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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.10　函数与方程
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.能借助计算工具用二分法求方程近似解. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T15 新课标Ⅰ卷T7
新课标Ⅱ卷T6, T9,T11
必备知识　回顾
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使________的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
知识梳理
f(x)=0
x轴
f(x)=0
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有____________,那么,函数y=f(x)在区间_________内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_________,这个c也就是方程f(x)=0的解.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且______________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间________,使所得区间的两个端点逐步逼近____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)·f(b)<0
(a,b)
f(c)=0
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
1.若连续函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是其图象与x轴交点的横坐标.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数若有零点,则必有无穷多个零点.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数f(x)=2x的零点为0. (　 　)
(2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b) D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　 　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点. (　 　)
(4)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　 　)
基础检测
√
×
√
×
2.(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)=的零点个数为(　 　)
A.3　　　 B.2　　　
C.7　　　 D.0
解析:由解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点.故选B.
B
3.(人教A版必修第一册P144练习T2改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　 　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=0在(0,+∞)上只有一个实数根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
B
4.(苏教版必修第一册P230练习T2改编)已知函数y=x2+ax+b的零点是3和-1,则a+b=____.
解析:因为函数y=x2+ax+b的零点是3和-1,所以
所以a+b=-5.
-5
关键能力　提升
考点1 函数零点所在区间的判断
【例1】　(1)(2025·河北沧州二模)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　 　)
A.
C.
B
【解析】　因为y=2x与y=ln x-1均在定义域上单调递增,所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,又f-1-ln 2,, ln 2>ln,所以f-1-ln 2<0,又f(1)=2+ln 1-1=1>0,所以函数f(x)的零点所在区间是.故选B.
(2)设函数f(x)=ln|x|+|x|-2的零点都在区间[a,b](a,b∈Z,aA.8　　　 B.6
C.4　　　 D.2
【解析】　因为函数f(x)=ln|x|+|x|-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=ln|-x|+|-x|-2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x+x-2在(0,+∞)上单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,则存在x0∈(1,2),使得f(x0)=0,因此函数f(x)在(0,+∞)的唯一零点x0∈(0,b],则b≥2,由偶函数的性质得a≤-2,于是b-a≥4,所以b-a的最小值为4.故选C.
C
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,一定要结合函数性质进行分析判断.
规律总结
【对点训练1】　(1)(人教A版必修第一册P144练习T2改编)用二分法求函数f(x)=x零点的近似值,可以取的初始区间是 (　 　)
A.(0,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
解析:由题意可知f(x)=x的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减.易得f(4)=<0,f(3)=3=1-log23<0,
f(2)=>0,由函数零点存在定理得f(x)=x唯一的零点所在的区间为(2,3).故选B.
B
(2)(2025·辽宁抚顺期中)已知函数f(x)=x-,在下列区间中,包含f(x)零点的是(　 　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:对于函数f(x)=x-,当x>0时,易得f(x)单调递增,当x→0时,x2→0,则f(x)→-∞,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2->0,所以根据函数零点存在定理可知,(1,2)内包含f(x)的零点.故选B.
B
考点2 函数零点个数的判断
【例2】(1)(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)=则方程f(x)=-的根的个数为 (　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
B
【解析】　当x≥0时,f(x)=f(x-2),作出函数f(x)和g(x)=-的图象,如图, 因为f(2)=f(0)=f(-2)=e-2g(4)=0,所以结合图象可知,f(x)和g(x)的图象的交点个数为3.故选B.
(2)(2025·河北邯郸一模)函数f(x)=sin上的零点个数为(　 　)
A.3　　　 B.4
C.6　　　 D.8
C
【解析】　设函数t=x+,根据“对勾函数”的性质可知,函数t=x+
上单调递减,在[1,10)上单调递增,且t(1)=2,t=t(10)=10.1.所以当x∈时,t∈[2,10.1)(题眼:先求出复合函数内层函数的值域,再把它作为外层函数的定义域求解),由y=sin t=0 t=kπ,k∈Z.又t∈[2,10.1),所以k可取的值为1,2,3,此时t的值分别对应π,2π,3π.又因为x+分别取π,2π,3π时,相应方程在上各有2个解,所以f(x)在上有6个零点.故选C.
