资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
难点04立体几何中的夹角与距离
4大高频考点概览
考点01 异面直线所成角
考点02 直线与平面所成角
考点03 二面角
考点04 点面距
1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·天津嘉诚中学·期中)在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点，
①；
②平面；
③三棱锥的体积为定值；
④与所成的最大角为.
上述命题中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为__________.
4．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为_________．
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.
(1)求证：;
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
2．(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．
(1)求证： 平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
3．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
4．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 .
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积.
5．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
1．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________．
2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知菱形的边长为2，，沿将折起得到二面角.当二面角为直二面角时，的长为______；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为______.
3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且
(1)求证: 平面
(2)求点A到平面的距离.
(3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值.
4．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
1．(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，．
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离．
2．(23-24高一下·天津第二耀华中学·期中)在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1，
(1)求三棱锥P—ABC的侧面积；
(2)求点A到平面PBC的距离.
3．(24-25高一下·天津天华高级中学·)如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离．
4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图， 已知是平面外一点，平面，.
(1)证明：平面；
(2)过点作垂直于，证明：；
(3)若，，求点到平面的距离.
5．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
难点04立体几何中的夹角与距离
4大高频考点概览
考点01 异面直线所成角
考点02 直线与平面所成角
考点03 二面角
考点04 点面距
1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解.
【详解】取中点，连接、，
矩形中，
，可得
因此
正三棱柱中，平面平面
平面平面，,平面，
直线平面，平面，可得
，平面，平面，
平面，因此可得，即与所成角的大小为，
故选：B．
2．(23-24高一下·天津嘉诚中学·期中)在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点，
①；
②平面；
③三棱锥的体积为定值；
④与所成的最大角为.
上述命题中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】利用正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定和性质，异面直线所成角及锥体体积计算对4个命题逐个判断即可得出结论.
【详解】对于①，因为平面，平面，则，
又因为，且平面，
得平面，又平面，所以 ；
因为平面，平面，则，
又因为平面，
所以平面，又平面，
所以 ，又平面，所以平面.
又平面，所以，正确；
对于②，在正方体中，因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理，平面，又平面，
所以平面平面.又平面，所以平面，正确；
对于③，由②知，平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以 为定值，正确；
对于④，当与重合时，与所成的角最大,最大为，理由如下：
因为，平面，平面，
所以，，且平面，
所以平面，
平面，所以，所以与所成的最大角为，正确.
故正确的命题个数为4个.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查了线线、线面关系的判断及锥体的体积，解题的关键是利用等体积转化法判断体积为定值.
3．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为__________.
【答案】
【分析】取中点，利用几何法，借助余弦定理求出异面直线夹角的余弦.
【详解】在四棱锥中，取中点，连接，令，
由E为棱PA的中点，得，则是异面直线CE与PB所成的角或其补角，
由底面ABCD，底面ABCD，得，
，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
4．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为_________．
【答案】/
【分析】利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合异面直线所成角的定义及勾股定理和逆定理即可求解.
【详解】设分别为棱的中点，连接，,如图所示，
因为分别为棱的中点，
所以,
又因为为棱的中点，，为棱的中点，
所以,且，
所以四边形为平行四边形，
所以,
所以为直线 与直线所成的角（或其补角）.
设正三棱柱的棱长为，则
，
，
，
,
所以，即,
所以，
故直线 与直线所成的角为.
故答案为：.
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由正方体性质和线面垂直判定定理证明即可得出结论；
（2）作出异面直线所成角的平面角，在中由正切函数定义即可求得结果；
（3）由点到平面的距离与点到平面的距离相等，利用等体积法计算即可求得结果.
【详解】（1）由正方体性质可知平面，
而平面，所以，即
由四边形为正方形，可得；
又，平面，
所以平面；
（2）易知，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
在中，易知，且，
因此，
即异面直线与所成角的正切值为；
（3）易知点到平面的距离与点到平面的距离相等，
易知三棱锥中，且；
所以，
设点到平面的距离为，
由可得，
解得；
即点到平面的距离为.
1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.
(1)求证：;
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质，即可证明结果；
（2）根据条件，利用几何关系得到，，再由线面垂直的判定定理，即可求解；
（3）连接，与相交于点，取的中点，连接，，根据条件及（1）中结论，得到平面，从而有是直线与平面所成的角，即可求解.
【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，且平面 平面=，所以.
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知，所以，又因为 ，所以四边形是平行四边形，
得到 ，且，在中，，
又，得，所以，
在中，，，，所以，
所以，即，
又因为四边形是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（3）连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，则，，
由（1）知，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
由（1）知平面，又平面，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面，故平面，
又 平面，所以 ，
又因为，平面，平面，
所以平面，故是直线与平面所成的角，
在中，，所以直线与平面所成角的正切值为.
