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2026年中考数学胡不归问题专练
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB=2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
3．如图，已知AE∥CD，AB=2，∠CBE=2∠A=60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+CP的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
4．如图，△ABC中，AB=AC=15，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）
A．3 B．6 C．5 D．10
5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（　　）
A．AB B．AE C．BD D．BE
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC的最小值是（　　）
A．6 B．2+ C．2+3 D．3
7．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．3
8．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（　　）
A． B．5 C．3 D．5
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．30 D．36
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共9小题）
11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2，点D是AC边上一动点，则的最小值为 ______．
12．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是 ______．
13．如图，△ABC中，AB=AC=20，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 ______．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为______．
15．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是　 ______．
16．如图，在菱形ABCD中，两条对角线，BD=4，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为______．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°，在线段AD上取一点E，使DE=1，连接BE，点M，N分别是线段AE，BE上的动点，连接MN，则的最小值为 ______．
18．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=6，连接AC，点M为线段AC上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段BC上，且，则的最小值为 ______．
19．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足AM=BN，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，若正方形的边长为8，则的最小值为 ______．
三．解答题（共8小题）
20．如图，△ABC在平面坐标系内，点A（0，3），C（2，0）．点B为y轴上动点，求AB+BC的最小值．
21．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．
22．如图，二次函数y1=k（x+2）（x-4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．经过点B的直线y2=-x+b与二次函数图象的另一交点为D，交y轴于E．
（1）求b的值；
（2）连接OD，若△OBE与△OED的面积之比为4：5，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中所用时间最少？
23．如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；
（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；
（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x=AP+2PC，点Q的运动路径长度为y,当x取最小值时，写出x,y的关系，并说明理由．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm,BC=cm.
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．
25．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，求2AD+DC的最小值．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E 分别是BC，AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，求PA+PB的最小值．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=S△ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．
（1）连接BD，点P是线段BD上一动点（点P不与端点B、D重合），过点P作PQ⊥BD，交抛物线于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交BD于G，点M是线段OC上一动点，当△PQG周长取得最大时，求FG+GM+MC的最小值；
（2）在（1）中，当△PQG周长取得最大，FG+GM+MC取得最小值时，把点M向下平移个单位得到点M'，连接AM'，把△AOM'绕点O逆时针旋转一定的度α（0＜α＜360°），得到△A'OM''，其中边A'M''交坐标轴于点I．在旋转过程中，是否存在点I，使得∠M''=∠M''OI？若存在，请直接写出所有满足条件的点M''的坐标；若不存在，请说明理由．
2026年中考数学胡不归问题专练
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、C 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A 8、A 9、A 10、C
二．填空题（共9小题）
11、； 12、5； 13、8； 14、6； 15、4； 16、2； 17、； 18、12； 19、2；
三．解答题（共8小题）
20、解：如图，取D（-3，0），连接AD，作BE⊥AD，CE′⊥AD于E′交y轴于B′．
∵A（0，3），C（2，0），
∴OD=3，OA=3，OC=2，CD=5，
∴tan∠DAO==，
∴∠DAO=30°，
∴EB=AB，
∴AB+BC=EB+CB，
∴当E与E′重合，B与B′重合时，EB+BC最短，最小值即为CE′的长，
在Rt△CDE′中，CE′=CD sin60°=，
∴AB+BC的最小值为．
21、（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，
∵四边形ABCD是边长为的正方形，
∴AC=×=2，点O为BD的中点，
∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），
∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；
②∵△BMN为等边三角形，
∴BM=MN，
∵△AMB≌△ENB，
∴EN=AM，
∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，
作EH⊥BC于H，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，
∴∠EBH=30°，
在Rt△EBH中，EH=BE=，
BH=EH=，
在Rt△EHC中，CH=BH+BC=+，
∴CE2=CH2+EH2=（+）2+（）2=4+2=（+1）2，
∴CE=+1，
∴当M点在CE上时，AM+BM+CM的值最小，这个最小值为+1．
22、解：（1）∵二次函数y1=k（x+2）（x-4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，
∴k（x+2）（x-4）=0
∴x1=-2，x2=4
∴A（-2，0），点B（4，0）
∵直线y2=-x+b经过点B
∴0=-4+b
∴b=4
（2）设点D（m,n）
∵直线y2=-x+4经过点E
∴E（0，4）
∵△OBE与△OED的面积之比为4：5，
∴（×4×4）：[×4×（-m）]=4：5
∴m=-5
∵点D在直线直线y2=-x+4上，
∴n=5+4=9
∴点D（-5，9）
∵点D在二次函数y1=k（x+2）（x-4）上
∴9=k×（-3）×（-9）
∴k=
∴二次函数解析式为：y1=（x+2）（x-4）=x2-x-，
（3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H，
∵点E（0，4），点B（4，0）
∴OE=OB=4
∴∠OBE=45°
∵DP∥x轴，
∴∠HDF=∠OBE=45°
∵FH⊥DP
∴∠HFD=∠HDF=45°
∴DH=HF
∴DF=HF
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=+=AF+HF，
即运动的时间值等于折线AF+FH的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长．
∴AG与BD的交点为点F
∴点F的横坐标为-2，
∴y=2+4=6
∴点F坐标为（-2，6）．
23、（1）解：如图1中
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴∠CAP=∠BAC=30°，CA=CB，∠ACB=60°，
∵△PCQ是等边三角形，
∴CP=CQ，∠PCQ=∠ACB=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ=∠CAP=30°．
（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．
∵△ACD≌△ABQ，
∴AQ=AD，CD=BQ，
∵∠DAQ=60°，
∴△ADQ是等边三角形，
∴AD=DQ，
∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．
（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．
∵PE=PA，
∴PA+2PC=2（PA+PC）=2（PE+PC），
根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．
由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ=PA，
∴PA=BQ=AG=CG=y,FG=y,
∴x=2（y+y），
∴y=x.
