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2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（四）
一、单选题：
1．设函数在处可导，且，则（　　）
A． B． C．1 D．－1
【答案】B
【详解】．故选：B
2．已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】D
【详解】由题意知：，解得，故选D．
3．某市组织高中数学测试．考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格．已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ） 附：，．
A．3413 B．1587 C．8413 D．6826
【答案】C
【详解】依题意，这次数学测试的平均分，标准差，
则，参加数学测试的总人数为，又，
所以本次考试成绩及格的人数大约为．故选：C
4．已知随机变量服从两点分布，则方差的可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以，则，
结合选项可知的可能值为．故选：A
5．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0．5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，
，
，
则．故选：C
6．的个位数是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】A
【详解】因为，
而是10的倍数，所以的个位数是．
故选：A．
7．已知随机变量的分布列如图：若，则（ ）
0 1
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】由题意可得，即，则，
则，
化简得，即，
解得或，则或，
则或．故选：C．
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项错误的是（ ）
A．第10行所有数字的和为1024
B．
C．第6行所有数字的平方和等于
D．若第行第个数记为，则
【答案】B
【详解】A：第10行所有数字是二项式系数，因此第10行所有数字的和为，因此本选项正确；
B：
，所以本选项不正确；
C：所求的和表达式为：，
因为
，
所以展开式中的系数为，即，
而，
因此有，
于是有，所以本选项正确；
D：因为，所以本选项正确，
故选：B
二、多选题：
9．下列结论错误的是（ ）
A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好
B．已知随机变量，随机变量，则
C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（）
D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断独立
【答案】BCD
【详解】对于A选项，在回归模型中，决定系数越接近1，说明回归模型对数据的拟合效果越好，越大（越接近1），则回归拟合的效果越好，该选项正确；
对于B选项，，，
所以，故B错误；
对于C选项，若列联表中所有数据都缩小为原来的，则的值变为原来的，所以结论可能会发生改变，故C错误；
对于D选项，由可得出“零假设与独立”不成立，所以有的把握说有关，故D错误．
故选：BCD
10．已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】由已知有，故，．
所以．
对于A，取得，取得，
所以，A错误；
对于B，对求导得，
取得，B正确；
对于C，在中用替换，
得．
所以，特别地对有，C错误；
对于D，由有．
在中取得，
所以，D正确．故选：BD．
11．某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步．每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】每投掷一次骰子，前进一步的概率为，前进两步的概率为，显然；对于A，一共前进了2步，可能是第一次前进了两步，或第一次、第二次各前进一步，所以，故A错误；
对于B，一共前进了3步，可能是第一次前进了两步且第二次前进了一步，
或第一次前进了一步且第二次前进了两步，或三次各前进一步，所以，故B正确；
对于C，一共前进了步，可能是前进步后继续前进2步，或前进步后，继续前进1步，
所以，即，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，又注意到，
所以数列是常数列，这个数列中的每一项都是，
所以，所以，解得，
，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：
12．展开式中含项的系数是__________．
【答案】240
【详解】因为 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，其中 ，
所以 的展开式通项为 ，
由 ，可得 或 ，因此，展开式中含 x 项的系数为 ．
故答案为：
13．现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好取到1双鞋子的概率为__________．
【答案】
【详解】先从5双鞋子中任取1双，有种，再从剩下的4双中选取两双，并从这两双中每双鞋各取一个，共种，故共有种．故答案为：．
14．在“苏超”足球训练的点球挑战赛中，甲、乙两队轮流进行点球对决．每轮对决中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各轮结果相互独立．挑战赛规则为：当一队比另一队多赢得2轮对决时该队获胜，比赛结束．设比赛从0：0开始，则比赛4轮甲获胜的概率为：___________；若比赛结束所需的总对决轮数为，则___________．
【答案】
【详解】比赛4轮甲获胜时，1、2两局各胜1局，3、4两局甲获胜，所以
比赛结束所需的总对决轮数为时，分为甲或乙胜，
不管最终哪个人获胜，前局，每两局每人获胜1局，最后两局是同一个人获胜，
所以
四、解答题
15．已知函数，．
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值．
【解析】【小问1详解】因为，所以，
设过点直线与函数相切于点，切线方程为，代入点，得，
整理得，即，，
解得或，当时，切点为,则切线方程为：；
当时，求得切线方程；所以切线方程为：或；
【小问2详解】由（1）可得曲线在点处的切线，即，
由，可得，
所以曲线在处的切线的斜率为，所以，解得,
此时切点为，所以曲线在处的切线方程为，
即，与平行，满足题意，所以．
16．某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间x（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
（1）从这9天的数据中任选3天的数据，以X表示3天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程．
参考数据：，，．
附：对于一组数据(，)，(，)，…，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【解析】
【小问1详解】
普及人数不少于200人的天数为4天，则X的所有可能取值为0，1，2，3
，，，．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
【小问2详解】
去掉第周的数据可得统计表如下：
时间周 1 2 3 4 6 7 8 9
每周普及的人数 80 98 129 150 190 258 292 310
设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
所以，，，；
去掉第5个月数据后，．
所以，，
所以剩下的数据求得的回归直线方程为：．
17．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史 悟思想 办实事 开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择．
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答．
