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2026年高考冲刺数学稳妥拿分专训（一）
专训说明：1.本专训所选题目均来自最新模拟试题，指导性强；2.适合80-120分的学生进行稳妥拿分训练；3.建议限时60-80分钟.
一、单选题
1．（2026·重庆·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解
【详解】因为，所以，解得，
由，
因为是的真子集，
所以是成立的充分不必要条件.
2．（2024·江西南昌·二模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据的奇偶性可判断选项C、D错误，又根据单调性可判断选项B错误，从而可得答案.
【详解】由题意，函数的定义域为，
因为，所以，所以是偶函数，排除C和D；
当时，，，令，则，
令，，所以在单调递增，
因为，所以由可得，
所以时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以B错误.
3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的计算公式求得正确答案.
【详解】依题意，在上的投影向量为.
4．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解.
【详解】在中，因为，所以均为锐角，
可得，，
所以，
又因为，所以，所以为直角三角形，
因为，可得，
所以的面积为.
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即、时，等号成立，
即的最小值为.
6．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可求出的值；令，由 得，两式作差推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解.
【详解】对任意的，，且，
当时，则有，
即，解得或（舍）；
当时，由 ①，
可得②，
①②得 ，
整理可得 ，
由题意知，所以，
又因为，可得，也满足等式，
故当时，等式也成立，
故对任意的，，故数列为常数列，
故对任意的，则，
所以，故.
7．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【详解】
由抛物线得焦点，设，
因为是的中点，所以的坐标为，
因为在抛物线上，将坐标代入得： ，
再由两点间距离公式： .
8．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解.
【详解】函数的定义域为R，求导得
，而，
当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当时，，当时，，
函数有两个零点，当且仅当，令函数，
而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增，
又，因此不等式的解集为.
所以实数m的取值范围是.
二、多选题
9．（2026·山西临汾·二模）若，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B．
C． D．被16除的余数是15
【答案】ABC
【分析】利用二项式定理中二项式系数的特点：中间项的二项式系数最大，求解选项A，对二项式展开式进行赋值，赋值求解选项B，对二项式展开式的左右两边进行求导再赋值求解即可求解选项C，对二项式展开式赋值并观察各项系数特点是否含有16的因数求解选项D.
【详解】展开式中二项式系数最大为第1014项，故选项A正确，
所以
又因为
所以令则故选项B正确.
对函数左右两边求导得：
令，则
又，所以，故选项C正确.
，
令，则，
除第一项外，其余项均可以被16整除，
所以被16除的余数是1，故选项D错误.
10．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．向量、、一定共面
C．向量在基底下的坐标是
D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得
【答案】ACD
【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若，
假设、、不全为零，不妨设，则，
所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对；
对于B，假设、、共面，
则存在、，使得，
即，
根据A可知，该方程组无解，假设不成立，
故向量、、不共面，B错；
对于C，向量在基底下的坐标是，C对；
对于D，由B可知，向量、、一定不共面，
则可作为空间向量的一组基底，
故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，
使得，D对.
三、填空题
11．（2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________
【答案】3
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称，
所以，解得.
12．（2026·河南·模拟预测）已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则__________．
【答案】/
【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立并结合韦达定理求得的表达式，根据题意解出p的值即可．
【详解】由题意知，直线AB斜率一定不为零，故设过点的直线方程为，
交点，，联立直线与抛物线方程可得，
整理得，由韦达定理得，
，
而，
所以，解得．
四、解答题
13．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最小整数n的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以，
又，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
可得.
（2）由（1）得为等比数列，
设数列的前项和为，，
所以，
构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
为整数，所以当，，不成立，
当，，成立，
所以满足条件的最小整数n的值为.
14．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，四棱锥中，底面.
(1)证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.
（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的方向量，结合二面角的向量求法求出，再根据线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）证明：在四棱锥中，由平面平面，得，
由，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由，可设，则，
过点作，由平面，得平面，
则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
于是
设平面的法向量，
则
取，得，
又，设平面的法向量，
则
取，得，
所以，解得.
则，
易知，则，
于是，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
15．（2026·广东揭阳·二模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)求中奖次数X的分布列和数学期望；
(2)求第二次中奖的概率；
(3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
【答案】(1)的分布列为
0 1 2
.
(2)
(3)中奖2次的人数为时的概率最大.
【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望；
（2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率；
（3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大.
【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
则中奖次数的可能取值为，
则，
，
，
则的分布列为
0 1 2
所以的期望为.
（2）设为“第二次中奖”，
则.
（3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得，
故，其中，
令，
所以，
化简得，故，
故中奖2次的人数为的概率最大.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考冲刺数学稳妥拿分专训（一）
专训说明：1.本专训所选题目均来自最新模拟试题，指导性强；2.适合80-120分的学生进行稳妥拿分训练；3.建议限时60-80分钟.
一、单选题
1．（2026·重庆·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·江西南昌·二模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
8．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·山西临汾·二模）若，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B．
C． D．被16除的余数是15
10．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．向量、、一定共面
C．向量在基底下的坐标是
D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得
三、填空题
11．（2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________
12．（2026·河南·模拟预测）已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则__________．
四、解答题
13．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最小整数n的值．
14．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，四棱锥中，底面.
(1)证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值.
15．（2026·广东揭阳·二模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)求中奖次数X的分布列和数学期望；
(2)求第二次中奖的概率；
(3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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