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第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
1.2　常用逻辑用语
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T7
新课标Ⅱ卷T2
必备知识　回顾
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识梳理
若p q,则p是q的____条件,q是p的____条件 p是q的__________条件 p q且q p
p是q的__________条件 p q且q p
p是q的____条件 p q
p是q的________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“__”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“__”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一 个x,p(x)成立 存在M中的元
素x,p(x)成立
简记 ____________________ ________________
否定 x∈M, p(x) __________, p(x)
x∈M,p(x)
x∈M,p(x)
x∈M
1.注意区分“A是B的充分不必要条件(A B且B A)”与“A的充分不必要条件是B(B A且A B)”两者的不同.
2.充要关系与集合基本关系之间的联系
设非空集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若A B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
知识拓展
3.p是q的充分不必要条件等价于 q是 p的充分不必要条件.
4.含有量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p和 p的真假性相反,当判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件. (　 　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　 　)
(3)已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=B.(　 　)
(4)命题“ x∈R,sin2”是真命题. (　 　)
基础检测
√
√
√
×
2.(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)命题“ x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是 (　 　)
A. x∈R,使得(x-1)2<0
B. x∈R,使得(x-1)2≤0
C. x∈R,使得(x-1)2<0
D. x∈R,使得(x-1)2≤0
C
解析:因为原命题是“ x∈R,使得(x-1)2≥0”,所以其否定形式应该把全称量词“ ”改为存在量词“ ”,把(x-1)2≥0改为(x-1)2<0,所以命题“ x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是“ x∈R,使得(x-1)2<0”.故选C.
3.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2改编)“ab=0”是“a2+b2=0”的(　 　)
A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:显然a2+b2=0,则a=0,b=0,有ab=0,即a2+b2=0 ab=0,而ab=0,取a=0,b=1,a2+b2≠0,则ab=0不能推出a2+b2=0.故“ab=0”是“a2+b2=0”的必要不充分条件.故选B.
B
4.若“x=1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为 .
解析:∵“x=1”是“x>a”的充分条件,∴x=1 x>a,∴a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1).
(-∞,1)
关键能力　提升
考点1 充分、必要条件的判断
【例1】(1)(2025·天津卷)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　 　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】　由x=0 sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;当x=π时,sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0 x=0,故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A.
A
(2)(多选)下列条件中可以作为“0≤a<1”的一个必要不充分条件的是(　 　)
A.-1C.0≤a≤3 D.a<1或a>3
【解析】　设该条件所表示的集合为M,因为其是“0≤a<1”的一个必要不充分条件,所以{a|0≤a<1} M.对于A,C,D,可知{a|0≤a<1} M,故A,C,D正确;对于B,可知M {a|0≤a<1},故B错误.故选ACD.
ACD
充分、必要条件的两种常用判断方法
(1)定义法:根据p q,q p是否成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
规律总结
【对点训练1】(1)(2025·山东聊城三模)“aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若ln aa>0,必要性成立;若aB
(2)若a,b∈R,则“>1”是“a>b”的(　 　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若>1,当b>0时,a>b,当b<0时,ab>0时,两边除以b,得>1,当a>b且b<0时,两边除以b,得>1”是“a>b”的既不充分也不必要条件.故选D.
D
考点2 根据充分、必要条件求参数
【例2】非空集合A={x|x2+(a+2)x+2a<0},B={x|x2+2x-3<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　 　)
A.{a|-1≤a<2或2B.{a|-1≤a<2}
C.{a|2D.{a|a>2}
A
【解析】B={x|x2+2x-3<0}={x|-32时,A={x|-a由充分、必要条件求参数范围的策略
(1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形.
(2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意对取值区间端点值的检验,从而确定取舍.
规律总结
【对点训练2】　若“x>2m2-3”是“-1A.[-1,1]
B.[-,]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D.(-∞,-]∪[,+∞)
解析:因为“x>2m2-3”是“-1A
考点3 全称量词与存在量词
命题角度1　含量词命题的否定及真假判断
【例3】　(2026·陕西西安模拟)若p: x>0,ln x+x2+2>0,则 (　 　)
A.p是真命题,且 p: x>0,ln x+x2+2≤0
B.p是真命题,且 p: x≤0,ln x+x2+2≤0
C.p是假命题,且 p: x>0,ln x+x2+2≤0
D.p是假命题,且 p: x≤0,ln x+x2+2≤0
C
【解析】　因为当x=时,ln x+x2+2=-3+-1<0,所以p是假命题.因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以 p: x>0,ln x+x2+2≤0.故选C.
