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人教版八年级下册 第二十章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2．在中，，，，则的长为( )
A.2 B.4 C. D.
3．若一个直角三角形的两边长为4和5,则第三边长为( )
A.3 B. C.8 D.3或
4．在勾股定理的学习中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律.“无字证明”体现的数学思想是( ).
A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.整体思想
5．如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形,则展开后的等腰三角形周长是( )
A.12 B.18 C. D.
6．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是( )
A.3 B.4 C.5 D.
7．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是( )
A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余
8．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块.已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是( )
A.8m B.10m C.m D.m
9．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺.一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面.此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺.由此可知水池的深度是( )
A.7尺 B.尺 C.8尺 D.尺
10．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接，则的长为( )
A.1 B.3 C. D.
11．某市为推动旅游产业的发展,计划将某处空地改造成风景园林区.如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图,,池塘斜面的坡度为（即）,米,则池塘边缘点B到池塘底部的距离为( )
A.米 B.5米 C.4米 D.3米
12．如图,正方形ABCD的边长为,其面积标记为,以CD为斜边作等腰直角三角形,并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为,按照此规律继续下去,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．直角三角形斜边的长是10，一条直角边长为6，则另一直角边长为_____________.
14．在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是________________.
15．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D，则的长为________.
16．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为____________.
17．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则的面积为____________.
三、解答题
18．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象.已知O，，B三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度）
19．如图，已知点C是线段BD上的一点，,若，，，，.
(1)求AC、CE的长；
(2)求证：.
20．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”放学后，小明来到广场上放风筝.如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形.
(1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；
(2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度.
21．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地.如图，渭河一侧有一村庄C，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台D（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，.
(1)通过计算说明，是从村庄C到渭河边最短的路线；
(2)求原来的路线的长.
22．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧.为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离.
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为1.8米.
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
(1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度；
(2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？
参考答案
1．答案：A
解析：弦
故选A.
2．答案：B
解析：在中，，，，
由勾股定理得，，
故选：B.
3．答案：D
解析：当5是直角边时,则第三边；
当5是斜边时,则第三边.
综上所述,第三边的长是或3.
故选D.
4．答案：C
解析：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,体现数形结合思想.
故选：C.
5．答案：D
解析：根据题意,三角形的底边为,腰的平方为,
等腰三角形的腰为；
等腰三角形的周长为：.
故选：D.
6．答案：C
解析：由勾股定理得，点到原点的距离是，
故选C.
7．答案：B
解析：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，
用勾股定理的逆定理判断：若满足，
则可判断是直角三角形，即为直角；
若，则不是直角.
故选B.
8．答案：B
解析：如图，将木块展开，即为所求，
则（米，米，
最短路径为：（米.
故选：B.
9．答案：B
解析：设水池的深度为h尺，
则，
解得：，
故选：B.
10．答案：C
解析：由题意可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C.
11．答案：B
解析：设米,
,
米,
,米,
,
即,
解得：（负值舍去）,
米.
故选：B.
12．答案：D
解析：是等腰直角三角形,,,等腰直角三角形的直角边为斜边的.,,,,故选D.
13．答案：8
解析：由勾股定理得：另一直角边长，
故答案为：8.
14．答案：
解析：根据题意，得.
故答案为：.
15．答案：
解析：连接，，如图所示：
，
，
.
故答案为：.
16．答案：5
解析：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为5，
故答案为：5.
17．答案：
解析：∵中，，，，
∴，
∵将边沿翻折，使点A落在上的点D处，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
∵将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为：，
由翻折可知，的面积的面积
故答案为.
18．答案：
解析：，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
即池水看起来变浅了.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析.
解析：(1)∵在中，，，
∴
∵在中，，，
∴
(2)证明：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
20．答案：(1)正确，见解析；
(2)风筝垂直下降的高度为
解析：(1)他的说法正确.
理由如下：
∵，，，
∴.
∴是直角三角形，.
(2)由题意得，，
∵，
∴.
∵，
∴在中，.
∴，
即风筝垂直下降的高度为.
21．答案：(1)见解析
(2)原来的路线的长为
解析：(1)在中，，，，
，，
∴，
是直角三角形，即，
是从村庄C到渭河边的最短路线；
(2)设，
在中，，，，
由勾股定理，得，即，
解这个方程，得，
∴原来的路线的长为.
22．答案：(1)风筝离地面的垂直高度为8.8米
(2)4米
解析：(1)在中，米，
米.
答：此时风筝离地面的垂直高度为8.8米.
(2)米，
由题意可得：米，
在中，米，
米，
答：他应该朝射线方向前进4米.

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