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专题01平面向量及其应用
21大高频考点概览
考点01向量的加减法与数乘向量
考点02向量共线定理的应用
考点03平面向量的线性表示
考点04 平面向量基本定理求参数
考点05 平面向量的坐标运算
考点06 向量共线的坐标运算
考点07向量的数量积
考点08 向量的夹角
考点09 向量的模长
考点10 向量的投影
考点11向量垂直的应用
考点12 向量夹角为锐角钝角问题
考点13 向量与最值取值范围问题
考点14 平面向量的四心
考点15 正余弦定理解三角形
考点16 正余弦定理的边角互化
考点17 三角形周长面积问题
考点18 三角形形状问题
考点19 三角形个数问题
考点20 多三角形问题
考点21 最值与取值范围问题
1．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)化简: （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加减法的运算法则化简.
【详解】.
故选：D.
2．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)下列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
故选：D.
3．(24-25高一下·天津第五十五中学·期中)在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案
【详解】解：因为四边形为平行四边形，
所以,
所以，
故选：D
4．(24-25高一下·天津河东区·期中)在五边形中（如图），（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量加减法，直接计算结果.
【详解】.
故选：B
5．(24-25高一下·天津河西区·期中)化简：___________．
【答案】
【分析】利用向量的加减运算法则即可求解.
【详解】.
故答案为：．
1．(23-24高一下·云南曲靖马龙区第一中学·月考)已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
2．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】求出，，根据共线得到方程，求出答案.
【详解】，
，
因为A，B，C三点共线，所以，即，
因为不共线，故，
解得.
故选：A
3．(23-24高一下·天津耀华中学·期中)已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【详解】依题意，设，又是两个不共线的向量，
所以，所以．
故选：D
4．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)设、是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得、可以作为平面内的一组基底，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为、是两个不共线向量，所以、可以作为平面内的一组基底，
又向量与向量共线，所以，
即，所以，解得.
故选：B
5．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____.
【答案】
【分析】将三点共线转化为向量共线，再根据共线向量基本定理列方程，求解即可.
【详解】由题意，，
由三点共线，得，
所以存在唯一实数，使得，即，
又和不共线，所以，解得.
故答案为：.
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图，在平行四边形中，，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得.
故选：B.
2．(24-25高一下·天津嘉诚中学·期中)如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向加、减法法则结合已知条件，可得出关于、的表达式.
【详解】因为
所以.
故选：C.
3．(24-25高一下·天津第一中学·期中)如图，在正六边形中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案.
【详解】由题设及正六边形的结构特征知，，且，，
又，所以.
故选：B
4．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算可求得结论.
【详解】因为，所以.
故选：D.
5．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设.
(1)用表示及；
(2)若，且，
①求的长；
②求在方向上的投影向量（结果用表示）.
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）①由，可得，根据数量积的运算律计算可得；②根据在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】（1）因为，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，
所以，
.
（2）①因为，所以，
所以，由，可得（负值已舍去），即；
②在方向上的投影向量为
；
1．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解.
【详解】由已知为线段上一点，
设，，
则，
又，
则，
所以，
则，
解得，
故选：D.
2．(24-25高一下·天津崇化中学·期中)如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解.
【详解】因为，所以，
因为是的中点，所以，
所以，
又，所以，即.
故选：D.
3．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为________．
【答案】
【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，再用代换法求最小值即可.
【详解】因为点为线段的中点，，所以，，
所以，
又因为在线段上，
所以有且，
根据平面向量基本定理可知：，
所以有，且，即，
则，
当且仅当，即，时取等号，
故答案为：.
4．(24-25高一下·天津第五中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，为对角线AC与BD的交点，为直线AE与DC的交点，若，，且，，则______，______.

【答案】
【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】在中，由，得，即，
则，又，
则，所以；
又，
而，
所以
.
故答案为：；.
