资源简介

福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．3 B． C． D．4
2．如图，点O为正六边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．已知向量，满足，，，则在上的投影向量等于（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．在菱形中，，，P为菱形所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．z的虚部为7 B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．z是方程的一个根
10．已知的内角的对边分别为，则（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则
D．若满足，的有两个，则边长的取值范围是
11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为
B．若，则
C．若存在点P，使平面，则长度的最小值是
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____．
13．在梯形中，，，设（，），则____．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____．
四、解答题
15．已知向量，．
(1)若向量，求实数k的值；
(2)若向量满足，求的值．
16．已知复数（），且为实数，其中i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)在复平面内，设复数，，对应的点分别为A，B，C，若四个点A，B，C，D构成平行四边形，求点D对应的复数．
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若的平分线交边于点D，且，，求的面积．
18．如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点．
(1)求证：D，B，F，E四点共面．
(2)设平面平面，求证：．
(3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
(1)已知．
（ⅰ）求角B；
（ⅱ）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．
(2)设P为内一点，满足，若，，求实数的最小值．
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．C
5．C
6．C
7．B
8．D
9．AD
10．ACD
11．ABD
12．
13．/
14．16
15（1）由，，
得，．
因为，所以，
解得．
（2）由，，得，，
由，得，，解得，
所以，则．
16．（1）因为，
所以，
则，所以，所以．
（2）由题意可知，，，所以，，．
设，又为平行四边形，所以，
即，解得，，
故，即点D对应的复数为．
17．（1），
，
即，即，
，，．
（2）在中，由正弦定理得，．
在中，由正弦定理得，．
两式相除可得，即．
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，解得，．
的面积．
18．（1）证明：连接．
因为，分别为棱，的中点，
所以，又在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以，，，四点共面．
（2）证明：由（1）知，又平面，平面，
所以平面．
因为平面平面，平面，所以．
（3）存在，且．
理由如下：取的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
设为的中点，所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
故存在所求的点，且．
19．（1）（ⅰ）因为，
所以由正弦定理得，
又，
所以，
由，，所以，
即，又，所以，得．
（ⅱ）因为是锐角三角形，且，所以，，
又，所以，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
（2）因为，
所以，所以，
所以，所以为直角三角形，．
，
设，，（，，），
则由，得，
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，所以，解得或（舍去）．
故实数t的最小值为．

展开更多......

收起↑