资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 三角函数的性质与图象
4大高频考点概览
考点01三角函数的性质
考点02由图像、条件求解析式
考点03图像平移问题
考点04由性质求问题
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·辽宁多校联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C． D．在上单调递减
3．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市二中·期中）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A． B．
C． D．
4．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中)已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
二、多选题
6．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区·期中)已知函数，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于直线成轴对称 D．图象关于点成中心对称
7．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的最小正周期为
C．图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
三、填空题
8．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)函数的定义域为 __________
9．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________.
四、解答题
10．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象；
0
(2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程.
11．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)（1）已知，求的值；
（2）若函数，求函数的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量的集合.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．图象的对称中心为
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
2．(24-25高一下·辽宁省普通高中·期中)由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ）
A．12h B．14h C．16h D．18h
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数解析式为
C． D．函数在区间上单调递增
5．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．
C．的对称中心，
D．若方程在上有且只有个根，则
6．(24-25高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象向左平移个单位长度后得到函数
C．的单调递增区间为
D．若方程在上有且只有6个根，则
7．(24-25高一下·辽宁省朝阳市建平实验中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上有最小值
D．直线是函数的一条对称轴
8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）如图，函数的部分图象，则（ ）
A．
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象的一个对称中心为
D．的图象向左平移个单位后得到一个关于y轴对称的图象
三、填空题
10．(24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为________秒．
四、解答题
11．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)求在上的值域．
12．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域．
13．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)函数中，，最小正周期为，．
(1)求；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式组的解集．
14．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数的部分图象如图所示，.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围.
15．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在上恰有三个零点，求的取值范围．
16．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
17．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求及的值；
(3)设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．
18．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且.
(1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由；
(2)已知是“伴随函数”，且当时，.
（i）求当时，的解析式；
（ii）若为方程在上的根，求的值.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移3个单位
2．(24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中)将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数在上单调，是函数的一条对称轴，若先将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，再将图象向右平移个单位长度，图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)如图，函数的部分图象，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
5．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上无对称中心
C．，若恒成立，则的最小值为
D．已知是函数在上的两个零点，则
三、填空题
6．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为___________．
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中)设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中)若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是________．
7．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知函数，若方程在上恰好存在6个实数根，则的取值范围为________.
8．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)已知函数，若至少存在两个实数，使得，则实数的取值范围为______.
9．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________．
10．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，_____．
11．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)函数，若函数在至少有4个零点，至多有8个零点，则的取值范围为______．
12．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______.
13．(24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中)已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___．
14．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区·期中）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________.
四、解答题
15．（24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中）记函数 ，的最小正周期为．
(1)若，且直线为的图像的一条对称轴，求；
(2)若为的一个零点，且在区间上至多有两个零点，求．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 三角函数的性质与图象
4大高频考点概览
考点01三角函数的性质
考点02由图像、条件求解析式
考点03图像平移问题
考点04由性质求问题
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的单调性及对称中心分别判断各个选项即可.
【详解】对于A:在上单调递减，A选项错误；
对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确；
对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误；
对于D:在上单调递减，D选项错误；
故选：B.
2．(24-25高一下·辽宁多校联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C． D．在上单调递减
【答案】D
【分析】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误.
【详解】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误.
对于B，因为，
所以的图象不关于直线对称，故B错误.
对于C，若，则图象的对称中心为，
而，故不是函数图象的对称中心，故C错误；
对于D，由，得，
而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确.
故选：D.
3．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市二中·期中）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是；故选C.
4．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中)已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的单调性列不等式即可得实数的取值范围，从而得实数的最大值.
【详解】因为，所以，
又函数在上单调递减，所以，解得，
故实数的最大值为.
故选：B.
5．（24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由得，可求的范围；再由的图象关于点中心对称得b的值及，结合的范围可求的值，从而可求.
【详解】由题意得，所以.
因为的图象关于点中心对称，
所以，
所以，
由，得，
所以，
所以.
故选：C.
二、多选题
6．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区·期中)已知函数，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于直线成轴对称 D．图象关于点成中心对称
【答案】ABD
【分析】逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.
【详解】对于选项A，时，，此时为增函数；
对于选项B，的最小正周期为；
对于选项C，因为，，所以图象不是关于直线成轴对称；
对于选项D，令，，得，令得，所以图象关于点成中心对称.
