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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.1　函数的概念及其表示
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数,理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T6 全国一卷T5

必备知识　回顾
1.函数的概念
(1)函数的定义
一般地,设A,B是____________,如果对于集合A中的____________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______________和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
(2)函数的三要素
函数由______、____和________三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,______的取值范围(即数集A)称为这个函数的______,__________组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
知识梳理
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
定义域
值域
对应关系
自变量
定义域
所有函数值
2.函数的表示法
解析法 图象法 列表法
用解析式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的________,这样的函数叫做________.
对应关系
分段函数
1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.在函数的定义中,非空实数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集.
3.分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数.(　 　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　 　)
(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.(　 　)
(4)函数f(x)=的定义域为R.(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版必修第一册P66例3改编)下列各组函数表示同一个函数的是 (　 　)
A.y=x和y=()2
B.y=
C.y=|x|和y=
D.y=x-1和y=-1
C
解析:对于A,y=x的定义域为R,y=()2的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数,故A错误;对于B,y==x,y==|x|,对应关系不同,不是同一个函数,故B错误;对于C,两函数的定义域和对应关系均相同,是同一个函数,故C正确;对于D,y=x-1的定义域为R,y=-1的定义域为{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数,故D错误.故选C.
3.(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f(x)=的定义域为 .
解析:由题意有2.故其定义域为(-∞,-)∪(,2)∪(2,+∞).
(-∞,-)∪(,2)∪(2,+∞)
4.设f(x)=则f(f(-1))= .
解析:f(-1)=(-1)2+1=2,则f(f(-1))=f(2)=2+-3=0.
0
关键能力　提升
考点1 函数的定义域
【例1】　(1)函数y=的定义域为 (　 　)
A.(-∞,-4)∪(-4,1)
B.(-∞,-1)∪(-1,4)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
【解析】　由的定义域为(-∞, -4)∪(-4,1).故选A.
A
(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x-1)的定义域是 .
【解析】　由函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],得-2≤x≤3,则-1≤x+1≤4,由-1≤x-1≤4,解得0≤x≤5,所以y=f(x-1)的定义域是[0,5].
[0,5]
1.求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
规律总结
3.定义域是一个集合,要用集合的描述法或区间等形式表示.若定义域不连续,则用区间表示时,应分成多个区间,各区间之间不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
【对点训练1】　函数f(x+1)的定义域为[-2,2],函数g(x)=·(x-2)0,则g(x)的定义域为(　 　)
A.[0,2)∪(2,4] B.[-1,2)∪(2,3]
C.∪(2,4] D.∪(2,3]
C
解析:因为函数f(x+1)的定义域为[-2,2],所以x∈[-2,2],则x+1∈[-1,3],即函数f(x)的定义域为[-1,3],令x-1∈[-1,3],解得x∈[0,4].因为x-2≠0,所以x≠2.因为2x->0,所以x∈.综上所述,g(x)的定义域为∪(2,4].故选C.
考点2 求函数的解析式
【例2】　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式.
【解】(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,
∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,
∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],
即f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
(2)已知f,求f(x)的解析式.
【解】　(配凑法)f-2,又x2+=2,当且仅当x2=,即x=±1时等号成立,
∴f(x)=x2-2(x≥2).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式.
【解】(待定系数法)∵f(x)是一次函数,
∴设f(x)=ax+b(a≠0),
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17,
∴
∴f(x)=2x+7.
(4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.
【解】(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2①,
∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2②,
由①+2×②得-3f(x)=-9x+6,∴f(x)=3x-2.
函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(4)解方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
规律总结
【对点训练2】　(1)已知函数f(x)满足f(x)+3f(1-x)=2x+3,则f(x)= (　 　)
A.
C.-x+
解析:f(x)+3f(1-x)=2x+3①,用1-x代替①中的x得f(1-x)+3f(x)=2(1-x)+3=5-2x②,由②×3-①得8f(x)=12-8x,解得f(x)=-x.故选D.
D
(2)已知f=lg x,则f(x)= .
解析:令t=+1,因为x>0,所以t>1,x=,f(t)=lg ,t>1,则f(x)= lg (x>1).
lg (x>1)
考点3 分段函数
命题角度1　分段函数求值
【例3】　(2026·山东潍坊一模)已知函数f(x)=则f(f(-1))=(　 　)
A.0　　　 B.1
C.2　　　 D.3
【解析】　将x=-1代入,得f(-1)=(-1)2+(-1)=0,所以f(f(-1))=f(0),将x=0代入,得f(0)=e0+ln 1=1.因此,f(f(-1))=f(0)=1.故选B.
B
命题角度2　分段函数与方程、不等式
【例4】　(1)(2025·江西宜春二模)已知函数f(x)=若f(1-a)=4,则a的值为(　 　)
A.0或
C.
【解析】　若1-a≥0,则a≤1,可得f(1-a)=41-a=4,解得a=0,符合题意;若1-a<0,则a>1,可得f(1-a)=22a-1=4,解得a=,符合题意.综上可知,a的值为0或.故选A.