5．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______．
【答案】
【分析】连接的中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】
如图所示：连接，
因为D，F分别为，的中点，
所以是的中位线，所以，
则 ，
所以，所以；
因为，
所以
.
故答案为：；.
1．(23-24高一下·天津南仓中学·期中)已知平面向量与的夹角为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积公式及模长公式直接求解.
【详解】由，得，
又，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
2．(24-25高一下·天津静海区第六中学·期中)已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断.
【详解】因为，，
则，，故A错误，B正确；
又因为，所以与不共线，故C错误；
又因为，，所以，故D错误，
故选：B.
3．(24-25高一下·天津河北区·期中)已知向量，且点，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量坐标运算求解即可.
【详解】因为，点，所以点的坐标为.
故选：A
4．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)已知向量，则________，________
【答案】 17
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得的坐标；求出的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】由，得；
，所以
故答案为：；17
5．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知点，，若中点为，，则点与两点间的距离为______．
【答案】/
【分析】根据中点坐标公式得出点坐标.由已知得出，进而求出点坐标，进而得出，求模即可得出答案.
【详解】由已知可得，点坐标为.
由可得，，
所以有，又，所以，
所以点为，.
所以，点与两点间的距离为.
故答案为：.
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知向量，且，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，因为，可得，解得.
故选：A.
2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)已知向量且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得.
故选：B.
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】先计算的坐标，再利用向量平行的坐标运算即可.
【详解】由题意可得，，
因，则，得.
故选：A
4．(24-25高一下·天津第五中学·期中)若向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量的概念，平行、垂直的坐标表示逐个判断即可.
【详解】对于A，B显然错误；
对于C：易知，两向量平行，故正确，
对于D：因为，故两向量不垂直，所以D错误，
故选：C
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知向量，，若，则实数的值为______；已知向量，，若，则实数的值为______．
【答案】 / /
【分析】利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示分别列式求解.
【详解】由向量，，，得，所以；
由向量，，，得，所以.
故答案为：；
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设，，根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】设，，则，
点D，E分别是边AB，BC的中点，，
，，
则，
．
故选：B.
2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据基底向量方法，以为基底表达，进而根据数量积公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
又，
所以
．
故选：C
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，向量在向量上的投影向量为，则______.
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式得到方程，求出.
【详解】在上的投影向量为，故，
故，所以.
故答案为：
4．(24-25高一下·天津河西区·期中)如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且
(1)若求的值；
(2)求的值；
(3)求
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平面基本定理求解：用表示出即可得；
（2）用为基底表示其它向量后，由数量积的运算律及定义计算；
（3）即为与的夹角，由数量积的定义可求得其余弦值．
【详解】（1），
所以.
（2），
所以
.
（3），
，
，
，
则 .
5．(24-25高一下·天津河北区·期中)如图，在中，，，P为AB边上一点，且．
(1)设，求实数x，y的值；
(2)若与的夹角为，求的值．
【答案】(1)，．
(2)-8
【分析】（1）根据和向量减法法则得到，得到答案；
（2）根据（1）和，利用向量数量积乘法法则计算出答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，故，．
（2），
故
．
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由垂直向量以及平行向量的坐标表示，求得参数，根据向量线性运算的坐标表示，结合向量夹角的坐标表示，可得答案.
【详解】由，则，解得，即，
由，则，可得，解得，即，
由，，则.
故选：D.
2．(22-23高一下·天津河西区·期中)若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【答案】/
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则 ，
，
，
，，
，.
故答案为：
3．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)已知向量，，则______.
【答案】
【分析】首先求出，，，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，，，
所以.
故答案为：
4．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，，则与的夹角的余弦值为______.
【答案】
【分析】根据向量夹角余弦公式直接求解即可.
【详解】设与的夹角的大小为，
故.
故答案为：
5．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知则的夹角的大小是_________________；
【答案】/
【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，所以.
故答案为：.
1．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知平面向量，，，且与的夹角为，则_________.
【答案】
【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，且与的夹角为，
所以，
所以.