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立 互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二．
（1）求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由．
【解析】
【小问1详解】设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件，
则，；所以；
小问2详解】设甲教师得分数为，则答对题数为，有，
故，，
设乙教师得分数为，则的可能取值为，，，
，，，
则，
，
由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【详解】（1）令，得到，又由二项展开式知，
所以．
（2）因为，
令得，．
（3）依题意，，，
又
，
所以
，
所以的值为．
19．有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球．
（1）取出五个盒子，分别编号为，
第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子；
第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中；
第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色．
①求第三步摸到的球是红球的概率；
②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？
（2）取出个盒子，重新编号，依次为，
从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小．
【详解】（1）第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球．
①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件
设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则．
此时2号盒子中有4红3白，．
设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件，则．
此时2号盒子中有2红5白，则．
设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件，则．
此时2号盒子中有2红3白，则，则
故第三步从2号盒子中摸出红球的概率是．
②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则．
．
．
最大，所以放回1号盒子的可能性更大．
（2）记“从号盒子中摸出的球为红球”，，所以，
则由全概率公式可得：．
又，，
又，，．
设号盒子中红球个数为，可能取值为，
，，．
．
而．
．
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一、单选题：
1．设函数在处可导，且，则（　　）
A． B． C．1 D．－1
2．已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
3．某市组织高中数学测试．考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格．已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ） 附：，．
A．3413 B．1587 C．8413 D．6826
4．已知随机变量服从两点分布，则方差的可能值是（ ）
A． B． C． D．
5．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0．5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．的个位数是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
7．已知随机变量的分布列如图：若，则（ ）
0 1
A． B．
C．或 D．或
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项错误的是（ ）
A．第10行所有数字的和为1024
B．
C．第6行所有数字的平方和等于
D．若第行第个数记为，则
二、多选题：
9．下列结论错误的是（ ）
A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好
B．已知随机变量，随机变量，则
C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（）
D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断独立
10．已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步．每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：
12．展开式中含项的系数是__________．
13．现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好取到1双鞋子的概率为__________．
14．在“苏超”足球训练的点球挑战赛中，甲、乙两队轮流进行点球对决．每轮对决中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各轮结果相互独立．挑战赛规则为：当一队比另一队多赢得2轮对决时该队获胜，比赛结束．设比赛从0：0开始，则比赛4轮甲获胜的概率为：___________；若比赛结束所需的总对决轮数为，则___________．
四、解答题
15．已知函数，．
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值．
16．某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间x（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
（1）从这9天的数据中任选3天的数据，以X表示3天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程．
参考数据：，，．
附：对于一组数据(，)，(，)，…，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
17．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史 悟思想 办实事 开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择．
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答．
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立 互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二．
（1）求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
19．有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球．
（1）取出五个盒子，分别编号为，
第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子；
第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中；
第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色．
①求第三步摸到的球是红球的概率；
②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？
（2）取出个盒子，重新编号，依次为，
从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小．
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