命题角度2　含量词命题的应用
【例4】　已知命题p: x∈[-1,0],a≤-5x,若p为假命题,则a的取值范围是 .
【解析】　由题意知命题p: x∈[-1,0],a≤-5x为假命题,则 p: x∈ [-1,0],a>-5x为真命题.设f(x)=-5x,x∈[-1,0],则a>f(x)min,由于y=2x在[-1,0]上单调递增,故f(x)=-5x在[-1,0]上单调递减,则f(x)min=-5×0=1,故a>1.
(1,+∞)
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题,需证明所有情况都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一种情况成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围,可直接求参数的范围,也可利用等价命题求参数的范围.
规律总结
【对点训练3】(1)(2025·湖北宜昌二模)已知命题p: x∈R,|1-x|≤1,命题q: x>0,x2>2x,则 (　 　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
解析:对于命题p,不妨取x=3,则|1-3|>1,则命题p是假命题,命题 p是真命题;对于命题q,不妨取x=3,由9>8,得命题q是真命题,命题 q是假命题.因此, p和q都是真命题.故选B.
B
(2)命题“ x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是(　 　)
A.a≤1 B.a<1
C.a<0 D.a<2
解析:因为x2-a>0,所以x2>a,又x∈(1,2),所以x2∈(1,4),所以a≤1(易错:忘记取等号),只有D满足{a|a≤1}是{a|a<2}的真子集,所以命题“ x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是“a<2”.故选D.
(3)若命题p: x∈Q,|x|+x>0,则该命题的否定是 .
解析:由存在量词命题的否定可知, p: x∈Q,|x|+x≤0.
D
x∈Q,|x|+x≤0
B
高考真题 教材典题
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x ∈R, | x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则 ( ) A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题 1.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根;
(2)每个正方形都是平行四边形;
(3) m∈N,∈N;
(4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.
解析:对于命题p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题;对于命题q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题.综上, p和q都是真命题.故选B.
考教衔接
C
解析:因为a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立,所以二者互为充要条件.故选C.
高考真题 教材典题
2.(2024·天津卷)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　 　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2)在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0(a≠0);
(3)p:a∈P∩Q,q:a∈P;
(4)p:a∈P∪Q,q:a∈P;
(5)p:x>y,q:x2>y2.
课时作业2
1.(5分)命题“ x∈R,x2<1”的否定是(　 　)
A. x∈R,x2≥1 B. x∈R,x2<1
C. x∈R,x2≥1 D. x∈R,x2>1
解析:命题“ x∈R,x2<1”的否定是“ x∈R,x2≥1”.故选A.
基础巩固
A
2.(5分)(2025·河北唐山一模)已知命题p: x∈R,x2>0;命题q: x>0,ln x<0.则(　 　)
A.p和q都是真命题
B.p是假命题,q是真命题
C.p是真命题,q是假命题
D.p和q都是假命题
解析:对于命题p: x∈R,x2>0,当x=0时,x2=0,故命题p是假命题;对于命题q: x>0,ln x<0,当x=时,ln =-1<0,故命题q是真命题.故选B.
B
3.(5分)(2026·河北石家庄一模)如果ab>0,那么“a>b”是“”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若ab>0,a>b,则b-a<0,则<0,即,充分性成立;若ab>0,,则<0,所以b0,那么“a>b”是“”的充要条件.故选C.
C
4.(5分)(2025·天津南开区二模)已知a∈R,则“a><2”的(　 　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:<2,即<0,a(2a-1)>0,解得a<0或a>时,可以推出<2;当<2时,推不出a><2”的充分不必要条件.故选A.
A
5.(5分)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,则文中的“小故”指的是逻辑中的(　 　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由“小故,有之不必然,无之必不然”知“小故”是逻辑中的必要不充分条件.故选B.