故选：ABD.
7．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的最小正周期为
C．图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
【答案】BCD
【分析】应用正切函数的定义域，周期，对称中心，递增区间分别计算判断各个选项.
【详解】函数，
因为，所以的定义域为，A选项正确；
的最小正周期为，B选项错误；
因为，所以图象的对称中心为，C选项错误；
因为为增区间，所以的单调递增区间为，D选项错误；
故选：BCD.
三、填空题
8．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)函数的定义域为 __________
【答案】
【分析】求出的解后可得函数的定义域.
【详解】由题设有即，故，
故函数的定义域为.
故答案为：
9．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________.
【答案】
【分析】利用三角函数的周期性质，来求周期即可.
【详解】设函数，，，
其最小正周期分别，，，最小公倍数是，
所以的最小正周期为.
故答案为：
四、解答题
10．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象；
0
(2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程.
【答案】(1)表格见详解，图象见详解
(2)，，.
【分析】（1）根据余弦函数的五个关键点填写表格，再根据作图的一般步骤，列表-描点-连线，即可做出函数的图象；
（2）先根据函数为奇函数求出值，进而得到的解析式，再根据正弦的对称轴方程求解即可.
【详解】（1）列表如下：
0
2 0 0 2
再描点连线，得图象如下：
（2）因为，所以，
令，
因为为奇函数，所以，
所以，.
又因为，所以当时，，
所以，
所以的对称轴方程为，，
即的对称轴方程为，.
11．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)（1）已知，求的值；
（2）若函数，求函数的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量的集合.
【答案】（1）；（2），，.
【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后弦化切代入求值即可；
（2）根据最小正周期公式可求解最小正周期，根据正弦型函数性质可求解函数最大值及取得最大值时自变量的集合.
【详解】（1）由题意知
；
（2）因为函数，
所以最小正周期为：，
当，即时，有最大值为，
所以函数的最大值为，此时自变量的集合为.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．图象的对称中心为
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】B
【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断.
【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以.
设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时.
已知函数图象过点，将其代入可得，即.
因为，所以，，解得，那么.
对于A，将代入，得，所以选项A错误.
对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，.
令，，解得，，此时，
所以图象的对称中心为，，选项B正确.
对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，.
令，，解得，.
当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误.
对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.
根据诱导公式，，所以选项D错误.
故选：B.
2．(24-25高一下·辽宁省普通高中·期中)由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ）
A．12h B．14h C．16h D．18h
【答案】C
【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解.
【详解】由题知解得所以．
令，即．因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得，
所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时．
故选：C
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移规则得出解析式，再由对称性及面积公式即可求解.
【详解】由题可得，其最小正周期为，的最小正周期也为，
如图设，图象相邻的三个交点为，则，
因为，所以，假设，
将代入，可得，所以，
将点代入，可得或，
即或，又，所以.
故选：C
二、多选题
4．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数解析式为
C． D．函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据给定的图象，求出最小正周期判断A；利用五点法求出解析式判断B；利用对称性求解判断C；利用正弦函数的单调性判断D.
【详解】对于A，观察图象得，函数的最小正周期为，A错误；
对于B，由图象，得，解得，由选项A，得，
由，得，而，则，，B正确；
对于C，，函数的图象关于点对称，
则，C正确；
对于D，函数在上单调递增，而，
则函数在上单调递增，又，
因此函数在区间上单调递增，D正确.
故选：BCD
5．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．
C．的对称中心，
D．若方程在上有且只有个根，则
【答案】BC
【分析】利用周期函数定义判断A；根据给定的图象，结合正弦型函数的图象性质求解判断BC；利用方程根的个数求出范围判断D.
【详解】对于A，，
，
，则的最小正周期不是，A错误；
对于B，由图分析知：，得或，
而，则，得，即，，
于是，，即，，
又，因此，，B正确；
对于C，，由得，
因此函数的对称中心为，C正确；
对于D，由，得，由，得，
由，得，
又在上有个根，则根从小到大为，因此，D错误．
故选：BC
6．(24-25高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象向左平移个单位长度后得到函数
C．的单调递增区间为
D．若方程在上有且只有6个根，则
【答案】ACD
【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断.
