资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
重难点01平面向量最值取值范围
4大高频考点概览
考点01 坐标法求数量积最值取值范围
考点02 基底法求数量积最值取值范围
考点03 模长的最值取值范围
考点04 系数的最值取值范围
1．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，设点，其中，
所以，，，
所以，，
因为函数在区间上单调递减，
当时，取最小值.
故选：B.
2．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________.
【答案】/
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可.
【详解】
如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线
分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2，
则，，
设，则，，
因为，且，
所以，且，
即，可得.
因为，点在内部，所以，
可得，所以.
所以，
所以，
所以当时， 取最小值.
故答案为：
3．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________.
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意
，
又，且、不共线，所以，所以；
如图建立平面直角坐标系，则，，所以，，
所以，
因为点为线段上的动点，所以设，，
则，则，
所以，，
所以
，
所以当时取得最小值，最小值为；

故答案为：；
4．(24-25高一下·天津第一中学·期中)在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则________（用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的线性运算即可表示，再利用数量积的定义求出最小值.
【详解】在梯形中，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图：
由，得，
由，得，，则，
因此；
，因此，
当且仅当反向共线时取等号，所以的最小值为.
故答案为：；
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在中，的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求周长；
(3)如图，若，动点分别在线段上运动，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式的逆运用可求得；
（2）由已知条件可得，在中利用余弦定理可得，再由，可知为正三角形，可求得其周长；
（3）建立平面直角坐标系，得出关于的表达式，并根据二次函数性质计算可得其最小值.
【详解】（1）由和正弦定理，可得；
即，
又，所以，
可得，故.
（2）由可得，又，，
所以，；
在中，由余弦定理可得，
整理可得，解得或（舍）；
在中，由，可知为正三角形，
故周长为9.
（3）由可得，且；
以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设与轴交于点，因可得，因此，；
则，可得
因为动点分别在线段上运动，所以，
因；
则；
所以
，
显然当时，取得最小值.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用给出线段定比分点建立以为坐标原点的平面直角坐标系，求出关于的表达式，再结合二次函数可求出其最小值.
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；
解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
2．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________.
【答案】 /
【分析】①令，，的中点为Q，则，求得，即可得②利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.
【详解】①令，，
则，
即，
所以，即点在直线上.
设的中点为Q，因为，所以
因为，， ∴
所以
②设，由向量共线的充要条件不妨设
则
又
则，即，
又的面积为面积的一半，得,∴
所以，.
由①得，
.
解得，∴
所以.
故答案为：①；②.
3．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)已知在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，．若，AE与BF交于点N，，则的值为__________．若，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解；用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得.
【详解】当时，即为的中点，
因为、、三点共线，
设，则
，
因为、、三点共线，
设，则，
又、不共线，
根据平面向量基本定理得，解得，
所以，又，则，
所以；
因为，
，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：；
4．(22-23高一下·天津第一中学·期中)在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为__________．
【答案】
【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；
空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由已知，
.
∴ .
设，即与的夹角为，
，
若，则，
∴ ，
又∵，，∴由基本不等式，
∴ .
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
5．(24-25高一下·天津第一中学·期中)如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）以、为基底表示出，代入原式根据数量积的定义及运算法则进行计算即可.
（2）利用平面向量基本定理列方程组进行求解.
（3）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）设，则，
所以，解得.
（3）记，
，
设，
则，，
，，
所以当，即时，取得最小值为.
1．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】解：在中，，则，分别是边的点，线段的中点分别为
∴，，
∴，
∴两边平方得：
，
∵，
∴，
又∵，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：B.
【点睛】运用平面向量线性运算法则，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于x的二次函数，再求最值.
2．(23-24高一下·天津第一中学·期中)已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.
【答案】
【分析】由平行四边形的面积为，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为平行四边形的面积为，
所以，得，
如图，连接，则,
所以，
因为三点共线，所以，得，
所以，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：，.
3．(22-23高一下·天津部分区·期中)在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值.
【详解】，，
由正弦定理得，
，，
，
，.
，，当且仅当时取等号.
，
.
.
故选：D
4．(23-24高一下·天津南仓中学·期中)在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________．
【答案】 /120°/ /0.5
【分析】用和表示，根据即可求出；设，根据用λ表示，根据二次函数性质即可求出最小时λ的值，从而求出．
【详解】
，
；
设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°，
则
，
∴当时，取最小值，则．
故答案为：120°；．
5．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，．
(1)用向量，表示向量，；
(2)求的取值范围；
(3)是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，
（2）根据向量模长公式，结合二次函数的性质即可求解，
（3）根据线性运算以及平面向量基本定理即可列方程求解.
【详解】（1）因为，
所以．
又．

