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(共65张PPT)
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
1.4　基本不等式
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.掌握基本不等式(a>0,b>0)及其推导过程. 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 2023 2024 2025
必备知识　回顾
1.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.
知识梳理
a>0,b>0
a=b
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥______(a,b∈R).
(2)≥__(a,b同号).
(3)ab≤(a,b∈R).
(4)(a,b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
2ab
2
3.“四个平均数”
给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均数;数 称为a,b的几何平均数;数分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.“四个平均数”可构成不等式链:.
4.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0.
(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是_____(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是(简记:和定积最大).
2
1.使用不等关系ab≤时,要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)不等式ab≤成立的条件是相同的.(　 　)
(2)函数y=x+的最小值是2. (　 　)
(3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　 　)
(4)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件.(　 　)
基础检测
×
×
×
×
2.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>1,则x+的最小值为 .
解析:∵x>1,∴x-1>0,∴x++1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.
3
3.(苏教版必修第一册P61练习T3改编)设x>0,y>0,且2x+5y=20,则xy的最大值为 .
解析:∵x>0,y>0,∴2x+5y≥2.∵2x+5y=20,∴20≥2,解得xy≤10,当且仅当2x=5y=10,即x=5,y=2时取等号.
10
4.(人教A版必修第一册P46例3(1)改编)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,当这个矩形两邻边的长分别为 m, m时,所用篱笆最短,篱笆的最短长度为 m.
解析:设矩形菜园的两邻边的长分别为x m,y m,由已知得xy=100,篱笆的长度为2(x+y) m.由,可得x+y≥2=20,即2(x+y)≥40,当且仅当x=y=10时等号成立.因此,当这个矩形两邻边的长分别为10 m,10 m时,所用篱笆最短,篱笆的最短长度为40 m.
10
10
40
关键能力　提升
考点1 利用基本不等式求最值
命题角度1　直接法
【例1】　(多选)在下列函数中,最小值是2的是(　 　)
A.f(x)=x2+
B.f(x)=cos x+
C.f(x)=
D.f(x)=3x+-2
AD
【解析】　对于A,∵x2>0,∴由基本不等式可得x2+≥2,当且仅当x2=,即x=1或x=-1时,等号成立,故A正确;对于B,∵00,∴由基本不等式可得f(x)=3x+-2=2,当且仅当3x=,即x=log32时,等号成立,故D正确.故选AD.
命题角度2　配凑法
【例2】　若-1A.最大值-1 B.最小值-1
C.最大值1 D.最小值1
【解析】因为-1=-1,当且仅当1-x=,即x=0时,等号成立,所以当x=0时,y=有最大值-1.故选A.
A
命题角度3　常数代换法
【例3】　(2026·河北石家庄一模)已知x∈(0,4),则f(x)=的最小值为(　 　)
A.
C.
D
【解析】　∵x∈(0,4),∴-x∈(-4,0),∴4-x∈(0,4),∴f(x)=(x+4-x)=,当且仅当,即x=时,等号成立.故选D.
命题角度4　消元法
【例4】　(1)已知x>0,y>0,x+=1,则的最小值为(　 　)
A. B.5
C.2+2
C
【解析】　由题意得x=1-,且x>0,y>0,则y>2,=2+(y-2)+=2+(y-2)+,当且仅当y-2=,即y=2+,x=-1时,等号成立,故.故选C.
(2)(一题多解)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
【解析】　方法一(换元消元法)　由已知得9-(x+3y)=xy=,当且仅当x=3y时,等号成立,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6.
方法二(代入消元法)　由x+3y+xy=9,得x=,故x+3y===3(1+y)+-6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时,等号成立,故x+3y的最小值为6.
6
1.利用基本不等式求最值的前提:“一正”“二定”“三相等”.
2.利用基本不等式求最值的基本方法:
(1)利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(2)常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数,t≠0),求(ab>0)的最值”的问题,先将,再用基本不等式求最值.
规律总结
(3)当要求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,然后利用基本不等式求最值.
注意:基本不等式“失效”的几种常见情况:①等号取不到(如例1选项B,C);②变量为负;③多次使用基本不等式时条件冲突.
