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安徽合肥市第一中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列说法正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
5．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
10．在中，内角A，B C所对的边分别为a b c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为非直角三角形，则
11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ）
A．最大值为1 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
三、填空题
12．若复数是纯虚数，则实数___________．
13．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是____________.
14．在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________.
四、解答题
15．平面上有三点，，，向量，．
(1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值
16．已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
17．如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.

(1)计算该模型的体积.（结果精确到）
(2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元）
18．如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记．
(1)当时，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范围．
19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；
(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．B
5．A
6．C
7．A
8．B
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．2
13．
14．
15．（1）若三点不能构成三角形，则，
又，所以，解得．
（2）因为，所以，
因为，所以，
解得或.
16．（1）设，
则，
所以，解得，
故.
（2）是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，
.
17．（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，
则，
设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，，
所以圆柱的体积，
圆锥的体积
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
一个模型的表面积，
所以总费用为（元）.
18．（1）
由题意，
，
所以
；
（2）
，
若，则，
，
因为三点共线，
所以可设，
由于三点共线，所以设，
所以，解得，，
所以；
（3）
，
则
，
,
因为三点共线，
所以可设，
因为，所以，
所以，即，
所以，
令，所以，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故所求为.
19．（1），故；
（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以
.
（3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.

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