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第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
1.5　一元二次不等式的解法
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T1
全国二卷T4
必备知识　回顾
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
知识梳理
2.三个“二次”之间的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 __________________ R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ______________ __ __
{x|xx2}
{x|x1

　 当Δ<0时,不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是 ,要注意区别.
3.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|0)的解集为(-a,a).记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间.
1.一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0),x∈R恒成立 a>0且Δ<0.
(2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0),x∈R恒成立 a<0且Δ<0.
2.对于不等式ax2+bx+c>0(<0),求解时不要忘记a=0时的情形.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0. (　 　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　 　)
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　 　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　 　)
基础检测
×
√
×
×
2.(人教A版必修第一册P53练习T1(5)改编)不等式-2x2+x≤-3的解集
为 .
解析:由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥,故不等式的解集为(-∞,-1]∪.
(-∞,-1]∪.
3.(人教A版必修第一册P55习题2.3T5改编)已知A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则A∪B= .
解析:已知A={x|x2-16<0}={x|-40}={x|x<1或x>3},则A∪B=R.
R
4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 .
解析:当k=0时,满足题意;当k≠0时,解得 -3(-3,0]
关键能力　提升
考点1 一元二次不等式的解法
命题角度1　不含参一元二次不等式的解法
【例1】　(多选)下列选项中,正确的是 (　 　)
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-2≤x<3}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
ABD
【解析】　对于A,因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确;对于B,由≤1,得-1≤0,即≤0,即2(x+2)(x-3)≤0且x-3≠0,解得-2≤x<3,故不等式的解集为{x|-2≤x<3},故B正确;对于C,由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,故不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误;对于D,由|x-1|<1,可得-1命题角度2　含参一元二次不等式的解法
【例2】　解关于x的不等式ax2+(2a+3)x+6>0(a∈R).
【解】　原不等式可化为(ax+3)(x+2)>0.
①当a=0时,原不等式化为3x+6>0,解得x>-2.
②当a>0时,原不等式化为(x+2)>0.当=2,即a=时,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);当>2,即0时,原不等式的解集为(-∞, -2)∪.
③当a<0时,原不等式化为(x+2)<0,原不等式的解集为.
综上,当a=0时,原不等式的解集为(-2,+∞);
当a<0时,原不等式的解集为;
当0当a=时,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);
当a>时,原不等式的解集为(-∞,-2)∪.
1.对于不含参数的一元二次不等式,尤其是将分式不等式转化为整式不等式时,要注意等价转化,必要时要对分母进行限制,转化为不等式组.
2.对于含参数的一元二次不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、为负及为零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的大小关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根之间的大小关系进行讨论.
规律总结
【对点训练1】　(人教B版必修第一册P75练习B T5改编)设关于x的函数f(x)=2mx2-mx-1,解不等式f(x)<0.
解:不等式f(x)<0 2mx2-mx-1<0.
当m=0时,-1<0恒成立,则x∈R.
当m>0时,Δ=m2+8m>0,解得.
当m<0时,若-8则Δ=m2+8m<0,x∈R;
若m=-8,则Δ=m2+8m=0,x∈R且x≠;
若m<-8,则Δ=m2+8m>0,
x<.
综上,当-8当m>0时,原不等式的解集为
;
当m=-8时,原不等式的解集为;
当m<-8时,原不等式的解集为.
考点2 三个“二次”之间的关系
【例3】　(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞, -2)∪(3,+∞),则(　 　)
A.a>0
B.a+b+c>0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为
ACD
【解析】　对于A,∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞, -2)∪(3,+∞),∴a>0,故A正确;对于B,-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得
∴a+b+c=-6a<0,故B错误;对于C,不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,得x<-6,故C正确;对于D,不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-,故D正确.故选ACD.
1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入法或根与系数的关系求待定系数.
规律总结
【对点训练2】　若关于x的不等式k2x2-3kx-10<0的解集为{x|-2A.-或1 B.1
C.-或1
解析:由题意知关于x的方程k2x2-3kx-10=0的实数根为-2和5,代入得解得k=1.故选B.
B
考点3 一元二次不等式的恒成立问题
命题角度1　在实数集R上的恒成立问题
【例4】　若关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集是R,则实数m的取值范围是(　 　)
A.{m|-4≤m≤0}
B.{m|-4C.{m|0≤m<4}
D.{m|-4B
【解析】　当m=0时,原不等式为-1<0,符合题意;当m≠0时,要使关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集是R,只需解得-4命题角度2　在给定区间上的恒成立问题
【例5】　若不等式x2-tx+1<0对一切x∈恒成立,则实数t的取值范围为(　 　)
A.t≥
C.t≥2 D.t≥
D
【解析】　因为不等式x2-tx+1<0对一切x∈恒成立,所以t>上恒成立(提示:x的符号确定,可采用分离参数法求解),函数y=x+上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,且当x=时,y=2+,当x=3时,y=3+,故x+,故t≥.故选D.