【对点训练1】(1)(人教B版必修第一册P82习题2-2CT5改编)设m,n∈(0,+∞),且m+2n=1,则的最小值为 (　 　)
A.10 B.9
C.8 D.7
解析:因为m,n∈(0,+∞),且m+2n=1,所以 (m+2n)=
5+=9,当且仅当,即m=n=时,等号成立,故的最小值为9.故选B.
B
(2)关于x的方程x2-ax+b-1=0有两个相等的正根,则 (　 　)
A.有最大值
C.有最小值
解析:∵关于x的方程x2-ax+b-1=0有两个相等的正根,
∴
B
∴b=+1,a>0,∴(点悟:分子、分母同时除以a构造积为定值的条件)≤2+,当且仅当a=b=2时,等号成立,故.故选B.
(3)(人教B版必修第一册P80练习BT1改编)已知x>1,y>0,x+y=2,则(x-1)y
的最大值是.
解析:因为x>1,y>0,x+y=2,所以x-1>0,(x-1)+y=1,可得(x-1)y≤,当且仅当x-1=y,即x=,y=时,等号成立,故(x-1)y的最大值是.
考点2 利用基本不等式求参数的值或取值范围
【例5】　(2026·吉林白城一模)已知正实数x,y满足x+y-xy=0,且不等式x+y-a>0恒成立,则a的取值范围是 (　 　)
A.a<2 B.a<8
C.a<6 D.a<4
【解析】　因为正实数x,y满足x+y-xy=0,所以,则x+y=2(x+y)≥8,当且仅当x=y=4时,等号成立.因为不等式x+y-a>0恒成立,所以a<8.故选B.
B
利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法
(1)根据基本不等式等号成立的条件,求参数的值或取值范围.
(2)转化为求最值问题,利用基本不等式求解.
规律总结
【对点训练2】　若命题“ x>0,y>0,都有(x+y)≥9”为真命题,则正实数a的最小值是 (　 　)
A.2　 　　 B.4
C.6　 　　 D.8
解析:因为x>0,y>0,a>0,所以(x+y),当且仅当y=x时,等号成立.因为命题“ x>0,y>0,都有(x+y)≥9”为真命题,所以a+1+2≥9恒成立,即a+2-8≥0,解得a≥4,故正实数a的最小值是4.故选B.
B
考点3 基本不等式的实际应用
【例6】　某医院为改善医疗技术,2025年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元,使用x(x∈N*)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2+8x)万元,利润为y万元,2025年为第一年.
(1)写出y与x之间的函数解析式,并求利润的最大值;
【解】(1)y=40x-(2x2+8x+72)=-2x2+32x-72,x∈N*,
因为y=-2(x-8)2+56,所以当x=8时,y取最大值56,即利润的最大值为56万元.
(2)第几年后,该套医疗设备的年平均利润最大
【解】设年平均利润为s万元,则s== -2+32=8,当且仅当x=,即x=6时,等号成立, 故第6年后,该套医疗设备的年平均利润最大.
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为关于其他变量的函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
规律总结
【对点训练3】　某公益广告公司拟在一张矩形海报(记为矩形ABCD,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为
cm时,用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小).
12
解析:设直角梯形的高为x cm,∵宣传栏(题图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2,且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm,∴海报宽AD=(x+4) cm,海报长DC= cm,设矩形ABCD的面积为S cm2,则S=(x+4)·+1 472,当且仅当8x=,即x=12时,等号成立.故当直角梯形的高为12 cm时,用纸量最少.
教材拓展 基本不等式链
基本不等式链: a>0,b>0,有,当且仅当a=b时,等号成立,其中分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.上述不等式链中比较常用的是后三项的大小关系,且常以平方形式ab≤出现,此时a,b可以为任意实数.
证明:首先,要证,只要证,即证,即证a+b≥2. 因为a-2+b=()2≥0,
所以a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立,所以原式得证.
要证,即证. 　　
因为≥0, 所以,当且仅当a=b时,等号成立.
综上,,其中a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.
【典例】　(多选)甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑,所用时间分别为t1秒、t2秒、t3秒.甲有一半的时间以速度v1米/秒奔跑,另一半的时间以速度v2米/秒奔跑;乙全程以速度米/秒奔跑;丙有一半的路程以速度v1米/秒奔跑,另一半的路程以速度v2米/秒奔跑.其中v1>0,v2>0.则下列结论一定成立的是 (　 　)
A.t1≤t2≤t3
B.t1≥t2≥t3
C.t1t3=
D.