函数f(x)零点个数的判断方法
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有多少个不同的解就有多少个零点.
(2)借助函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)把函数f(x)拆分为两个较简单的函数,画这两个函数图象,看其交点的个数,交点有多少个,就有多少个零点.
规律总结
【对点训练2】　(1)函数f(x)=(a+1)x-ax+x(a>1)的零点的个数为 (　 　)
A.1
B.2
C.3
D.无法确定,与a的取值有关
A
解析:当a>1时,由指数函数的图象(如图)与性质知,当x>0时,(a+1)x-ax>0,所以f(x)>0,当x<0时,(a+1)x-ax<0,所以f(x)<0,又当x=0时,f(x)=0,所以函数f(x)只有一个零点.故选A.
(2)(2025·河北保定一模)已知f(x)是定义在R上的函数,且有f(x+1)=f(x)+1,当0A.1 B.2
C.3 D.4
C
解析:因为f(x)是定义在R上的函数,且有f(x+1)=f(x)+1,当0考点3 函数零点的应用
命题角度1　根据零点的个数求参数范围
【例3】　(2025·山西临汾二模)已知a>0,函数f(x)= g(x)=ax-a,若函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,则实数a的取值范围是
.
【解析】　因为函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,所以方程f(x)-g(x)=0有三个不同的解,当x>0时,方程为=ax-a,即1=ax2-ax,即ax2-ax-1=0,因为a>0,所以Δ=(-a)2+4a>0,所以方程有两个不等实根,又<0,所以ax2-ax-1=0有一个正根与一个负根,又x>0,所以F(x)=f(x)-g(x)有一正的零点.当x≤0时,方程为ax2+x=ax-a,即ax2+(1-a)x+a=0,因为函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,a>0,所以方程ax2+(1-a)x+a=0有两个不等负根,所以
.
命题角度2　根据零点所在的区间求参数范围
【例4】　(2025·山西阳泉三模)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,则实数m的取值范围是 (　 　)
A.(-∞,-5) B.(-5,-1)
C.(1,5) D.(5,+∞)
【解析】　由y1=log2x在(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在(0,+∞)上单调递增,得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,所以解得-5B
命题角度3　函数的多个零点问题
【例5】　设函数f(x)=
若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1A.(-3,+∞) B.(2,3)
C.[-3,3) D.(-3,3]
D
【解析】　作出函数f(x)=的图象如图所示,
因为关于x的方程f(x)=a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,
且x1或x=4,所以x11.利用函数零点求参数范围的方法
规律总结
2.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积),实质上是等高线问题,重在“减元”,结合函数图象要充分利用“函数值相等”,树立目标意识,预设“消谁留谁”,利用“函数值相等”的逆向使用,探究出自变量间的等量关系.
3.遇到复杂函数零点问题,先分析奇偶性、周期性、对称性,可减少计算量.
【对点训练3】　(1)(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 (　 　)
A.0C.1解析:因为函数y=2x,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增,由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内得f(1)= -a<0,f(2)=3-a>0,解得0A
(2)(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)=k的实数解恰有两个,则实数k的取值范围是 (　 　)
A.k≤-4
B.-4C.k=-4或k>-3
D.k=-4或k≥-3
C
解析:当x≤0时,函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,-1]上单调递减,则f(x)∈ [-4,+∞),在[-1,0]上单调递增,则f(x)∈[-4,-3];当x>0时,f(x)=-2+ln x在(0,+∞)上单调递增,则f(x)∈R,在直角坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=k,如图, 由图象知,当k=-4或k>-3时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个交点,即方程f(x)=k有两个实数解.故选C.