A
(2)设函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集是(　 　)
A.(-∞,-1)∪
B.(-∞,-1)∪
C.
D.
A
【解析】　因为f(x)=
所以不等式f(x)>3等价于
或
所以x<-1或03的解集是(-∞,-1)∪.故选A.
关于分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值或范围:先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的某段上,然后求出相应自变量的值或范围,再用同样的方法求其余各段上自变量的值或范围,最后综合得出结果.切记要代入检验.
规律总结
【对点训练3】　(1)已知函数f(x)=则f(2 027)= (　 　)
A.-1 B.0
C. D.1
解析:当x-2>1,即x>3时,f(x-2)=-f(x-4),所以当x>3时,f(x)=-f(x-2)=f(x-4),所以f(2 027)=f(3).又因为当x>1时,f(x)=-f(x-2),所以f(3)=-f(3-2)= -cos π=1(提示:由于分段函数在各段上的对应关系不同,所以求分段函数在某点处的函数值时,关键要弄清该点所在区间对应的函数解析式是哪一个,然后再代入求值),即f(2 027)=1.故选D.
D
(2)(2025·福建厦门三模)已知函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a= .
解析:因为f(-1)=-(-1)2=-1,所以f(a)=3.因为x≤0时,f(x)=-x2≤0,所以a>0,f(a)=log2a=3,解得a=8.
8
(3)设函数f(x)=则不等式f(3)+f(|x|-4)>0的解集为 .
解析:f(3)=-6,当|x|-4≥1,即x≥5或x≤-5时,f(|x|-4)=-2(|x|-4),所以f(3)+f(|x|-4)=-6-2(|x|-4)>0,解得-10,所以|x|>5或|x|<1,所以-1(-1,1)
高考真题 教材典题
考教衔接
(-∞,0)∪(0,1]
解析:因为f(x)=,所以解得x≤1且x≠0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(0,1].
高考真题 教材典题
3+
解析:由已知得f,f,所以f.当x≤1时,由1≤f(x)≤3可得1≤ -x2+2≤3,所以-1≤x≤1,当x>1时,由1≤f(x)≤3可得1≤x+-1≤3,所以1课时作业6
1.(5分)(人教A版必修第一册P66例3改编)下列各组函数中,表示同一个函数的一组是(　 　)
A.f(x)=1与g(x)=x0
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=与g(t)=
基础巩固
D
解析:对于A,f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,故二者不是同一个函数,故A错误;对于B,f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,故二者不是同一个函数,故B错误;对于C,f(x)的定义域是[1,+∞),g(x)的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),两个函数的定义域不同,故二者不是同一个函数,故C错误;对于D,g(t)=与f(x)=的定义域以及对应关系都相同,故二者是同一个函数,故D正确.故选D.
2.(5分)函数f(x)=x0+的定义域是(　 　)
A.(-∞,-4]∪[2,+∞)
B.(-4,1)
C.[-4,0)∪(0,1]
D.[-4,0)∪(0,1)
C
解析:由得解得-4≤x<0或03.(5分)(2026·吉林长春模拟)已知f(x)= = (　 　)
A.-
C.
解析:函数f(x)=,所以f=
f()=log2.故选A.
A
4.(5分)已知函数f(x)=x-[x],其中[x]为不超过x的最大整数,则函数f(x)的值域为(　 　)
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
解析:由题意,[x]为不超过x的最大整数,则x-1<[x]≤x,即0≤x-[x]<1,所以函数f(x)=x-[x]的值域为[0,1).故选B.
B
5.(5分)已知f(x2-1)=x4-1,则函数f(x)的解析式为(　 　)
A.f(x)=x2-2x
B.f(x)=x2-1(x≥-1)
C.f(x)=x2+2x(x≥-1)
D.f(x)=x2-2x+2(x≥1)
解析:令t=x2-1,则t≥-1,且x2=t+1,代入原式得f(t)=(t+1)2-1=t2+2t(t≥-1),故f(x)的解析式为f(x)=x2+2x(x≥-1).故选C.
C
6.(5分)(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)=若f(a)=5-a,则实数a的值为(　 　)
A.或1
C.1 D.
解析:当a>1时,由f(a)=5-a,得2a+2=5-a 2a+a=3,解得a=1,不合题意,舍去;当a≤1时,由f(a)=5-a,得4a+3=5-a 5a=2,解得a=.综上,实数a的值为.故选D.
D
7.(5分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-4f,则f(2)的值为 (　 　)
A.
C.
解析:因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-4f,所以f-4f(x)=-15x,所以f=4f(x)-15x,所以f(x)-4[4f(x)-15x]=-,解得f(x)=4x+,所以f(2)=8+.故选D.