【详解】由图可知，且经过，故可得，
由①，结合，则得，代入②，化简得，即，
由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即.
对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误；
对于C，因，
由，可得，
即的单调递增区间为，故C正确；
对于D，由可得，设，因，则，
依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下：
由图知，需使，解得，故D正确.
故选：ACD.
7．(24-25高一下·辽宁省朝阳市建平实验中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上有最小值
D．直线是函数的一条对称轴
【答案】BC
【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，
∴，∴．
将点代入解析式中可得，
∴，解得，
∵，∴，∴，故A错误.
∵，
∴函数的图象关于点对称，故B正确.
当时，，∴，即最小值为，故C正确．
∵，
∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误.
故选：BC．
8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）如图，函数的部分图象，则（ ）

A．
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.
【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以，A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；
对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，C正确.
对于D，函数的图象对称轴为，
当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，
此时，，当为偶数时，，而，
当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；
当或时，
函数在上单调，最大值与最小值的差最大，
，当或时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.
故选：ACD
9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象的一个对称中心为
D．的图象向左平移个单位后得到一个关于y轴对称的图象
【答案】ABD
【分析】根据求出的解析式判断AB；结合余弦函数的性质验证法判断C，先求出平移后的函数为，然后根据偶函数的图象特征判断D.
【详解】由图象可知，，
所以，即，
又因为，所以，故A正确；
所以的解析式为，
，，
所以，解得，故B正确；
所以，此为函数的最小值，
故点不是的图象的一个对称中心，故C错误；
的图象向左平移个单位后得到，
显然为偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
10．(24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为________秒．
【答案】80
【分析】结合三角函数图像的性质以及点位置坐标即可得到函数解析式，再令，求解的范围，计算即可；
【详解】由题意可知，由于，所以得.
因为时，，所以.
由，可求得，从而.
所以，其中.
当盛水筒位于水面以下时，应满足，即.
可列不等式，
解得.
因为，所以当时，；
当时，；
当时，.
由，
可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟.
故答案为：80.
四、解答题
11．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)由最小正周期求出,再由对称轴求出即可;
(2)令,解不等式即可;
(3) 由，得到，进而求出值域.
【详解】（1）由题意得．
因为的图象关于直线对称，所以，
得．
又，所以．故．
（2）由，
得，
所以的单调递减区间为．
（3）由，得，
由正弦函数的图象得，
故在上的值域为．
12．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式；
（2）利用整体代入法可得函数单调区间；
（3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域.
【详解】（1）由图象可知，
且，即，
又，所以；
所以，
又，
解得，，
又，则，
所以；
（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上的单调递增区间为和；
（3）当，则，
即
设，
则，，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，
故在上的值域为.
13．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)函数中，，最小正周期为，．
(1)求；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式组的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先由周期求出，再结合可得；
（2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域；
（3）根据正切函数的图象解不等式即可.
【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴当时，，
∴函数在上的值域为.
（3）∵，∴，
∴，其中，∴，
即不等式的解集为．
14．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数的部分图象如图所示，.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象，求得，且最小正周期，得到，再由，求得，即可得到的解析式；
（2）由中，令且，转化为，得到方程组的值有且仅有四个，令，得到必有两个相异零点，作出直线与和的图象，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且最小正周期，
所以，所以，
又由，且点在图象的上升部分，且，
所以，所以.
（2）解：在中，令，且，则，
因为，所以，
当时，满足方程组的值有且仅有四个，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
令，可得必有两个相异零点，
由直线与和，的图象分别有两个交点，
作出直线与和的图象，如图所示，
由图象可得，，即在区间上有两个相异零点，
则满足，解得解得，
所以的取值范围是.
15．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在上恰有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可得，，将代入解析式,结合即可得出解析式；
（2）由的范围求出的范围，根据余弦函数的性质求出值域；
（3）将函数零点问题转化为在上恰有个解，再由的范围求出的范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
所以，
即在上的值域为；
（3）由（1）知，则，
由函数在上恰有个零点，
即在上恰有个解，即在上恰有个解，
因为，所以，
则，解得，故.
16．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）求出函数最小正周期，进而得到，，代入特殊点坐标，求出，得到解析式；
（2）整体法求出函数单调递减区间；
（3）得到，结合图象得到，求出答案.