(3)已知函数f(x)=若方程f(x)=m有四个不同的实根x1,x2,x3,x4,且x1A.(0,1) B.(1,3)
C.(0,3) D.(2,3)
C
解析:作出函数f(x)=的图象如图, 因为f(3)=1,所以当0嵌套函数的零点
函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设出中间函数,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.
教材拓展
【典例】　(1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x2+2x)-的零点个数为__.
【解析】　令t=x2+2x,则g(x)=f(t)-,作出y=f(t)的图象,如图1所示,f(t)=有3个根,且t1∈(-1,0),t2∈(0,1),t3>1,作出t=x2+2x的图象,如图2所示,则x2+2x=t1,x2+2x=t2,x2+2x=t3各有2个根.综上,函数g(x)的零点个数为6.
6
(2)已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=a有4个不相等的实数解,则实数a的取值范围为______.
【解析】　由f(f(x))=a,设t=f(x),得f(t)=a,则y=f(t)的图象如图所示.当a<0时,显然不成立;当0≤a<1时,f(t)=a有一个解,设为t1,由图可知0(1,2)
高考真题 教材典题
1.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-的零点所在的一个区间是(　 　) A.(0,0.3)　　　　　　　　　B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 1.(人教B版必修第一册P126习题3-2BT5)已知函数f(x)=-x2,在下列区间中,一定包含f(x)零点的区间是 (　　)
A.(-2,-1)　　B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,+∞)
考教衔接
B
解析:由指数函数、幂函数的单调性可知,y=0.3x在R上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=0.3x-在[0,+∞)上单调递减,显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0, f(0.5) =0.30.5-0.50.5<0,根据函数零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5)内.故选B.
高考真题 教材典题
2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(　 　) A.-1　　　　　　　　　　　 B. C.1 D.2 2.(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4)已知函数f(x)=求使方程f(x)=k的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围.
D
解析:由题意知f(x)=g(x),则a(x+1)2-1= cos x+2ax,即cos x=a(x2+1)-1.令h(x)=cos x-a(x2+1)+1.易知h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点,所以h(0)=0,即cos 0-a(0+1)+1=0,解得a=2.故选D.
课时作业15
1.(5分)(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)=的零点个数为(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:当x≤1时,令f(x)=0,即-x2-3x-2=0,解得x=-1或x=-2,当x>1时,令f(x)=0,即2x-2-4=0,解得x=4.综上可知,函数f(x)有3个零点.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)函数f(x)=ln x+2x-5的零点为x0,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=(　 　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:因为函数f(x)=ln x+2x-5在(0,+∞)上单调递增(提示:增+增=增),且f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3+1>0,所以x0∈(2,3),所以k=2.故选C.
C
3.(5分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R),且f(1)=-,则(　 　)
A.函数f(x)在(0,1)内至少有一个零点
B.函数f(x)在(1,2)内至少有一个零点
C.函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点
D.函数f(x)在(0,1)和(1,2)内各有一个零点
C
解析:依题意,函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R),且f(1)=a+b+c=-<0,所以f(x)有两个零点,b=--c,f(x)=ax2-x+c,f(0)=c,f(1)= -<0,f(2)=a-c,若c<0,则f(0)=c<0,f(1)<0,f(2)=a-c>0,f(1)·f(2)<0,此时f(x)的两个零点分别在区间(-∞,0),(1,2)上,故A,D错误.若c=0,则f(0)=0,f(1)<0,f(2)=a>0,f(1)·f(2)<0,所以f(x)的两个零点中一个是0,另一个在区间(1,2)上.若c>0,则f(0)=c>0,f(1)<0,f(2)=a-c的符号无法判断,所以f(x)的两个零点分别在(0,1),(1,+∞)上,故B错误.综上所述,函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点,故C正确.故选C.