2．(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．
(1)求证： 平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证
（2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点， 中点为，
所以，且，
又，故，故四边形为平行四边形，
故，
因为平面，平面，
所以平面，

（2）由于底面，平面，所以平面 底面，又两平面的交线为，
过作于，连接，
所以平面，故即为直线与平面所成角，
又，，所以，，
，
由，所以，
故
3．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面；
（2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面；
（3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案．
【详解】（1）连接交于点，连接．
在中，为的中点，为的中点．
是的中位线，
，
平面平面，
平面；
（2）在正三棱柱中，
平面平面，
，
在等边中，为的中点，
，
又是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，
平面平面；
（3）连接，
和都是直角三角形，且，
，
，
，
由（2）得，平面平面，平面平面，又平面，
平面，则为直线与平面所成的角．
在中，，则
所以直线与平面所成角的正切值为.
4．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 .
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；
（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；
（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.
【详解】（1）由于为圆的直径，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为 平面，所以平面，
又因为平面，所以;
（2）由（1）得，，，且 平面，
所以平面，又由于平面，那么，
又因为，，平面，
所以平面，又由于平面，那么平面平面；
（3）由（2）可知：平面，而直线与平面所成角为，
那么，且，
所以且，
那么
在中，，得，
所以
那么，
，则.
5．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）依题意可得，即可证明；
（2）依题意可得，再由平面，得到，即可得证；
（3）取的中点，连接、、，首先证明，从而得到平面，则为直线与平面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）在三棱柱中，与交于点，
所以为的中点，又是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因为，是的中点，所以，
又平面，，所以平面，又平面，
所以，
又，平面，所以平面；
（3）取的中点，连接、、，
则且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角的平面角，
因为平面，平面，所以，
设，则，，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.
1．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________．
【答案】
【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值.
【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面，
易知，因此可得平面，
过点作于点，连接，如下图所示：
由平面，又平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，可得；
即可得即为二面角的平面角；
显然，且，三角形为正三角形，所以；
在中，.
即二面角的正切值为.
故答案为：
2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知菱形的边长为2，，沿将折起得到二面角.当二面角为直二面角时，的长为______；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为______.
【答案】 或
【分析】利用二面角的定义找到为二面角的平面角，当二面角为直二面角时，易计算得到；当三棱锥的体积为时，求出到平面的距离为，利用三角函数的定义计算即可.
【详解】如图将菱形沿将折起得到二面角
取的中点，连接，
因为菱形的边长为2，，所以，
所以，且，
所以为二面角的平面角，
如图：当二面角为直二面角时，此时，
所以.
当三棱锥的体积为时，记到平面的距离为,
即，解得.
如图：过点作,
由，且面,
所以面,
因为面，所以，
又因为面,
所以面，故到平面的距离为,
由，所以为直角三角形，
因为，所以
由为二面角的平面角，所以，
所以或.
故答案为：；或.
3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且
(1)求证: 平面
(2)求点A到平面的距离.
(3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直；
（2）利用等体积法可求点到面的距离；
（3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值.
【详解】（1）由平面，平面， 所以，
又由底面是矩形，则，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又由为的中点，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）
连接，由平面，平面，所以，
又因为，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以
又因为是中点，所以，
则，，
由等体积法可得点A到平面的距离满足：
；
（3）
延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，
即，又由于，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是，
因为，分别是的中点，
所以,即，
所以，
平面与平面所成锐二面角的正弦值为.
4．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；
（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．
【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以 平面.
（2）∵平面，平面，∴，
连接，∵且，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴平行四边形为正方形，∴，
又，∴，
又，面，∴面，
∵面，∴平面平面.
（3）∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴
∴为二面角的平面角，从而，所以，
作于，连接，
∵平面平面，平面，平面平面，
∴面，所以为直线与平面所成角，
在直角中，，，，∴，
因为面，面，所以，
在直角中，，，
∴，
则直线与平面所成角的正切值为.
1．(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，．
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直即可求证，
（2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解.
【详解】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故,
又底面，底面，故,
平面，
故直线平面
（2）由，可得,
所以,
设到平面的距离为，
则
2．(23-24高一下·天津第二耀华中学·期中)在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1，
(1)求三棱锥P—ABC的侧面积；
(2)求点A到平面PBC的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别计算三个侧面的面积即可；
（2）利用等积法即可得到点A到平面PBC的距离.
【详解】（1）∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AB ，PA⊥AC，又AB⊥AC，
∴均为直角三角形，
又AP=AC=2，AB=1，
∴
∴为等腰三角形，
∴，，
，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
设点A到平面PBC的距离为，
则，
∴
即点A到平面PBC的距离.
3．(24-25高一下·天津天华高级中学·)如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）借助中位线平行来证明线面平行即可；
（2）借助等体积法来求点到面的距离即可.
【详解】（1）
取与的交点为，连接，
由侧面均为正方形，可得，又因为点是棱的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
（2）
因为侧面，均为正方形，，，
所以，，又因为点是棱的中点，
所以，即可得，
所以，
又因为，
设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得，
．解得，
故到平面的距离为.
4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图， 已知是平面外一点，平面，.
(1)证明：平面；
(2)过点作垂直于，证明：；
(3)若，，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证；
（2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证；
（3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以；
（3）在平面内过点作交于点，
因为，，，所以，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为.
5．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论；
（2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离.
【详解】（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点
所以且，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）由题设，
在中，，，
得，
，
，
设点B到平面的距离为h，又，
所以，则，从而.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