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定远育才学校2025-2026学年七年级（下）期中检测
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为( )
A. B. C. D.
4.若，下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.下列各式计算结果为的是 ( )
A. B. C. D.
6.不等式组的最大整数解是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则的值为 ( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.若计算的结果中不含有项，则的值为( )
A. B. C. D.
10.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若，则 ．
12.一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗包含剪枝，商家把售价至少定为每千克 元，才能避免亏本．
13.两个完全相同的长方形按如图所示的方式放置，每个长方形的面积为，图中涂色部分的面积为，则每个长方形的周长为 ．
14.因式分解： ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分计算：
．
16.本小题分解不等式，并将解集表示在数轴上．
17.本小题分计算：
；
．
18.本小题分分解因式：
19.本小题分
先因式分解，再求值：，其中，．
20.本小题分
如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
求绿化的面积用含，的代数式表示，并化简；
若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少元？
21.本小题分
已知代数式，．
与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值；
先化简，再将中的结果代入求值．
22.本小题分
小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图所示的若干个 、 的小正方形以及 的小长方形硬纸片．
【实践】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式： ．
请你帮小明完成拼图设计；
应用上述公式解决如下问题：
已知 ， ，求 的值；
若 ，则 ______．
【实践】小红从 的小正方形中裁剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
上述操作能验证的公式是 ；
计算： ．
23.本小题分
请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
世纪的法国数学家苏菲姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧”
受上述方法启发，尝试分解；
类比问题尝试分解；
小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15.解：（1）原式．
（2）原式．
16.解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：
系数化为得：，
在数轴上表示为：

17. 解：（1）
原式 ；
（2）原式 ．
18. 解：（1）．
（2）
．
19.解：原式当，时，原式．
20. 解：（1）平方米．
（2）当，时，平方米，所以完成绿化共需要元．
21. 解：（1）
，，
，
与的积中不含的二次项，且常数项为，
，
解得：；
（2）
，
把代入，则．
22. 解：（1）如图，
大正方形的面积可以表示为 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 ．
从而验证了完全平方公式： ；
（2） ， ， ，
，
；
设 ， ，
， ，
，
，
解得 ，
；
故答案为：；
（3）由图中剩余部分的面积为 ；图中长方形的面积为： ，
故答案为：
（4）
．
23. 解：（1）
．
（2）
．
（3）正确；
举例：当完全平方数为时，
，
一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则，
，
因此，正确结论是：形如为正整数的多项式均可用此法分解因式．

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