AC
【解析】　对于A,B,由题意知t1v2=100,t2=100,t3=,则t1=,t2=,t3=,由基本不等式可得,,故>0,故t1≤t2≤t3,当且仅当v1=v2时,等号全部成立,故A正确,B错误;对于C,因为=()2,所以t1t3=,故C正确;对于D,,
,取v1=1,v2=2,此时,故D错误.故选AC.
考教衔接
BC
高考真题 教材典题
1.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　 　) A.x+y≤1　　 　　　　　　　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 1.(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.

高考真题 教材典题

解析:对于A,B,由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy ≤3,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y= -2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,故A错误,B正确;对于C,由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时,等号成立,故C正确;对于D,由x2+y2-xy=1变形可得y2=1,设x-=cos θ,y=sin θ,则x=cos θ+sin θ,y=sin θ,因此x2+y2=cos2θ+,当x=,y=-时满足等式,但是x2+y2≥1不成立,故D错误.故选BC.
高考真题 教材典题
2.(2021·全国乙卷文)下列函数中最小值为4的是(　 　) A.y=x2+2x+4　　　　　　　　 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 2.(人教A版必修第一册P46练习T2)已知x,y都是正数,且x≠y,求证:
(1)>2;
(2).
C
解析:对于A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-1时,y取得最小值,且ymin=3,故A错误;对于B,设t=|sin x|,则y=t+,t∈(0,1],因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,故B错误;对于C,因为y=2x+22-x≥2=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,x=1时,等号成立,所以ymin=4,故C正确;对于D,当0课时作业4
1.(5分)(2025·湖北武汉月考)若x∈,则2x+的最小值为(　 　)
A.1　 　　 B.2
C.2　 　　 D.3
解析:因为x∈,所以2x-1∈(0,1](易错:应用基本不等式前必须确保变量是正数,如果不是正数,需要通过构造转化为正数),所以2x++1=3,当且仅当2x-1=,即x=1时,等号成立,故2x+的最小值为3.故选D.
基础巩固
D
2.(5分)(2025·辽宁盘锦三模)已知正数m,n满足4m+6n=1,则的最小值为(　 　)
A.2+4
C.7+4
解析:因为正数m,n满足4m+6n=1,所以,当且仅当,n=时,等号成立,故.故选B.
B
3.(5分)(2026·T8联考)已知a>0,b>0,,则的最小值为(　 　)
A.3　　　　 B.2　　　
C.　　　　 D.1
解析:∵,∴ab≥2,∴=log2(ab)≥log22=1,当且仅当a=b=时,等号成立.故选D.
D
4.(5分)已知a,b>0,且ab+2a+b-3=0,则a+b的最小值为 (　 　)
A.
C.2-3
解析:由ab+2a+b-3=0得a=,即a+b=+(b+2)-3≥2-3,当且仅当a=-1,b=-2时,等号成立,故a+b的最小值为2-3.故选C.
C
5.(5分)设a>b>c,n∈N,且恒成立,则n的最大值是 (　 　)
A.2 　　　 B.3
C.4　 　　 D.5
C
解析:(a-c)≥n2,(a-c)=(a-b+b-c)=11+ ,当且仅当,即a+c=2b时,等号成立,故11+2≥n2.又n∈N,所以n的最大值是4.故选C.
6.(5分)(2025·广东揭阳三模)“物竞天择,适者生存”是大自然环境下选择的结果,森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明,某类昆虫在水平速度为v(单位:分米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)近似满足v2=的等量关系,则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　 　)
A.0.2米 B.0.25米
C.0.45米 D.0.7米
解析:由v2=可知v2-Hv4=4H,故H=,当且仅当v2=2时,等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度约为0.25米.故选B.