24、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD=OB=OC=OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
∴DE=DO，CE=CO，
∴DE=EC=CO=OD，
∴四边形CODE是菱形．
（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE=OC=OA，
∴==
∵AB=CD=6，
∴DK=2，CK=4，
在Rt△ADK中，AK===3，
∴sin∠DAE==，
②作PF⊥AD于F．易知PF=AP sin∠DAE=AP，
∵点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF=CD=3．AF=AD=，PF=DK=1，
∴AP==，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm,点Q走完全程所需的时间为3s.
25、解：（1）过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图①，
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=DC，
∵2AD+DC=2（AD+DC）=2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BC=4，
∴DC=BC-BD=4-2=2，
∴2AD+DC=2×2+2=6，
∴2AD+DC的最小值为6．
（2）如图，在CB上取一点F，使得CF=，连接PF，AF．
∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，
∴PC=DE=2，
∵=，=，
∴=，
∵∠PCF=∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴==，
∴PF=PB，
∴PA+PB=PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF===，
∴PA+PB≥，
∴PA+PB的最小值为．
26、解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵4CN=5ON，
∴ON=，
∵∠OAN=∠NCM，
∴△AON∽△COB，
∴=，即=，解得OA=1，
∴A（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，3）代入得a 1 （-4）=3，解得a=-，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+3；
（2）设直线BC的解析式为y=mx+n,
把C（0，3），B（4，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
作DQ∥y轴交BC于Q，如图1，设D（x,-x2+x+3），则Q（x,-x+3），
DQ=-x2+x+3-（-x+3）=-x2+3x,
∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4 （-x2+3x）=-x2+6x,
∵S△BCD=S△ABC，
∴-x2+6x=××（4+1）×3，
整理得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
∴D点坐标为（1，）或（3，3）；
（3）作CG∥x轴交抛物线于G点，作FH⊥CG于H，如图，
∵∠HCF=∠CBO，
∴sin∠HCF==sin∠CBO=，
∴CF=FH，
∴点P沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止时，相当于点P沿着线段FH以每秒1个单位的速度运动到H后停止，
∴当H、F、E共线时，点P在整个运动过程中用时最少，此时EH=3，
∴最少时间为3秒，此时点F的坐标为（2，）．
27、解：（1）由已知可求A（-2，0），B（4，0），C（0，），D（1，3），
∵PQ⊥BD，QF⊥x轴，
∴∠PQG=∠DBO，
在Rt△DBE中，∠DBE=60°，
∴∠PQG=60°，
∴GP=PQ，QG=2PQ，
∴△PQG周长=PQ+PQ+2PQ=3PQ+PQ=（3+）PQ，
∴当PQ最大时，△PQG周长最大；
设Q（m,-m2+m+），
∵BD的直线解析式为y=-x+4，
∴PQ的直线解析式为y=x-m2+m+，
∴P（m2-m+1，-m2+m+3），
∴PQ=（-m2+5m-4），
∴当m=时，PQ有最大值
∴F（，0），G（，），
∴FG=，
过点C作与x轴为60°的直线，则该直线解析式为y=x+，
过点G作该直线的垂线与y轴交于点M，与该直线交于点T，
∵∠TCM=30°，
∴TM=CM，
∴FG+GM+MC=FG+GM+TM=FG+TG，
∴FG+GM+MC的最小值为FG+TG；
直线GM的解析式为y=-x+，
∴T（-，），
∴GT=，
∴FG+TG=+=，
∴FG+GM+MC的最小值为；
（2）∵M（0，），
∴M'（0，2），
∵tan∠AM'O=，
∴∠AM'O=∠M''=30°，
①当∠α=30°时，∠M''=∠M''OI=30°，
此时A'M''∥OM'，I不存在；
②当∠α=60°时，∠M''=∠M''OI=30°，
如图1：过点M''作x轴垂线M''S，
∵∠OA'A=60°，OA=OA'，
∴∠M''AS=60°，AA'=2，
∵AM'=A'M''=4，
∴M''A=2，
∴AS=1，M''S=，
∴M''（-3，）；
③当∠α=240°时，∠M''=∠M''OI=30°，
如图2：过点M''作x轴垂线M''R，
∵∠IOM''=120°，
∴∠ROM''=30°，
∵OM'=OM''=2，
∴RM''=，OR=3，
∴M''（3，-）；
④当∠α=150°时，∠M''=∠M''OI=30°，
如图3：过点M''作M''G⊥x轴交于点G，
在△OGM''中，M''O=2，∠GOM''=60°，
∴OG=，GM''=3，
∴M''（-，-3）；
⑤当∠α=300°时，∠M''=∠M''OI=30°，
如图4：过点M''作M''H⊥x轴交于点H，
在△OHM''中，M''O=2，∠M''OH=60°，
∴M''H=3，OH=
∴M''（，3）；
综上所述：满足条件的M''点为（-3，）或（3，-）或（，3）或（-，-3）．

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