故答案为：
2．(24-25高一下·天津小站第一中学·期中)已知向量，的夹角为，，，则_________
【答案】
【分析】首先由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为向量，的夹角为，，，
所以，
所以.
故答案为：
3．(24-25高一下·天津静海区第六中学·期中)已知向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用垂直的坐标表示，得到，再利用坐标的线性运算及模长的计算公式，即可求解.
【详解】因为，又，则，解得，
所以，则，
故选：B.
4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)已知向量，，
(1)求与夹角余弦值.
(2)当且时，求；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量坐标运算求出向量夹角的余弦.
（2）利用向量的坐标运算，及向量垂直的坐标表示求出，进而利用坐标求出向量的模.
【详解】（1）由向量，，得，，
所以与夹角余弦值为.
（2）由，，得，
由，得，而，则，，
，所以.
5．(24-25高一下·天津第五中学·期中)已知向量满足.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由数量积的定义以及向量的模长公式代入计算，即可得到结果；
（2）由题意可得，再由数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，
则，
.
（2）由可得，即，
即，
所以，且，所以，
即与的夹角为.
1．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得.
【详解】因为，，
，
解得，
，
，，
，
在上投影向量为：
.
故选：C.
2．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，即，
且在上的投影向量为
故选：C.
3．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量定义直接求解即可.
【详解】，，
向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
4．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量坐标表示为______.
【答案】
【分析】利用投影向量的公式可求投影向量坐标.
【详解】由，，可得，
故在方向上的投影向量为.
故答案为：.
5．(24-25高一下·天津河东区·期中)已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________.
【答案】3
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】 在 方向上的投影向量为，
故，解得，
故答案为：
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在平行四边形中， 点是中点， ，，，.
(1)用，表示向量，_____________；
(2)若，_____________；
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则表示出，同理表示出，由得到，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为点是的中点，，，
所以，
又，
因为，所以，即，
即，即，所以，即.
故答案为：；
2．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知向量，，且则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出，再由及数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
3．(24-25高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知向量，，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及平面向量垂直的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值.
【详解】因为，，则，
，
因为，则，①
因为，则，可得，②
联立①②可得，因此，.
故选：A.
4．(23-24高一下·天津部分区·期中)已知向量，，若，则实数（ ）
A．-4 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据向量垂直满足的坐标关系即可求解.
【详解】由可得，故，
故选：A
5．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知向量，，满足，，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知求出，进而根据已知结合数量积的运算律得出，开方即可得出答案；
（2）根据数量积的运算律结合已知列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据已知可知，使得，化简得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以 ，
所以，.
（2）易知， .
因为，
所以，，
即，解得.
（3）因为，
所以，，使得，
整理可得.
由的任意性可知，，
解得.
1．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________.
【答案】
【分析】利用向量数量积定义计算可得，再根据两向量与的夹角为钝角可得其数量积小于零，且它们不反向，解不等式即可求得结果.
【详解】依题意可得，
若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向，
所以，解得；
当两向量方向相反时可得，且，解得；
因此可得或；
即实数的取值范围为.
故答案为：
2．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知，，与的夹角为，求的值______；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算性质求解；再利用向量夹角公式及共线向量定理列式求解.
【详解】依题意，，
；
由向量与的夹角是锐角，
得，且与不共线，
即，且，
整理得，且，解得且
所以实数的取值范围为.
故答案为：；
3．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
【答案】且
【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可．
【详解】因，
由，解得，
若与的夹角为锐角，
则，且与不共线，
由，即，解得，
由与不共线，可得，
故实数的取值范围为且.
故答案为：且.
4．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)下列说法正确的个数为（ ）
①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；
②在中，“若则；
③平面向量 ，若则 ；
④若非零向量 满足则 与的夹角为锐角.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】对于①，根据圆台的定义即可判断；对于②，在中，根据正弦定理及大边对大角即可判断；对于③，考虑到可能为即可判断；对于④，由得到即可判断.
