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重难点03立体几何外接球和内切球
7大高频考点概览
考点01 墙角模型
考点02 汉堡模型
考点03 切瓜模型求
考点04 正棱锥模型
考点05 台体模型
考点06 锥体模型
考点07 内切球模型
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正方体的体对角线即为外接球的直径，即可得解.
【详解】棱长为的正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为,
则，即，
所以外接球的表面积.
故选：B
2．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可.
【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上，
则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径，
由正四面体的内切球的表面积为，得，令，
，，，
在中，，解得，，
所以该正四面体的外接球的体积.
故选：C
3．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可.
【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为，
易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
则，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.
4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出正方体外接球的半径，再得出四棱锥高的最大值，代入四棱锥的体积公式即可求得体积最大值．
【详解】由正方体棱长与其外接球半径的关系知：，即，
则四棱锥的高的最大值为，
所以四棱锥的体积的最大值为，
故选：B．
5．(22-23高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.
【详解】因为平面BCD，
所以，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
如图所示：
三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则 ，
解得，
所以球O的表面积为，
故选：A.
1．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合底面直角三角形的外接圆的半径，以及直棱柱的结构特征，得到外接球的半径，满足，再由球的体积公式，即可求解.
【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，
设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得，
设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为，
则三棱柱外接球的球心为的中点，设为，
又因为三棱柱的高为，
所以外接球的直径为，
可得，所以该三棱柱的外接球的体积为.
故选：A.
2．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案.
【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，
是中点，连接，如图所示：
，，则，四边形为矩形，
，，故，.
故选：C
3．(23-24高一下·天津第四十七中学·期中)已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】外接球球心为正三棱柱上下底面的外接圆圆心连线的中点，先求出底面外接圆半径，再由勾股定理即可求出外接球半径.
【详解】解：设三棱柱的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R，
则三棱柱底面三角形的外接圆半径满足：，解得：
由题知，，
，
故球O的表面积为，
故选：B.
4．(22-23高一下·天津第二十中学·期中)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ）
A．8π B．9π C．10π D．11π
【答案】A
【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：
BC，
∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点，
设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1，
又，
所以V柱＝S△ABC AA1，所以可得AA1＝2，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，
所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，
设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π，
故选：A．
【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．
5．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______.
【答案】 ； .
【分析】应用棱柱的表面积公式求正四棱柱的表面积，正四棱柱的结构特征确定外接球的半径，再由球体的体积公式求体积.
【详解】由题设，正四棱柱的表面积为，
由外接球的直径为正四棱柱的体对角线，则，
所以外接球体积为.
故答案为：，
1．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______．
【答案】/
【分析】由题意确定三棱锥外接球球心位置，根据外接球表面积求得外接球半径，即可求得PA的长，利用三棱锥体积公式即可求得答案.
【详解】设为正的中心，M为的中点，
过点作平面的垂线l，由于平面，故，
在确定的平面内作，垂足为O，则四边形为矩形，
连接，则，
故，则O即为三棱锥外接球的球心，
因为P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，
设外接球半径为R，故，
是边长为2的等边三角形，故,
故，
所以三棱锥的体积，
故答案为：
2．(22-23高一下·天津南开中学·期中)三棱锥的顶点都在球O的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为108，则球O的表面积为________.
【答案】
【分析】解三角形知为直角三角形，求出外接圆半径，圆心、球心、P在一条直线上时棱锥体积最大，求出此时棱锥高，再由求出球的半径即可.
【详解】在中，由正弦定理得：，解得，
，
外接圆的半径，
当三棱锥体积最大时，P到的距离最大，
即P点为AB中点与球心连线延长线与球的交点，且此连线垂直于平面ABC，
设三棱锥的高为h，则，解得，
设球的半径为R，则，解得.
.
故答案为：
3．(22-23高一下·天津第二十中学·期中)鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，．
(1)求三棱锥的体积和表面积；
(2)求三棱锥外接球体积和内切球的半径．
【答案】(1)，表面积为
(2)外接球体积为，内切球半径为
【分析】（1）利用公式可求体积及表面积.
（2）利用补体法可求外接球的半径，从而可求外接球的体积，利用等积法可求内切球的半径.
【详解】（1）由题设可得，而三棱锥的高为，
三棱锥的体积，
又，
三棱锥的表面积
.
（2）由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球．即为三棱锥外接球的直径.
因为，所以三棱锥外接球体积为.
记内切球的球心为，连结，，，，得到四个等高的三棱锥，
且该高为内切球的半径，则，
得，
所以，
故三棱锥内切球的半径为.
1．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示：
取线段的中点，连接，则，
因为，，
设点在底面的射影为点，则为正的中心，且，
，
设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，
设球的半径为，则，
由勾股定理可得，即，解得，
因此，该正三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
2．(24-25高一下·天津第五十五中学·期中)半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先画出正四棱锥，然后计算其体积，球的体积与正四棱锥体积比较即可.
【详解】画出正四棱锥，外接球球心为

由题可知，，所以，
根据勾股定理可知，
所以，
所以该四棱锥体积，
因为球的半径为，
所以球的体积为，
所以
故选：B
3．(23-24高一下·天津第一中学·期中)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.
【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设，
根据其对称性可知，过点，
又该八面体为正八面体，则面，又面，故；
显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，，
则，在直角三角形中，；
由 可得，则；
故该八面体的表面积.
故选：D.
4．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为__________.
【答案】3
【分析】根据体积可求出四棱锥的高，再由此求出棱长，即可求出表面积.
【详解】如图，设底面中心为，
则，可得，
因为底面为正方形，则，，
则的边边上的高为，
则该四棱锥的表面积为.
故答案为：3.