【详解】（1）由题可知，的最小正周期，则，
则，，即，．
因为，所以．
又，所以，得．
故．
（2）令，
得，
则的单调递减区间为．
（3）由，得．
由，得．
因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以，
解得，即的取值范围为．
17．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求及的值；
(3)设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)存在，且，证明见解析.
【分析】（1）利用三角函数的周期性求得，再根据奇偶性与已知条件解得，即可求得函数的解析式.
（2）结合（1）的结论，把求零点个数转化为函数交点问题，根据三角函数的图象与对称性计算即可.
（3）根据定义得出恒成立，利用三角函数的有界性得出，分类讨论时，构造，根据零点存在性定理判定其零点唯一，再讨论时，通过指数函数与一次函数的性质与图象排除即可.
【详解】（1）依题意，函数的最小正周期为，则，，
由函数为偶函数，得，，，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）得，则，
由，得，
令，则，函数在上的零点
与函数在上的零点满足设，如图：
由图知，直线与函数在上的图象有5个交点，
点关于直线对称，点关于直线对称，
点关于直线对称，点关于直线对称，
因此，即，
则，解得，
所以，.
（3）函数，则.
假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，
即，则成立，
则成立，当时，，则，
即，要使得恒成立，则有，
当时，则，即，令，其中，
而，且函数在上单调递增，
函数在上有唯一的零点，此时恒成立，
则，且，即，且；
当时，则，即，作出函数的图象如下图所示：
由图知，函数的图象没有公共点，即方程无实数解，
所以存在，且满足题意，其中满足.
18．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且.
(1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由；
(2)已知是“伴随函数”，且当时，.
（i）求当时，的解析式；
（ii）若为方程在上的根，求的值.
【答案】(1)存在一个的值为.
(2)（i）；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解，
（2）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解（i），作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解（ii）.
【详解】（1）存在正常数，使得是“伴随函数”.
因为，所以，
因为，所以，
所以存在一个的值为.
（2）（i）由，得，
所以是周期为的函数.
由，得，所以为的一条对称轴，
当时，，所以.
所以当.
（ii）易知在上的图象如图所示，
根据周期性结合图象，
当时，；
当，或，或时，；
当时，；
当或时，.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移3个单位
【答案】A
【分析】根据图象平移变换的规则即可得解.
【详解】将函数的图象向左平移1个单位，
得到函数的图象，即的图象.
故选：A
2．(24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中)将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出图象平移之后的函数解析式，利用函数图象关于轴对称可求的最小值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，
所得函数解析式为，即，
∵函数的图象关于轴对称，
∴函数为偶函数，
∴，故，
∵，∴当时，.
故选：D.
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数在上单调，是函数的一条对称轴，若先将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，再将图象向右平移个单位长度，图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再求得变换后的函数解析式，并结合函数图象的对称性质解得的最小值.
【详解】由函数在上单调，得的最小正周期，
则，解得，又，于是，
若，则，，又，则无解；
若，则，，又，则；
若，则，，又，则无解，
因此，将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，
得的图象，再将图象向右平移个单位长度，得的图象，
由函数的图象关于轴对称，得，
解得，所以当时，m取最小值为.
故选：B
二、多选题
4．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)如图，函数的部分图象，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由图可得，，可求，代入最高点，可得，再根据的相关性质可逐一验证选项即可解答.
【详解】由图可知，，，，
所以，
又过点，，
所以，即，∵，，
故，
，故A正确；
向右平移后，
故B错误；
，解得，
时可得在区间上单调递增，故C正确；
对D，根据题意，当在区间上单调时最大值与最小值之差取得最大，由函数的对称性，不妨取在区间上单调递增且
，
当时， 在区间上最大值与最小值之差取得最大值2，
当的对称轴在中点时最大值与最小值之差取得最小，
又的对称轴方程为，
所以，
，
最大值与最小值之差的最小值为，
综上，最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确；
故选：ACD.
5．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上无对称中心
C．，若恒成立，则的最小值为
D．已知是函数在上的两个零点，则
【答案】ACD
【分析】由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即可求出函数的解析式，即可判断A；由图像的平移变换即可求得变换后的图像，求出函数的对称中心，即可判断B；通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值，即可判断C，利用两角差的余弦公式计算可得D.