【详解】对于①，用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分才是圆台，故①错误；
对于②，在中，若由正弦定理可得
根据三角形中大边对大角可得，故②正确；
对于③，若，则不一定平行，故③错误；
对于④，由，可得，此时，
不是锐角，故④错误.
综上，①③④错误，②正确，
故选：A
5．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；
（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；
（3）根据向量夹角与数量积的关系可知且与不共线，运算求解即可.
【详解】（1）因为向量，且 ，
所以，解得，即，
所以.
（2）因为，且，
所以，解得.
（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线，
可得且，解得且，
所以实数的取值范围为.
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；
解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解．
【详解】因为，，所以，，
所以，，
因为点在线段上，
可设，
而，所以，解得，，
因为点为线段上一个动点，
可设，，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：，．
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)在矩形ABCD中，，，，.若，其中λ，μ为实数，则______；若G为线段AF上的动点，则的最小值为______.
【答案】 2 /
【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得，令，，由题设知，应用数量积的运算律化简求最小值即可.
【详解】由，
又，所以；
令，，又，
所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：；.
4．(24-25高一下·天津南开大学附属中学·期中)在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________．
【答案】
【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得．
【详解】因为是中点，，，得，
在四边形中，令，，由，得，，
由，得，
在中，由余弦定理得，，
即，当且仅当时取等号，
由，得，，
因此
，
当且仅当时，两个等号同时成立，
所以的最大值为．
故答案为：.
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用三点共线先求参数，然后再利用余弦定理找到相等关系，再用向量的线性运算和数量积运算，再结合基本不等式求最值.
【详解】
因为点D为的中点，所以有，
即，又因为点 E 为上一点，
所以，
由，
所以
设三角形中角所对的边分别是，又因为
所以由余弦定理得：，
而，
又因为，
所以，
取等号条件是.
1．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则点是的内心
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②；利用向量线性运算判断③；利用三角形心的向量表示判断④；利用向量数量积判断⑤即可得解.
【详解】对于①，在中，由，得或，
即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误；
对于②，由及余弦定理，得，则为锐角，
而是否为锐角不确定，②错误；
对于③，由，得，即，
则，的面积是面积的，③错误；
对于④，由，得是的重心，
由，得是的外心，
即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确；
对于⑤，由，得，
则，则，
则，即平分，
由，同理得平分，
因此点O是的内心，⑤正确，
所以正确命题的个数是2.
故选：B
2．(23-24高一下·天津河北区·期中)已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ）
A．外心，重心，内心 B．重心，外心，垂心
C．重心，外心，内心 D．外心，重心，垂心
【答案】B
【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心.
【详解】由，可得到三个顶点的距离相等，所以为的外心；
因为，所以，为的中点，
所以所在直线经过中点，与中线共线，
同理可得，分别与边的中线共线，所以是三角形中三条中线的交点，所以是重心；
因为，所以，
所以，所以，所以，
同理得到另外两个向量都与相应边垂直，得到是三角形的垂心.
故选：B.
3．(23-24高一下·天津第四十七中学·期中)为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解.
【详解】依题意，，
，
，
则，于是，
所以是的外心.
故选：B
4．(23-24高一下·天津嘉诚中学·期中)已知G是的重心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理得，再由三角形重心性质得出，再结合三边一角用余弦定理即可求出结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，
由三角形重心性质知，得，
即，
故由余弦定理得.
故选：D
5．(24-25高一下·天津第一中学·期中)设G为的重心，满足．若．则实数的值为________．
【答案】/0.5
【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边得，再利用三角形重心性质及向量数量积的运算律计算得即可得解.
【详解】在中，，
则，由正弦定理得，
由G为的重心，，得，
即，则，
即，因此，所以.
故答案为：
1．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
【详解】在中，由余弦定理得.
故选：A
2．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________；
【答案】/
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】由正弦定理，即，解得，
由，所以，所以.