D
8.(5分)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为(　 　)
A.[-1,2] B.(-1,2]
C.[-1,5] D.(-1,5]
解析:对于函数y=f(2x+1),-1≤x≤2,则-1≤2x+1≤5,所以函数f(x)的定义域为[-1,5],对于函数y=,有解得-1D
9.(6分,多选)(苏教版必修第一册P112习题5.1T4,T6改编)下列说法正确的是 (　 　)
A.式子y=可表示自变量为x、因变量为y的函数
B.若f(x)=|x-1|-|x|,则f=1
C.函数y=f(x)的图象与直线x=1最多有1个交点
D.若函数的值域只含有1个元素,则定义域也只含有1个元素
BC
解析:对于A,有不等式组无解,故A错误;对于B,因为f(x)=|x-1|-|x|,所以f=0,故f=f(0)=1,故B正确;对于C,根据函数的概念知,当函数f(x)在x=1处无定义时,函数f(x)的图象与直线x=1无交点,当函数f(x)在x=1处有定义时,函数f(x)的图象与直线x=1只有1个交点,所以函数f(x)的图象与直线x=1最多有1个交点,故C正确;对于D,取函数f(x)=5(x∈R),其值域为{5},故D错误.故选BC.
10.(6分,多选)已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　 　)
A.f(f(-1))=1
B.若f(x)=3,则x的值为
C.f(x)<1的解集为(-∞,1)
D.f(x)的值域为(-∞,4]
AB
解析:对于A,因为f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确;对于B,当x≤-1时,由x+2=3,解得x=1(舍去),当-111.(6分,多选)若某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是 (　 　)
A.y=
B.y=2-x
C.y=
D.y=-|x|
AB
解析:由“[a,b]交汇函数”的定义可知“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为[0,1].对于A,y=的定义域A=(-∞,1],值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],故A正确;对于B,y=2-x的定义域A=[0,+∞),令t=,t≥0,则y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1,值域B=(-∞,1],则A∩B=[0,1],故B正确;对于C,y=,∵(x-1)2≥0,∴(x-1)2+1≥1,∴0<≤1,定义域A=R,值域B=(0,1],则A∩B=(0,1],故C错误;对于D,y=-|x|的定义域A=[-1,1],当0≤x≤1时,y=-x,y随x的增大而减小,∴-1≤y≤1,又y=-|x|为偶函数,∴值域B=[-1,1],则A∩B=[-1,1],故D错误.故选AB.
12.(6分)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+2,则f(x)的解析式可以是 .(写出满足条件的一个解析式即可)
解析:若设f(x)=ax(方法:可以用待定系数法,首先把函数设出来,再结合条件列出方程(组)确定系数的值),则由f(x+2)=f(x)+2,得a(x+2)=ax+2,解得a=1,所以f(x)=x.
f(x)=x(答案不唯一)
13.(6分)(2025·江苏盐城三模)设函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数是 .
解析:[f(x)]2-3f(x)+2=0 f(x)=1或f(x)=2,当f(x)=1时,若x≤0,则8x+1=1,无解,若x>0,则|log6x|=1,故log6x=1或log6x=-1,解得x=6或x=,当f(x)=2时,若x≤0,则8x+1=2,解得x=0,若x>0,则|log6x|=2,故log6x=2或log6x=-2,解得x=36或x=,所以方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数是5.
5
14.(6分,多选)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x],则下列结论正确的有(　 　)
A.f(-1.1)=0.9
B.函数f(x)的图象关于原点对称
C.对任意x∈R,f(x+1)=f(x)+1
D.对任意x∈R,f(f(x))=0
素养提升
AD
解析:对于A,因为f(x)=x-[x],所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9,故A正确;对于B,因为f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5,f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5- (-1)=0.5,所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0,即函数f(x)的图象不关于原点对称,故B错误;对于C,因为 x∈R, k∈Z,使得k≤x15.(6分)已知函数f(x)=若f(f(f(m)))=,则f(m)=.
解析:易得f(x)≥0恒成立,设f(m)=k,f(k)=n,f(n)=,当n≤0时,f(n)=n2
=,∴n=-=f(k),k无解,不符合题意.当n>0时,f(n)=n+2=,
∴n==f(k),当k≤0时,f(k)=k2=,∴k=-=f(m),m无解,不符合题意;当k>0时,f(k)=k+2=,∴k==f(m).
16.(8分,多选)给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程2x-y=0,下列对应关系f为函数的是(　 　)
A.f:A→B,y=f(x)
B.f:B→A,y=f(x)
C.f:A→B,x=f(y)
D.f:B→A,x=f(y)
ABD
创新训练（深刻理解）
解析:对于A,y=f(x)=2x, x∈A,均有唯一确定的f(x),且f(x)∈(0,+∞)=B,符合函数定义,故A正确;对于B,y=f(x)=2x, x∈B,均有唯一确定的f(x),且f(x)∈(1,+∞) A,符合函数定义,故B正确;对于C,x=f(y)=log2y,取y=1∈A,但x=0 B,不符合函数定义,故C不正确;对于D,x=f(y)=log2y, y∈B,均有唯一确定的f(y),且f(y)∈R=A,符合函数定义,故D正确.故选ABD.
本课结束

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