4.(5分)(2025·湖南岳阳二模)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a=(　 　)
A.- D.1
解析:因为f(x)有唯一的零点,所以f(x+1)也有唯一的零点,因为y=x2-1,y=a(ex+e-x)均为偶函数,所以g(x)=f(x+1)为偶函数,因此g(0)=f(1)= -1+2a=0,故a=.故选C.
C
5.(5分)若函数f(x)=|x2-2x|-a有4个零点,则实数a的取值范围为(　 　)
A.0C.a=0或a>1 D.0解析:由题意知g(x)=|x2-2x|=的图象
与直线y=a有4个交点,如图,
由图知0D
6.(5分)已知函数f(x)=ex+ln x满足f(a)f(b)·f(c)<0(0A.x0a
C.x0c
解析:因为f(x)=ex+ln x在(0,+∞)上单调递增,且00,f(c)>0或f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0(题眼:根据函数的单调性及同号相乘得正,异号相乘得负判断出函数值的符号).若f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,由函数零点存在定理可知x0∈(a,b);若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,由函数零点存在定理可知x0∈(c,+∞).综上所述,x0>a.故选B.
B
7.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=(　 　)
A.-12 B.-6
C.-8 D.4
C
解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)= -f(x-4)=f(x),∴f(x)的一个周期T=8.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴由f(x-4)=-f(x),得f(4-x)=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称.结合f(x)在区间[0,2]上是增函数和以上信息,作出函数f(x)的大致图象如图,
根据图象,可得x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.故选C.
8.(5分)(2026·湖南长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的周期函数,其最小正周期为5,设g(x)=f(2x),若g(x)在区间[0,5)上共有26个零点,则f(x)在区间[2,16)上的零点个数为(　 　)
A.8 B.10
C.12 D.15
B
解析:令t=2x,则g(x)=f(t),当x∈[0,5)时,t∈[1,32),所以g(x)在区间[0,5)上的零点个数即为f(x)在区间[1,32)上的零点个数.设f(x)在一个周期内的零点个数为m,在区间[1,2)上的零点个数为n,则f(x)在区间[2,32)上有6m个零点.因为[1,32)=[1,2)∪[2,32),所以n+6m=26.又m,n∈N,n≤m,则m=4,n=2.因为[1,16)=[1,2)∪[2,16),f(x)在区间[1,16)上有3m=12(个)零点,在区间[1,2)上有2个零点,所以f(x)在区间[2,16)上有10个零点.故选B.
9.(8分,多选)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　 　)
A.y=x(2x+2-x)
B.y=log2x2
C.y=lg(1-x)+lg(1+x)
D.y=
BC
解析:对于A,设f(x)=x(2x+2-x),则f(1)==f(-1),故y=x(2x+2-x)不是偶函数,故A错误.对于B,由x2>0,解得x≠0,所以y=g(x)=log2x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.又g(-x)=log2(-x)2=log2x2=g(x),所以y=log2x2是偶函数.因为g(1)=log21=0,所以y=log2x2既是偶函数又存在零点,故B正确.对于C,由解得-1y=lg(1-x)+lg(1+x)存在零点x=0.所以y=lg(1-x)+lg(1+x)既是偶函数又存在零点,故C正确.对于D,由x-1≠0,解得x≠1,所以y=的定义域为 (-∞,1)∪(1,+∞),所以定义域不关于原点对称,所以y=不是偶函数,故D错误.故选BC.
10.(8分,多选)已知函数f(x)=2x-x2,其零点所在的区间为 (　 　)
A.(-1,0) B.(1,3)
C.(3,5) D.(5,6)
解析:对于A,因为f(-1)=-,f(0)=1,所以区间(-1,0)内存在零点,故A正确;对于B,因为f(1)=1,f(3)=-1,所以区间(1,3)内存在零点,故B正确;对于C,因为f(3)=-1,f(5)=7,所以区间(3,5)内存在零点,故C正确;对于D,作出y=x2与y=2x的图象,如图,结合y=x2与y=2x的图象的交点情况可知区间(5,6)内没有零点,故D错误.故选ABC.