故答案为：
3．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)三角形中，，，，____________
【答案】或
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理，
可得，解得或，经检验符合题意.
故答案为：或
4．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)在中，，，，那么等于_______.
【答案】/
【分析】由正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得，，即，
解得.
故答案为：.
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________.
【答案】
【分析】设，将把和用来表示，由题意可知 ,进而利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】

因为，由余弦定理知：
，
所以.
设，
因为分别为的中点，
所以.
因为，
所以，
.
又，.
所以.
故答案为：
1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________.
【答案】/
【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解.
【详解】在中，由及余弦定理可得：
，
∴.
，.
设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即.
∴外接圆面积为.
故答案为：.
2．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将等式中用替换得到边的齐次式，再利用正弦定理化角为边，利用余弦定理求角可得，结合正弦定理求得外接圆半径，进而求出面积.
【详解】因为，且，
所以，
由正弦定理，可得，
即，
所以，
由，所以，
则外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为．
故选：C.
3．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理计算可得；
（3）首先求出、、，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）由余弦定理，
即，解得或（舍去）.
（2）由（1）可得，
因为，则，所以，
由正弦定理，即，解得；
（3）由（2）可得，
，
显然，则，
所以
.
4．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求
（i）的值；
（ii）的值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；
（2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值；
（ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.
【详解】（1）因为，可得，即，
由余弦定理可得.
（2）（i）因为，故为锐角，所以，
因为，由正弦定理可得，故；
（ii）因为，则，即，故为锐角，
所以，
所以，
，
因此，.
5．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边可得出的关系，结合已知即可求出；
（2）根据余弦定理得出，进而根据边的大小关系得出为锐角，即可求出答案；
（3）根据二倍角公式得出的值，然后根据两角和的正弦公式求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知结合正弦定理角化边可得，
又，所以，.
（2）由（1）结合余弦定理可得，.
又，
所以为锐角，
所以，.
（3）由（2）知，，，
所以，
，
所以， .
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则______．
【答案】
【分析】根据面积公式结合已知可得出，由正弦定理边化角可推得.结合角的范围得出，根据余弦定理结合已知得出，代入面积公式即可得出答案.
【详解】由已知可得，
则由可得，
，
整理可得，.
由正弦定理边化角可得，，
即.
又，所以有.
又，所以.
由余弦定理可得，
，
所以有，解得.
所以，.
故答案为：.
2．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)在锐角中，角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以；
（2）由（1）知：，又因为，，
由余弦定理，即，
解得，
所以面积为.
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到；
（2）由余弦定理得到方程，求出，由三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）在中，因为，
所以；
，，由正弦定理得，
故；
（2），，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍），
故
4．(24-25高一下·天津崇化中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，且有.
(1)求角；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦函数公式化简已知可得，结合的范围，即可求得的值.
（2）由已知利用三角形的面积公式可求得的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得的周长.
【详解】（1）在中，由及由正弦定理，
得，即，
整理得，而，则，
又，则，所以.
（2）由余弦定理，得，
又，则，，解得，
所以的周长为.
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在中，内角所对的边分别为，
(1)求角的值;
(2)若的面积，且，求；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解；
（3）由正余弦的二倍角公式，及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由，
结合正弦定理边化角可得：,
由两角和的正弦展开化简可得：，
又为三角形内角，，
所以，又为三角形内角，
所以 ，
（2）由，，
，
所以，
，
所以
（3）由，可得，
所以，
由（1），
所以
1．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理化简，再结合因式分解可判断三角形的形状.
【详解】因为，故，
整理得，
即，故，
故或，故三角形为等腰或直角三角形，
故选：D.
2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可.
【详解】解：，可得，
由余弦定理可得，整理可得：，即，
所以或，即或
∴的形状是等腰或直角三角形.
故选：C
3．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理整理化简等式，可得答案.
【详解】由余弦定理可得，则.
故选：A.
4．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【分析】利用边化角，再由两角和的正弦公式即可求解判断.
