4d m.
(1)如果给台阶表面的8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 dm ，那么每一级台阶的高为多少分米
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落的A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端的 C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点C的最短路程为多少分米
5.如图①，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点 A 相对的点 B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
【方法探究】
(1)对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图②，在圆柱的侧面展开图中，点 A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm.
【方法应用】
(2)如图③，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10 cm.在其侧面从点 A 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点 B停止.求彩条的最短长度.
(3)如图④，圆柱形玻璃杯底面周长为 30cm，高为35 cm,杯底厚1 cm.在玻璃杯外壁距杯口 2cm的点 A 处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长.(玻璃杯的壁厚忽略不计)
类型4 数形结合求最值
6.在学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，即“求代数式 的最小值”.小强同学发现 可看作两直角边长分别为x和2的直角三角形的斜边长， 可看作两直角边长分别为12-x和3的直角三角形的斜边长，于是构造出如图所示的图形,其中 AC=2,CE=BF=12,CF=BE=3,设CD=x,则DE=12-x,将问题转化为求线段 AB 的长，进而求得 的最小值.请完成解题过程.
1. C 【点拨】因为在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,AB=15,所以 所以 BC=9.由折叠的性质,得CE=BC=9,所以 EF=CE-CF=9-CF，所以当CF的值最小时，EF 取得最大值.由垂线段最短可知，当 CF⊥AB 时，CF 的值最小，此时 S△ABC= 所以 所以 EF 的最大值为
2. C 【点拨】如图,在 AB 上取点 N',使BN'=BN,连接MN',CN',作 CH⊥AB 于点 H.因为 BD 平分∠ABC,所以∠N'BM=∠NBM.又因为 BN'=BN,BM=BM,所以△N'BM≌△NBM,所以 MN'=MN,所以 CM+MN=CM+MN'≥CN',根据垂线段最短的性质知,当点 N'与点 H 重合时,CN'的值最小,此时 CM+MN的值最小,为 CH 的长.因为 BC=6,CE=2,所以 BE=BC+CE=8.因为∠AEB=90°,AE=6,所以 所以AB=10.因为 AE,所以 即CM+MN 的最小值为
3.【解】如图,将△APC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ADE(点 D,E 分别与点 P,C 对应),连接 DP,BE,∴∠CAE=∠PAD=60°,AP=AD,AE=AC=15,PC=DE.∴△APD为等边三角形.
∴PA=PD.∴PA+PB+PC=PD+PB+DE.易知当 B,P,D,E 四点共线时,PA+PB+PC有最小值，最小值为BE的长.∵∠BAC=30°,∠CAE=60°,∴∠BAE=90°,∴在 Rt△ABE中， 故 PA+PB+PC的最小值为
4.【解】(1)设每一级台阶的高为 xdm,根据题意,得18×(4+x)×4=432,解得x=2.答：每一级台阶的高为2d m.
(2)易知四级台阶的平面展开图为长方形，如图.其中宽为 18 dm,长为(2+4)×4=24(dm),连接 AC,易知蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点 C 的最短路程是此长方形的对角线AC 的长，∴由勾股定理，得
答：蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点 C 的最短路程为30 dm.
5.【解】(1)15
(2)侧面展开图如图①所示,则AC=BD=3×4=12(cm).易知点 M,N分别为BC,AD的中点时,AM+BN的值即为彩条的最短长度，所以CM=DN=10÷2=5(cm),
所以由勾股定理得AM=BN=13 cm,所以彩条的最短长度是 13+13=26(cm).
(3)展开玻璃杯的侧面，如图②，
作点 A 关于 MN 的对称点A',连接 A'B,易知 A'B 的长即为蚂蚁爬行的最短路径的长，作 BC⊥A'A 于点C，则 BC=15 cm,A'M=AM=2cm,CM=35-1=34(cm),所以(CA'=CM+A'M=36cm.
在 Rt△A'BC 中,
所以A'B=39 cm,
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39 cm.
6.【解】在 Rt△ACD中,易得 在 Rt△BDE中，易得 要想 的值最小，则AD+BD的值最小.易知当A，D，B三点共线时，AD+BD的值最小，此时最小值为AB的长.
的最小值为 13.

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