B
7.(6分,多选)下列推导过程,其中正确的是(　 　)
A.因为a,b为正实数,所以=2
B.因为x为非负实数,所以2x+2-x≥2=2
C.因为a<0,所以=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以≤-2=-2
ABD
解析:对于A,a,b为正实数,有>0,>0,且=1,又当且仅当a=b时,成立,满足基本不等式的条件,故A正确;对于B,x为非负实数,则2x≥1,0< 2-x≤1,且2x·2-x=1,又当且仅当x=0时2x=2-x成立,满足基本不等式的条件,故B正确;对于C,因为a<0,所以<0,不符合基本不等式成立的条件,故C错误;对于D,x,y∈R,xy<0,则->0,->0,且=1,又当且仅当y= -x≠0时,-成立,满足基本不等式的条件,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)若6a=2,6b=3,则下列判断正确的是(　 　)
A.a+b=1 B.a2+b2<
C.ab<
解析:对于A,因为6a=2,6b=3,所以a+b=log62+log63=log66=1,故A正确;对于B,由,又a≠b,所以等号不成立,即a2+b2>,故B错误;对于C,由a+b=1≥2,又a≠b,所以等号不成立,即ab<,故C正确;对于D,a=log62=log6,故D正确.故选ACD.
ACD
9.(5分)(2026·山西吕梁一模)正数x,y满足x+y=xy,则x+9y的最小值是 .
解析:由正数x,y满足x+y=xy,得=1,则x+9y=(x+9y)=10+=16,当且仅当,即x=3y=4时等号成立,故x+9y的最小值是16.
16
10.(5分)已知x>0,y>0,且=1,若x+2y>m2恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析:因为x>0,y>0,=1,所以x+2y=(x+2y)+4=8,当且仅当,即x=4,y=2时,等号成立,故x+2y的最小值为8.因为x+2y>m2恒成立,所以m2<8,所以-2,所以实数m的取值范围是(-2,2).
(-2,2)
11.(18分)已知a>0,b>0,且=4.
(1)求证:ab≥;
解:证明:因为a>0,b>0,所以4=,
当且仅当b=2a=1时,等号成立,
所以≤4,所以ab≥.
(2)求2a+b的最小值.
解:因为=4,所以2a+b=(2a+b)=.
因为a>0,b>0,所以=4,当且仅当,即b=2a=1时,等号成立,
所以4+≥8,所以2a+b=≥2,即2a+b的最小值是2.
12.(19分)“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业,金秋十月,苹果飘香引客来,呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地,如图所示,当地的设计公司欲在△ACD,△ABD,△BDE三块区域种植不同的花草供游客欣赏,已知AC=BE,∠ACB=∠AEB=90°,AC+BC=4 km,BC=x km.
(1)设CD=y km,试用x表示y;
解:因为∠ACB=∠AEB=90°,AC=BE=4-BC=(4-x) km,∠ADC= ∠BDE, 所以Rt△ACD≌Rt△BED,所以CD=DE.
在Rt△BDE中,BD2=ED2+EB2,所以(x-y)2=y2+(4-x)2,
整理得y=4-(0(2)试确定当x取何值时,△ACD的面积最大,并求最大值.
解:设△ACD的面积为S km2,由(1)得S=(4-x)·,当且仅当2x=,即x=2时,等号成立,
故当x=2时,△ACD的面积最大,最大值为(12-8)km2.
13.(6分,多选)(苏教版必修第一册P61习题3.2T1改编)设正数x,y满足2x+y=1,则下列选项正确的是 (　 　)
A.2xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为
C.3x(x+2y)的最大值为2
D.
素养提升
ABD
解析:对于A,1=2x+y≥2,得2xy≤,当且仅当y=2x且2x+y=1,即x=,y=时,2xy取得最大值,故A正确;对于B,4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy≥1-2×,当且仅当x=,y=时,4x2+y2取得最小值,故B正确;对于C,3x(x+2y)≤=(2x+y)2=1,当且仅当3x=x+2y,即x=y=时,3x(x+2y)取得最大值1,故C错误;对于D,+1,当且仅当,即x=,y=-1时,+1,故D正确.故选ABD.
14.(5分)(2026·陕西西安模拟)已知实数a>0,b>2,且,则2a+b的最小值是 .
解析:因为a>0,b>2,且,所以=1,所以2a+b=
[2(a+1)+(b-2)]·≥8+
2=16(敲重点:当两个变量为正数时,有一个代数式的值
16
已知,求另一个代数式的最值时,可根据“乘1值不变”的性质,将已知式与所求式相乘,转化为“倒数”之和的形式,再利用基本不等式求解),当且仅当,即b-2=2(a+1),即a=3,b=10时,等号成立,故2a+b的最小值是16.
本课结束

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