【详解】由正弦定理边化角得，
在三角形中，只能取，所以的形状是等腰三角形，
故选：A.
5．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ）
①若，则是等腰三角形；
②若，则是等腰三角形；
③若，则一定是锐角三角形；
④在中，，若有一个解，则的取值范围是或.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先给出射影定理，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式证明，最后结合判断①，举反例判断②，③，④即可.
【详解】对于①，首先，我们给出射影定理，
若证，则证即可，
即证即可，
而在中，成立，即射影定理得证，
因为，，所以，
则是等腰三角形，故①正确，
对于②，当，，，时，
满足，由勾股定理得，
但此时不是等腰三角形，故②错误，
对于③，令，满足，
由勾股定理逆定理得，此时，
此时不是锐角三角形，故③错误，
对于④，当时，因为，所以是等边三角形，
则，此时满足有一个解，
即则的取值范围不可能是或，故④错误，
综上，下列四个命题中正确的个数为个，故A正确.
故选：A
1．(24-25高一下·天津南开中学·)在中，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则有两解
【答案】B
【分析】根据三角形中的边角关系，边角互化可判断；根据三角函数值相等及正弦函数的性质可判断；利用余弦定理判断三角形形状可判断；利用正弦定理及正弦函数的性质可判断.
【详解】对于：若，则，所以，
所以，故正确；
对于：，则或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于：，则，
所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；
对于：，
因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，
故有两解，故正确.
故选：.
2．(23-24高一下·天津河西区·期中)根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理结合大边对大角，小边对小角对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；
对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误；
对于C，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；
对于D，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确.
故选：D.
3．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
【答案】B
【分析】由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
4．(23-24高一下·天津重点校·期中)在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为
A．1 B．2 C．0 D．不确定
【答案】C
【解析】由正弦定理求出即可判断出解的个数
【详解】因为，，
所以由正弦定理得：
即
解得，故无解
故选：C
【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单.
1．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在中，是的中点，.则的大小为__________；为的角平分线，在线段上，则的长度为__________.
【答案】
【分析】以为基底表示出向量，再由以及向量数量积的运算律计算可得，由角平分线利用等面积法列方程即可解得.
【详解】如下图：
由是的中点可得，
又，
所以
，
解得，又，
所以；
因此可得，
由可得；
即，解得.
故答案为：；
2．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小；
（2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得；
（3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值.
【详解】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）如图，设，，则，且.
因为，所以.
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值为.
3．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
4．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)在中，满足．
(1)求；
(2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心．
①求的周长和面积：
②求的值．
【答案】(1)；
(2)①周长为，面积为；②13.
【分析】（1）由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得.
（2）①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；②边的中点分别为，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，
显然，因此，，
则，得，解得，
所以.
（2）①由边BC上的中线，得，两边平方得，
则，即，
在中，由余弦定理，得，解得，
因此，所以的周长为，面积为.
②令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，
，
，
所以.

5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)在中，内角所对的边分别为．已知，，，．
（1）求和的值；
（2）求三角形BC边的中线长；
（3）求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）确定锐角，求得，由余弦定理求得，再由正弦定理得；
（2）在中由余弦定理求得中线，
（3）确定是锐角，求得，由二倍角公式求得，然后由两角和的正弦公式求值．
【详解】（1）在中，因为，故由，可得．
由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.
（2）设BC边的中点为D，在中，
由余弦定理得:，
（3）由（1）及，得，所以，
．
故．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．
1．(24-25高一下·天津河东区·期中)在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为 ___________.
【答案】
【分析】由题意可得，进而可得，利用正弦定理化简可得，即可求出角B；根据诱导公式可得，结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果.
【详解】由，
所以，
由正弦定理，得，
有，又，故；
，
因为，所以，则，
所以，即.