B
6.(5分)已知a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>b3”的 (　 　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由a2>b2得|a|>|b|,由a3>b3得a>b.当a=-2,b=1时,满足|a|>|b|,但不满足a>b;当a=-2,b=-3时,满足a>b,但不满足|a|>|b|.故“a2>b2”是“a3>b3”的既不充分也不必要条件.故选D.
D
7.(5分)(2026·甘肃白银模拟)使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为(　 　)
A.1≤x≤3 B.0≤x≤3
C.x>3 D.1解析:解不等式x2+3≤4x,可得1≤x≤3,则使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件必须为{x|1≤x≤3}的真子集,排除A,B,C.因为由1D
8.(5分)(2026·河北秦皇岛一模)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则λ的取值范围为 (　 　)
A.(0,3)　 B.(0,3]
C.(0,2)　 D.(0,2]
解析:A={x|x2-5x-6<0}={x|-10,解得0<λ≤3,故λ的取值范围为(0,3].故选B.
B
9.(6分,多选)下列命题的否定中,是真命题的有 (　 　)
A.某些平行四边形是菱形
B. x∈R,x2-3x+3<0
C. x∈R,|x|+x2≥0
D. a∈R,x2-ax+1=0有实数解
解析:对于A,某些平行四边形是菱形,是真命题,则其否定是假命题,故A错误;对于B,因为Δ=9-12=-3<0,所以原命题是假命题,则其否定是真命题,故B正确;对于C, x∈R,|x|+x2≥0,是真命题,则其否定是假命题,故C错误;对于D,只有Δ=a2-4≥0,即a≤-2或a≥2时,x2-ax+1=0才有实数解,是假命题,则其否定是真命题,故D正确.故选BD.
BD
10.(6分,多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则(　 　)
A.p是q的充分条件
B.p是s的必要条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
解析:由p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p r,q r,r s,s q.对于A,因为p q,所以p是q的充分条件,故A正确;对于B,因为p s,所以p是s的充分条件,故B错误;对于C,因为r q,所以r是q的充要条件,故C错误;对于D,因为s q,所以s是q的充要条件,故D正确.故选AD.
AD
11.(6分,多选)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　 　)
A.m>-2 B.m>-1
C.m>0 D.m>1
解析:由题意,存在x>0,使得mx2+2x-1>0,即m>-1,当-1=0,即x=1时,取得最小值-1,故m>-1,所以命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>-1}的真子集,结合选项可得,C,D符合.故选CD.
CD
12.(5分)若命题“ x∈R,使得x2+2x-m=0成立”为真命题,则实数m的取值范围是 .
解析:因为命题“ x∈R,使得x2+2x-m=0成立”为真命题,所以Δ=4+4m≥0,解得m≥-1.
[-1,+∞)
13.(5分)设条件p:|2x+3|<1;条件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
解析:∵q是p的必要不充分条件,∴p q,且q p.记p:A={x||2x+3|<1}={x| -2[-3,-2]
14.(6分)关于x的方程ax2+ax+1=0无实数根的充要条件是 .
解析:必要性:关于x的方程ax2+ax+1=0无实数根,当a=0时,原方程变形为1=0,显然无实数根,故a=0满足题意;当a≠0时,由ax2+ax+1=0无实数根,可得Δ<0,即a2-4a<0,解得00≤a<4
15.(8分,多选)下列命题正确的是 (　 　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x≥1,使得x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
素养提升
AD
解析:对于A,<1,即-1<0,即<0,即>0,即a<0或a>1,则“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;对于B,命题“任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”,故B错误;对于C,因为x≥2且y≥2,所以x2≥4,y2≥4,由不等式的性质得x2+y2≥8,取x=0,y=3,x2+y2=9>8,但不满足x≥2且y≥2,故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分不必要条件,故C错误;对于D,当a≠0,b=0时,ab=0,由ab≠0可得a≠0且b≠0,故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.故选AD.
16.(8分)已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若p是 q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
解析:∵|x-1|≤2,∴-1≤x≤3,即p:-1≤x≤3.∵x2-2x+1-a2≥0(a>0),∴x≤1-a或x≥1+a,∴ q:1-a∴解得0(0,2]
本课结束

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