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2025-2026年第二学期甘肃省渭源县第三高级中学期中考试试卷
高二 数学
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，．若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知为锐角，，则（）
A． B． C．或 D．
6．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
7．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
8．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ）
A． B．四面体体积的最大值为1
C．时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为
D．时，四面体外接球表面积为
10．已知函数关于下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数的一条对称轴
C．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象
D．的导函数的值域为
11．已知曲线：，则（ ）
A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为
B．曲线恰有八条对称轴
C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数
D．曲线所围成的封闭图形的面积满足
三、填空题（每题5分，共15分）
12．在二项式的展开式中，的系数为___________．
13．一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答）
14．设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15（13分）已知数列的首项，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
16（15分）．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，
（i）求抽到的是红球的概率；
（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
17（15分）．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，.
(1)若为棱的中点，求证：平面PAB；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点A到平面的距离.
18（17分）．已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为．
(1)求的方程；
(2)过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点．
（i）求的取值范围；
（ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：．
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若恒成立，求实数的取值范围
第5页共6页 第6页共6页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A A B C B ABD BCD
题号 11
答案 ABD
12．
13．432
14．
15．（1）当时，，
则，，，，
所以，即.
所以.
当时，满足上式，
故的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
所以，
因为，所以，则，因此，
故.
16．（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”，
则
故 ；
（2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
则 ，
则
（ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 .
17．（1）取棱的中点N，连接.
在中，M，N分别为，的中点，
所以，且.因为，所以.
又因为底面中，且，所以，且.
所以四边形为平行四边形，从而.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，
所以以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系.
由已知条件可得各点坐标，，，.
因为且，所以点C的坐标为.
对于平面，.
设平面的法向量为，
则，
令，则，.
所以平面PCD的一个法向量为.
对于平面，，.
设平面的法向量为，
则，
令，则，.
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
故这两个平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，
因为点在平面上，且点A坐标为，所以
则点A到平面的距离d为，
所以点A到平面的距离为.
18．（1）由渐近线方程知，，
由焦点坐标可知，，
联立，解得，双曲线的方程为．
（2）（i）经分析可知，直线的斜率不为0，故可设直线，
由于直线与双曲线的右支交于两点，故，
设，联立，整理得到，
则，
故
，
设，联立，整理得到，
则．
故
，
则，
，故，
，故；
（ii）过且与平行的直线可写为，
联立，解得，
过且与平行的直线可写为，
联立，解得，
当时，，此时，则直线斜率不存在，
又此时直线的斜率也不存在，且四点不共线，
，
当时，
，
，
四点不共线，
．
19．（1）当时，则，
可得，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，
令，可得，
令，则转化为与的交点个数，
因为，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
且，可得：
当或，即或时，与有1个交点；
当，即或时，与有2个交点；
综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点.
（3）因为恒成立，即恒成立，
当时，，因为不恒成立，所以不满足题意；
当时，由得，即恒成立，
等价于恒成立，
因为曲线与关于直线对称，所以，
等价于，可得，
由（2）可得：，则；
综上可得：的取值范围是.
答案第1页，共2页
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