ABC
11.(8分,多选)已知函数f(x)=ax-(a>0,且a≠1),则下列结论中正确的是(　 　)
A.函数f(x)的图象过定点(0,1)
B.函数f(x)在其定义域上有零点
C.函数f(x)是奇函数
D.当a=2时,函数f(x)在其定义域上单调递增
BCD
解析:对于A,因为f(0)=a0-=0,所以函数f(x)的图象过定点(0,0),故A错误;对于B,因为f(x)=ax-的定义域为R,且f(0)=0,所以函数f(x)在其定义域上有零点,故B正确;对于C,因为函数f(x)=ax-a-x的定义域为R,且 f(-x)=a-x-ax=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故C正确;对于D,当a=2时,f(x)=2x-,因为函数y=2x,y=-均为R上的增函数,所以函数f(x)=2x-在R上为增函数,故D正确.故选BCD.
12.(5分)(2025·江苏盐城三模)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)=
则方程3f(x)=x的实数解的个数为__.
解析:由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),得f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期为4,由f(x)=得f(8)=f(0)=2cos 0=2,可得f(x)的图象如图,方程3f(x)=x的解即为f(x)与y=x图象的
交点的横坐标,且当x>8时,y=>2,由图
可知两图象的交点个数为5,即方程3f(x)=x的实数解的个数为5.
5
13.(5分)(2026·河南郑州一模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m至少有2个零点,则实数m的取值范围为______.
[-1,1]
解析:作出f(x)的大致图象如图所示,
则g(x)至少有2个零点等价于直线y=m与y=f(x)的图象至少有2个交点,由图可知-1≤m≤1,即实数m的取值范围为[-1,1].
14.(5分)若函数f(x)=log2x-+a在区间(1,2)上存在零点,则实数a的取值范
围为.
解析:因为函数y=log2x,y=a-在(1,2)上均为增函数,所以函数f(x)=log2x-+a在区间(1,2)上为增函数,因为函数f(x)=log2x-+a在区间(1,2)上存在零点,所以15.(5分)若函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=2,且y=f(x)-1为R上的奇函数,当x∈(-1,1)时,f(x)=2x-x+1,则集合A={x|f(x)=log3x}中的元素个数为(　 　)
A.11 B.12
C.13 D.14
素养提升
C
解析:由y=f(x)-1为R上的奇函数,得f(-x)-1=-[f(x)-1],即f(x)+f(-x)=2,又f(x)+f(2-x)=2,则f(2-x)=f(-x),即f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数.又f(x)+f(2-x)=2,将x=1代入得f(1)+f(1)=2,即f(1)=1.当x∈(-1,1)时,
f(x)=2x-x+1,则f(0)=1,所以当x∈Z时,f(x)=1.又当x∈(-1,1)时,f(x)=2x-x+1单调递增,且-1y=log3x的大致图象如图所示.
而集合A中的元素个数为函数y=f(x)与y=log3x图象交点的个数,由以上分析结合函数y=log3x的性质可知,3为集合A中的一个元素,且y=f(x)与y=log3x在(1,3),(3,5),…,(23,25)中的图象各有一个交点,所以集合A={x|f(x)=log3x}中的元素个数为13.故选C.
16.(6分)已知函数f(x)=若方程f(x)=ax有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1A.
C.
D
解析:方程f(x)=ax,显然x=0不为该方程的实数根,设g(x)=即方程f(x)=ax有三个不同的实数根x1,x2,x3,即g(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,当x>0时,g(x)=,则g'(x)=,所以当00,函数g(x)=在(0,e)上单调递增,当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)=在(e,+∞)上单调递减,且当x>1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,从而作出g(x)的大致图象如图,
由图可知当0本课结束