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2.3 一元一次不等式与一次函数
(课时1)
第二章 不等式与不等式组
北师大版(2024)
素养目标
2.能够用图象法解一元一次不等式.
1.理解并掌握一次函数图象与一元一次不等式的关系；
知识回顾
求一元一次方程
kx+b=0的解
一次函数y=kx+b
中 y=0 时的x值
求一元一次方程
kx+b=0的解
直线 y=kx+b与
x轴交点的横坐标
从“函数值”看
从“函数值”看
新知导入
当 时，有方程 2x-5=0 ；
当 时，有不等式 2x-5>0 ；
当 时，有不等式 2x-5<0 .
y = 0
y > 0
y < 0
在一次函数y=2x-5中，当y与0的关系变化时，方程和不等式怎样转化？
探究新知
作出一次函数 y=2x-5 的图象
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
①列表
②描点
③连线
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
探究新知
一次函数y=2x-5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
(1) x取何值时， 2x-5=0
y=0
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
(2.5，0)
解：当x=2.5，2x-5=0
探究新知
一次函数y=2x-5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
(2) x 取哪些值时， 2x-5＞0
y＞0
解：如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于2.5，
即当x＞2.5， 2x-5＞0.
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y＝2x-5
(2.5，0)
探究新知
一次函数y=2x-5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
(3) x 取哪些值时， 2x-5＜0
y＜0
解：如图，当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于2.5，
即当x＜2.5， 2x-5＜0
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y＝2x-5
(2.5，0)
探究新知
一次函数y=2x-5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
(4) x 取哪些值时， 2x-5＞1
y＞1
解：如图，当图象上点的纵坐标大于1时，点在直线 y=1上方，其横坐标大于3，
即当x＞3 ， 2x-5＞1.
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y＝2x-5
(3，1)
探究新知
如果 y = -2x-5，那么当 x 取哪些值时，y＜0？当 x 取哪些值时，y＜1 ？
(-2.5，0)
O
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y＝-2x -5
由图象可得，当 x＞2.5 时，y＜0.
当 x＞-3 时，y＜1.
(-3，1)
归纳总结
不等式ax+b>0(<0)
(a，b为常数，a≠0)的解集
一次函数y=ax+b 的函数值大于0(或小于0)时x的取值范围.
直线y=ax+b在x轴上方(或下方)图象上点的横坐标的范围
不等式ax+b>c((a，b为常数，a≠0)的解集
一次函数y=ax+b 的函数值大于c(或小于c)时x的取值范围.
直线y=ax+b在直线y=c上方(或下方)图象上点的横坐标的范围
从函数图象看
从函数值看
从函数图象看
从函数值看
探究新知
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m. 列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
(3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？
你是怎样求解的？
探究新知
设哥哥跑的时间为x，你能分别列出哥哥、弟弟跑的路程y(m)与时间x(s)之间的函数关系式吗？
y弟 = 3x+9
画出这两个函数的图象，如图所示.
y哥 = 4x
x/s
-2
O
10
8
6
4
2
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
y/m
y哥=4x
(9，36)
y弟=3x+9
探究新知
y弟=3x+9
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
(3) 谁先跑过 20m？谁先跑过 100m？
解：(1) 由图象可知，9s前弟弟跑在哥哥前面.
(2) 9s后哥哥跑在弟弟前面
(3)弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m
图象法
x/s
-2
O
10
8
6
4
2
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
y/m
y哥=4x
(9 , 36)
探究新知
代数法
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
3x＋9＞4x，x＜9，所以 0＜x＜9 s 弟弟跑在哥哥前面.
(3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？
y哥 = 4x y弟 = 3x+9
3x＋9＝20，；4x＝20，x＝5；因为＜5，所以弟弟先跑过 20 m ，
3x＋9＝100， ；4x＝100，x＝25；因为 ＞25，所以哥哥先跑过100 m.
3x＋9＜4x，x＞9，所以 x＞9 s 哥哥跑在弟弟前面.
归纳总结
对于两个一次函数 y1=k1x+b1(k1≠0) 和 y2=k2x+b2(k2≠0)，若比较 y1 与 y2 的大小，
(1)作出两个一次函数的图象，确定两个一次函数图象的交点坐标；找出哪段函数图象在上方，哪段函数在下方，从而比较 y1 与 y2 的大小.
(2)比较 y1 与 y2 的大小，即比较 k1x+b1 与 k2x+b2 的大小，即为求不等式 k1x+b1＞k2x+b2 (或 k1x+b1＜k2x+b2) 的解集.
A
A
A
A
C
D
x≤1
小结
kx+b＞/＜0(k≠0) 的解集
直线 y=kx+b (k≠0) 在 x 轴上/下方的
部分所对应的 x 的取值范围
对应
kx+b＞/＜a(k≠0) 的解集
直线 y=kx+b (k≠0) 在直线 y=a 上/下
方的部分所对应的 x 的取值范围
对应
k1x+b1＞/＜k2x+b2(k1k2≠0)
的解集
直线 y1=k1x+b1(k1≠0) 在直线
y2=k2x+b2(k2≠0) 上/下方的部分所对
应的 x 的取值范围
对应
谢谢同学们的聆听

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