5．(20-21高一下·天津芦台一中、静海一中、蓟州一中、杨村一中等七校·期中)已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为_____．
【答案】．
【分析】计算出四棱锥的外接球半径，由球的体积公式： 即可求解.
【详解】
由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径为，
作底面
，
同理可得
所以
所以外接球的体积为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查立体几何的内切外接问题，解此题的关键找到外接球的球心和半径，同时要熟记球的体积公式，属于中档题.
1．(24-25高一下·天津第一中学·期中)圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积.
【详解】如图，

则该几何体的轴截面如下：

所以，，
∵与圆相切，点为切点，
∴，
过点作与点，
∴，∴，则，
即球的半径，∴这个球的表面积，
故选：D.
2．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________.
【答案】
【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果.
【详解】如下图所示：
在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为，
由正三棱台性质可知在上，
易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为；
可得，即；
即，
又，设，则，解得；
所以外接球半径为，
可得则该球的表面积为.
故答案为：
1．(23-24高一下·天津耀华中学·期中)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，可得在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得，代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.
【详解】底面周长为，则母线长度，
则圆锥的高为，
由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，
故在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，
设球的半径为，则有，即，
解得，故球的表面积等于.
故选：B.
2．(22-23高一下·天津实验中学滨海学校·期中)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则圆锥的底面半径为______；若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为______.
【答案】
【分析】先由圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆半径和高，然后根据圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，设球的半径为，列出方程解出，然后计算球的体积.
【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，所以圆锥的母线长为，
若底面圆的半径为，则，故，则圆锥的高为3，
因为该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，设球O的半径为，
则，解得，所以球O的体积为.
故答案为：，
3．(24-25高一下·天津南开大学附属中学·期中)四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
【答案】
【分析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】解：如图，在四面体中，底面，，，

可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．
1．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正四面体的结构特征及其内切球、外接球半径关系、空间几何体的体积公式计算即可.
【详解】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，
设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，四面体各面面积为S，
则由四面体的体积得，
所以四面体的内切球和外接球的体积之比为，
故选:A.
2．(24-25高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为______.
【答案】
【分析】先根据球的体积得出球的半径，再根据圆柱的表面积公式计算即可.
【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，
圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为，
利用球的体积公式可得：，解得：，
再由圆柱的表面积公式得：，
故答案为：.
3．(24-25高一下·天津静海区第六中学·期中)已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为_________.
【答案】
【分析】由题意可知：该球的半径即为等边三角形的内切圆半径，进而可得半径和体积.
【详解】由题意可知：该球的半径即为等边三角形的内切圆半径，
则，所以此球的体积为.
故答案为：.
4．(23-24高一下·天津河西区·期中)底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________．
【答案】
【分析】利用圆锥侧面积和底面积的比求得，进而求得圆锥内切球半径与底面半径的关系式，从而求得内切球表面积是圆锥表面积的倍.
【详解】圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径，
母线为，则，，
所以，得：，如图，
可知是正三角形，O是内切球球心，圆锥的内切球分别与边交于点，
所以，是内切球半径，
因为，则，又
所以，即，
所以内切球表面积 ，所以，
则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为.
故答案为：
5．(22-23高一下·天津河西区·期中)将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为________.
【答案】
【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.
【详解】由题意知，球内切于正方体，所以，得到.
所以球的体积，
即可制作的最大零件的体积为，
故答案为：.
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考点01 墙角模型
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考点03 切瓜模型求
考点04 正棱锥模型
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考点06 锥体模型
考点07 内切球模型
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．(22-23高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高一下·天津第四十七中学·期中)已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．(22-23高一下·天津第二十中学·期中)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ）
A．8π B．9π C．10π D．11π
5．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______.
1．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______．
2．(22-23高一下·天津南开中学·期中)三棱锥的顶点都在球O的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为108，则球O的表面积为________.
3．(22-23高一下·天津第二十中学·期中)鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，．
(1)求三棱锥的体积和表面积；
(2)求三棱锥外接球体积和内切球的半径．
1．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津第五十五中学·期中)半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高一下·天津第一中学·期中)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为__________.
5．(20-21高一下·天津芦台一中、静海一中、蓟州一中、杨村一中等七校·期中)已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为_____．
1．(24-25高一下·天津第一中学·期中)圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________.
1．(23-24高一下·天津耀华中学·期中)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
2．(22-23高一下·天津实验中学滨海学校·期中)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则圆锥的底面半径为______；若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为______.
3．(24-25高一下·天津南开大学附属中学·期中)四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
1．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为______.
3．(24-25高一下·天津静海区第六中学·期中)已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为_________.
4．(23-24高一下·天津河西区·期中)底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________．
5．(22-23高一下·天津河西区·期中)将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为________.
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