命题角度3　给定参数范围的恒成立问题
【例6】　若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为(　 　)
A.{x|-1≤x≤4}
B.
C.
D.
C
【解析】　由题意可得,命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对 a∈[-1,3]恒成立,则
≤x≤4,即实数x的取值范围为.故选C.
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)对于一元二次不等式在R上恒成立问题,可用判别式Δ进行解决;对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题,不能用判别式Δ进行解决,一般用分离参数求最值或分类讨论的方法.
规律总结
【对点训练3】　已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立 并说明理由.
解:不存在.理由:原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,
当m=0时,原不等式化为-2x+1<0,不恒成立;
当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立,
则需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,无解.
故不存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立.
(2)若不等式对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数m的取值范围.
解:因为x>1,所以m<.
设2x-1=t(t>1),x2-1=,
则m<.
设g(t)=t-+2,t∈(1,+∞),显然g(t)在(1,+∞)上单调递增.
又g(1)=0,所以g(t)>0.
当t→+∞时,t-+2→+∞,→0,故m≤0.
故m的取值范围是(-∞,0].
(3)若不等式对任意m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.
解:设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),
当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立,
当且仅当
即
由①得.
由②得x<.
取交集,得.
所以x的取值范围是.
高考真题 教材典题
1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　 　) A.{x∣-2≤x≤1}　　　　　　 B.{x∣x≤-2} C.{x∣-2≤x<1} D.{x∣x>1} 1.(人教B版必修第一册P75例3)求不等式≥1的解集.

考教衔接
C
解析:≥2,即≤0,即 故 -2≤x<1,故原不等式的解集是{x|-2≤x<1}.故选C.
高考真题 教材典题
2.(一题多解)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2, -1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N= (　 　) A.{-2,-1,0,1}　　　　　　 B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 2.(人教A版必修第一册P55习题2.3T1)求下列不等式的解集:
(1)13-4x2>0;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)x2-3x-10>0;
(4)-3x2+5x-4>0.
C
解析:方法一　因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪ [3,+∞),M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
方法二　M={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2分别代入不等式x2-x-6≥0,只有-2使不等式成立,故M∩N={-2}.故选C.
课时作业5
1.(5分)不等式≥1的解集是 (　 　)
A.
B.
C.
D.
基础巩固
C
解析: ≤x<1.故选C.
2.(5分)(2026·湖北武汉模拟)函数y=[x]在数学上称为高斯函数,也叫取整函数,其中[x]表示不大于x的最大整数,如[1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3,则不等式4[x]2-16[x]+7≤0成立的充分不必要条件是(　 　)
A.[x]∈{0,1} B.[x]∈{1,3}
C.[x]∈{1,4} D.[x]∈{1,2,3}
解析:不等式4[x]2-16[x]+7≤0即(2[x]-1)(2[x]-7)(提示:利用十字相乘法分解因式)≤0,解得≤[x]≤,故[x]的取值集合为{1,2,3},其充分不必要条件是{1,3}.故选B.
B
3.(5分)若不等式mx2+x+4m>0在x∈R上恒成立,则m的取值范围是(　 　)
A.m>
C.m<-
解析:当m=0时,不等式化为x>0,不合题意,当m≠0时,由题知.故选A.
A
4.(5分)若a<0,则关于x的不等式a(x+2)<0的解集为(　 　)
A.
B.
C.
D.
解析:∵a<0,a(x+2)<0,∴(x+2)>0,∴不等式的解集为.故选C.
C
5.(5分)若对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立,则实数m的取值范围是 (　 　)
A.m≥
C.m≤
B
解析:因为对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立,所以≥m,其中x∈[-1,1].设y=x2-x+,x∈[-1,1],因为y=x2-x+,所以当x=时,函数y=x2-x+,x∈[-1,1]取最小值,最小值为,所以m≤.故选B.
6.(5分)已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 (　 　)
A.
B.
C.
D.
D
解析:对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<=2,所以x2-x+1<2,解得,故实数x的取值范围是.故选D.
7.(6分,多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞,1)∪(5,+∞),则 (　 　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为
BD
解析:由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,由根与系数的关系可得1+5=-,1×5=,得b=-6a,c=5a.对于A,a<0,故A错误;对于B,不等式bx+c>0,即-6ax+5a>0,即6x-5>0,得x>,故不等式bx+c>0的解集为,故B正确;对于C,a+b+c=a-6a+5a=0,故C错误;对于D,由不等式cx2-bx+a<0,得a(5x2+6x+1)<0,即5x2+6x+1>0,解得x>-或x<-1,即该不等式的解集为,故D正确.故选BD.