故答案为：
2．(24-25高一下·天津南开中学·)设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（ ）
①； ②的外接圆的面积是；
③的面积的最大值是； ④的取值范围是．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由正弦定理及和正弦角公式可判断①；由正弦定理及圆的面积公式可判断②；由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解可判断③；由正弦定理可得，求此函数的值域可判断④.
【详解】对于①，因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，，又因为，，故①正确；
对于②，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
解得，则的外接圆的面积是，故②正确；
对于③，由余弦定理得，整理得，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积为，当且仅当时等号成立，
即的面积的最大值是，故③正确；
对于④，由正弦定理得，
则，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，
可得，，所以，
所以，即的取值范围是，故④错误.
故选：B.
3．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)在中，角的对边分别为，若平面向量，其中 ，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积;
(3)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；
（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，，由函数的单调性可求得最大值.
【详解】（1）因为，则，
又，，
所以，
由正弦定理得，
即，
又是内角，则,
所以，即,
又，所以.
（2）由余弦定理得，即，解得：（负值已舍去），
.
（3）由余弦定理得，
即，
（当且仅当时取等号），，
又，；
所以，
令，，，则在上单调递增，
，即，即，
的最大值为.
4．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)在中，角所对的边分别为已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，当的周长取最大值时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到；
（2）根据得，由正弦定理求得的值；
（3）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，且，所以，
又因为，，
所以，即.
（2）因为在中，，所以，
又因为，，由正弦定理，
可得.
（3）在中，由余弦定理，
得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
此时面积.
5．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得.
（2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边.
（3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边，的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值．
【详解】（1）由，得，则，即，
而，所以.
（2）由等面积法得：，即，
因此，，在中，由余弦定理得，
即，所以.
（3）
由平分，得，
在中，设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，由正弦定理，得，则，
得，故有．
在中，由正弦定理，得，则，
得代入式，可得，即．
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“=”．
于是，．即的面积的最小值为．
【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题．
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专题01平面向量及其应用
21大高频考点概览
考点01向量的加减法与数乘向量
考点02向量共线定理的应用
考点03平面向量的线性表示
考点04 平面向量基本定理求参数
考点05 平面向量的坐标运算
考点06 向量共线的坐标运算
考点07向量的数量积
考点08 向量的夹角
考点09 向量的模长
考点10 向量的投影
考点11向量垂直的应用
考点12 向量夹角为锐角钝角问题
考点13 向量与最值取值范围问题
考点14 平面向量的四心
考点15 正余弦定理解三角形
考点16 正余弦定理的边角互化
考点17 三角形周长面积问题
考点18 三角形形状问题
考点19 三角形个数问题
考点20 多三角形问题
考点21 最值与取值范围问题
1．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)化简: （ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)下列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·天津第五十五中学·期中)在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津河东区·期中)在五边形中（如图），（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·天津河西区·期中)化简：___________．
1．(23-24高一下·云南曲靖马龙区第一中学·月考)已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
2．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．(23-24高一下·天津耀华中学·期中)已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)设、是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____.
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图，在平行四边形中，，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·天津嘉诚中学·期中)如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津第一中学·期中)如图，在正六边形中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设.
(1)用表示及；
(2)若，且，
①求的长；
②求在方向上的投影向量（结果用表示）.
1．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津崇化中学·期中)如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为________．
4．(24-25高一下·天津第五中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，为对角线AC与BD的交点，为直线AE与DC的交点，若，，且，，则______，______.

5．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______．
1．(23-24高一下·天津南仓中学·期中)已知平面向量与的夹角为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·天津静海区第六中学·期中)已知 则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津河北区·期中)已知向量，且点，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)已知向量，则________，________
5．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知点，，若中点为，，则点与两点间的距离为______．
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知向量，且，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)已知向量且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．3
4．(24-25高一下·天津第五中学·期中)若向量，则（ ）
A． B．
C． D．
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知向量，，若，则实数的值为______；已知向量，，若，则实数的值为______．
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，向量在向量上的投影向量为，则______.