（2），
因为，，，
所以
．
因为动点E，F分别在线段BC和DC上且不包含端点，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
（3）设，，其中，则
，
因为，
由平面向量基本定理，得
解得，
由，得，故，
所以，解得，或．
因为，所以．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量数量的运算律和基底法得到的表达式，再根据二次函数的性质即可求出其范围.
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点），
则设，则,
则，结合，可得，且，
故，
当且仅当，结合，即时取得等号，
即 的最小值为，
故选：D
2．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图在平行四边形中，为边上一点，且满足，为上一点，且满足，，则，满足的数量关系为__________，的最小值为__________．
【答案】 16
【分析】（1）设，用把表示出来，结合，即可求得，满足的数量关系；
（2）由，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】为上一点，可设，
因为，所以，
由，所以
所以，因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
，因为，所以，
当且仅当时等号成立.
3．(23-24高一下·天津重点校·期中)如图，在中，与BE交于点，，则的值为__________；过点的直线分别交于点设 ，则的最小值为__________.

【答案】 4
【分析】设，将分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出，然后根据求解可得；将代入，根据共线可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.
【详解】设，令，
因为，所以，
所以，
又与分别共线，所以，解得.
因为，
所以，即，
解得，即.
因为，

所以，
所以，
因为共线，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4；.
4．(21-22高一下·天津五校·期中)如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.
【答案】 2
【分析】先得出，设出得出，则，两问分别代入计算即可.
【详解】因为在中，，
所以,
即.
因为点在线段上移动（不含端点），所以设.
所以，对比可得.
代入，得；
代入可得，根据二次函数性质知当时，.
故答案为：
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在锐角 中， 点O为 的外心.
(1)若求的值；
(2)若 求的值；
(3)若 求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用垂径定理，把向量的数量积转化为投影向量的数量积即可求解；
(2)利用正弦定理可求外接圆半径，再利用圆心角性质，即可求模长；
(3)利用向量的数量积运算，得到关于的方程求解并表示，最后转化到基本不等式求最值.
【详解】（1）
作根据圆的性质可得分别为的中点，
则，
（2）由正弦定理可知，设外接圆半径为，则有，
所以，根据圆心角性质又可知，
则有.
（3）设三角形中角所对的边为，
则由可得
化简得：，
还可得：，
化简得：，
联立解得：，，
所以，当且仅当时,等号成立，
此时的最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
重难点01平面向量最值取值范围
4大高频考点概览
考点01 坐标法求数量积最值取值范围
考点02 基底法求数量积最值取值范围
考点03 模长的最值取值范围
考点04 系数的最值取值范围
1．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________.
3．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________.
4．(24-25高一下·天津第一中学·期中)在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则________（用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为________.
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在中，的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求周长；
(3)如图，若，动点分别在线段上运动，且，求的最小值.
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
2．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________.
3．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)已知在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，．若，AE与BF交于点N，，则的值为__________．若，则的最小值是__________．
4．(22-23高一下·天津第一中学·期中)在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为__________．
5．(24-25高一下·天津第一中学·期中)如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
1．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·天津第一中学·期中)已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.
3．(22-23高一下·天津部分区·期中)在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．(23-24高一下·天津南仓中学·期中)在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________．
5．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，．
(1)用向量，表示向量，；
(2)求的取值范围；
(3)是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由．
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图在平行四边形中，为边上一点，且满足，为上一点，且满足，，则，满足的数量关系为__________，的最小值为__________．
3．(23-24高一下·天津重点校·期中)如图，在中，与BE交于点，，则的值为__________；过点的直线分别交于点设 ，则的最小值为__________.

4．(21-22高一下·天津五校·期中)如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在锐角 中， 点O为 的外心.
(1)若求的值；
(2)若 求的值；
(3)若 求的最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