8.(6分,多选)关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰有3个整数,则a的值可以为(　 　)
A.- B.1
C.-1 D.-2
AC
解析:对于B,由题意知a<0,故B错误;对于A,当a=-时,(x-2)>0,即(x+2)(x-2)<0,解得-20,即(x+1)(x-3)<0,解得-10,即(2x+1)(x-5)<0,解得-9.(5分)(苏教版必修第一册P73复习题T5(3)改编)不等式x4+3x2-10<0的解集是 .
解析:不等式x4+3x2-10<0可化为(x2)2+3x2-10<0,令t=x2(t≥0),则不等式可化为t2+3t-10<0,解得-5(-,)
10.(5分)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}= ,则实数m的取值范围为 .
解析:若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}= ,则x2-2x+m≤0对于任意x∈[0,1]恒成立,即m≤-x2+2x=-(x-1)2+1对于任意x∈[0,1]恒成立,根据二次函数性质可知,当x=0时,(-x2+2x)min=0,故实数m的取值范围为(-∞,0].
(-∞,0]
11.(18分)已知函数f(x)=x2-ax+1.
(1)若a=1,求不等式f(x)≥7的解集;
解:当a=1时,由f(x)=x2-x+1≥7,可得x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,
解得x≤-2或x≥3,
故不等式的解集为{x|x≤-2或x≥3}.
(2)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;
解:由题意得f(x)=x2-ax+1≥0恒成立,
因为二次函数图象开口向上,所以Δ=a2-4≤0,解得-2≤a≤2,故实数a的取值范围为[-2,2].
(3)若 x∈[1,2],f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围.
解:由题意得f(x)=x2-ax+1≥-2恒成立,又x∈[1,2],所以a≤x+在x∈[1,2]上恒成立.
因为x+,当且仅当x=时,等号成立,所以a≤2,
即实数a的取值范围为(-∞,2].
12.(20分)已知二次函数f(x)=ax2-4x+3.
(1)若f(x)<0的解集为{x|11},求ab的值;
解:若f(x)<0的解集为{x|11},则1,b是方程f(x)=0的根,
由a-4+3=0,解得a=1,由1+b==4,解得b=3,故ab=3.
(2)解关于x的不等式f(x)>2ax-2x-1.
解:由二次函数f(x)=ax2-4x+3知a≠0,
将不等式f(x)>2ax-2x-1整理得ax2-(2a+2)x+4>0,即(ax-2)(x-2)>0,
由(ax-2)(x-2)=0得x1=,x2=2.
①当a>0时,不等式等价于(x-2)>0.
若>2,则0若=2,则a=1,原不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞);
若<2,则a>1,原不等式的解集为∪(2,+∞).
②当a<0时,不等式等价于(x-2)<0,原不等式的解集为.
综上,当0当a=1时,原不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,原不等式的解集为∪(2,+∞);
当a<0时,原不等式的解集为.
13.(5分)(2025·陕西渭南二模)若关于x的不等式2ax2-4xA.(1,2] B.[1,2)
C.(0,2) D.(0,2]
素养提升
B
解析:当a=0时,原不等式化为-4x<-2,解得x>,不满足条件,故a≠0.关于x的不等式2ax2-4x0,x1=,x2=<0,解集为,不满足条件;当a>0时,不等式可化为(2x-1)<0,当x1>x2时,,即a>4,不等式的解集为,要使不等式有且只有一个整数解,则-1≤<0,又因为
a>0,所以不满足条件;当x1=x2时,,即a=4,不等式的解集为空集,不满足条件;当x114.(5分)已知不等式(x-m)(x2-nx-2)≥0对任意x>0恒成立,则m2+n2的最小值为(　 　)
A.4-4 B.4
C.4+2
A
解析:令y=x2-nx-2,其图象的对称轴为直线x=,当x=m时,(x-m)(x2-nx-2)=0,若m≤0,当x>0时,要使不等式(x-m)(x2-nx-2)≥0对任意x>0恒成立,则y=x2-nx-2≥0对任意x>0恒成立,当x=0时,y=-2<0不满足题意,故m>0,且x=m是方程x2-nx-2=0的一个正根,将x=m代入x2-nx-2=0可得m2-mn-2=0,即n=,则m2+n2=m2+
-4,当且仅当2m2=,即时,等号成立,所以m2+n2的最小值为4-4.故选A.
本课结束

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