4．(24-25高一下·天津河西区·期中)如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且
(1)若求的值；
(2)求的值；
(3)求
5．(24-25高一下·天津河北区·期中)如图，在中，，，P为AB边上一点，且．
(1)设，求实数x，y的值；
(2)若与的夹角为，求的值．
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．(22-23高一下·天津河西区·期中)若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
3．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)已知向量，，则______.
4．(24-25高一下·天津部分区·期中)已知，，则与的夹角的余弦值为______.
5．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知则的夹角的大小是_________________；
1．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知平面向量，，，且与的夹角为，则_________.
2．(24-25高一下·天津小站第一中学·期中)已知向量，的夹角为，，，则_________
3．(24-25高一下·天津静海区第六中学·期中)已知向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)已知向量，，
(1)求与夹角余弦值.
(2)当且时，求；
5．(24-25高一下·天津第五中学·期中)已知向量满足.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角.
1．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量坐标表示为______.
5．(24-25高一下·天津河东区·期中)已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________.
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在平行四边形中， 点是中点， ，，，.
(1)用，表示向量，_____________；
(2)若，_____________；
2．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知向量，，且则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知向量，，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．(23-24高一下·天津部分区·期中)已知向量，，若，则实数（ ）
A．-4 B． C． D．4
5．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知向量，，满足，，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值．
1．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________.
2．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知，，与的夹角为，求的值______；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围______．
3．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
4．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)下列说法正确的个数为（ ）
①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；
②在中，“若则；
③平面向量 ，若则 ；
④若非零向量 满足则 与的夹角为锐角.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______.
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)在矩形ABCD中，，，，.若，其中λ，μ为实数，则______；若G为线段AF上的动点，则的最小值为______.
4．(24-25高一下·天津南开大学附属中学·期中)在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________．
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________.
1．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则点是的内心
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(23-24高一下·天津河北区·期中)已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ）
A．外心，重心，内心 B．重心，外心，垂心
C．重心，外心，内心 D．外心，重心，垂心
3．(23-24高一下·天津第四十七中学·期中)为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
4．(23-24高一下·天津嘉诚中学·期中)已知G是的重心，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·天津第一中学·期中)设G为的重心，满足．若．则实数的值为________．
1．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________；
3．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)三角形中，，，，____________
4．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)在中，，，，那么等于_______.
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________.
1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________.
2．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
4．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求
（i）的值；
（ii）的值.
5．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则______．
2．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)在锐角中，角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
4．(24-25高一下·天津崇化中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，且有.
(1)求角；
(2)若的面积为，，求的周长.
5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在中，内角所对的边分别为，
(1)求角的值;
(2)若的面积，且，求；
(3)求 的值.
1．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
3．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．(24-25高一下·天津五区县重点校·期中)在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ）
①若，则是等腰三角形；
②若，则是等腰三角形；
③若，则一定是锐角三角形；
④在中，，若有一个解，则的取值范围是或.
A．1 B．2 C．3 D．4
1．(24-25高一下·天津南开中学·)在中，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则有两解
2．(23-24高一下·天津河西区·期中)根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
4．(23-24高一下·天津重点校·期中)在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为
A．1 B．2 C．0 D．不确定
1．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在中，是的中点，.则的大小为__________；为的角平分线，在线段上，则的长度为__________.
2．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
3．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
4．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)在中，满足．
(1)求；
(2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心．
①求的周长和面积：
②求的值．
5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)在中，内角所对的边分别为．已知，，，．
（1）求和的值；
（2）求三角形BC边的中线长；
（3）求的值．
1．(24-25高一下·天津河东区·期中)在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为 ___________.
2．(24-25高一下·天津南开中学·)设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（ ）
①； ②的外接圆的面积是；
③的面积的最大值是； ④的取值范围是．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．(24-25高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)在中，角的对边分别为，若平面向量，其中 ，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积;
(3)若，求的最大值.
4．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)在中，角所对的边分别为已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，当的周长取最大值时，求的面积．
5．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
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