【详解】对于A：由题意知，，，
则，又，，
即， （），（），
又，，，故A正确；
对于B：把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到的函数，令，解得，
所以函数在的对称中心为，故B错误；
对于C：对，恒成立，
即，对恒成立，
令，，则，，
，，，
的最小值为，故C正确；
对于D：由，令，解得，
所以的对称轴为，
由，则，
因为是函数在上的两个零点，
所以，，且，
不妨令，则，
因为，则，则，，
所以，，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】根据三角函数的变换规则得到解析式，再根据正切函数的性质解得即可.
【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到，
再将向左平移个单位长度后可得，
由，即，
则，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数奇偶性可得，据此可得答案.
【详解】因为奇函数，
则，则.
故选：D
2．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，分析可知的图象关于点对称，了正弦型函数的对称性结合的取值范围可得出的值.
【详解】设函数的最小正周期为，则，则，，
由，得的图象关于点对称，
则，得，因为，所以．
故选：D.
3．(24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中)设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令 ，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
4．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中)若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出.
【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，则，又为奇函数且，
所以，所以，
所以的最小值为.
故选：A
二、多选题
5．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调，
且满足，而，，
即的一个对称中心为，，且在区间上单调，
设函数的最小正周期为T，则，即，解得，
又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，则，即，
解得，而，因此，
所以可能得取值为，.
故选：BC
三、填空题
6．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是________．
【答案】
【分析】根据函数零点与对称轴可确定，即，再结合函数的单调性可得最值.
【详解】由已知是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，
则，即，即，，
又函数在区间上单调，
则，即，
所以，解得且，
当，即时，，
此时，，解得，，
又，即，
此时，
当，则，函数不单调；
当，即时，，
此时，，解得，，
又，即，
此时，
当，则，函数单调，满足题意；
综上所述的最大值为，
故答案为：.
7．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知函数，若方程在上恰好存在6个实数根，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】由程可得或，结合实数根的个数可得，进而可得.
【详解】由，得，得，
由得或，
由题意知在上恰好存在6个实数根,
又因，故的可能取值为，
故，得，
故答案为：
8．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)已知函数，若至少存在两个实数，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据得出为的最大值点和最小值点，然后结合函数周期与区间长度的关系进行分类讨论，再根据正弦函数的性质列出不等式组求解的取值范围.
【详解】因为，所以与一个为函数的最大值，一个为函数的最小值，即为的最大值点和最小值点.
函数的周期，已知，即，解得.
当，即，解得时，满足条件.
当时，等价于在区间至少存在一组最大值点和最小值点.
因为左端点，分情况讨论：
当且时：
解可得，即；
解可得，即，所以.
当且时：
解可得，即；
解可得，即，又因为，所以.
综上，的取值范围为.
故答案为：
9．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________．
【答案】6
【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果.
【详解】设函数的最小正周期为，
因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，
则，其中，所以，，，
因为函数在区间上单调，则，所以，.
所以，的可能取值有：、.
当时，，，
所以，，则，
，，所以，，
当时，，所以，
函数在上单调，符合题意；
的最大值为.
故答案为：
10．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，_____．
【答案】
【分析】由，可得，由函数的图象关于点对称，可得，即可得解析式，可得答案.
【详解】由题可得，则.
因的图象关于点对称，则，
则，
则.
结合，可知时，最小为4，则，
则 .
故答案为：
11．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)函数，若函数在至少有4个零点，至多有8个零点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的最小正周期，再由正弦函数的零点个数及区间的任意性列出不等式求解.
【详解】函数的最小正周期，
由正弦函数的图象性质知，在长为一个周期的区间内恰有2个零点，
则由函数在至少有4个零点，至多有8个零点，得，
即，因此，解得或，
当时，由，得，
存在，使得，则，
即是的零点时，也一定是的零点，此时在内有9个零点，
不符合题意，则，同理，
所以的取值范围为.
故答案为：
12．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______.
【答案】/5.25
【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案.
【详解】函数的最小正周期 且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故答案为：
13．(24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中)已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___．
【答案】
【分析】由可得，运用换元法令，将问题转化为在上恰有5条对称轴，画图象运用数形结合列式即可求得结果.
【详解】当时，，
因为函数在区间上恰好有5个x，使得，
故在上恰有5条对称轴．令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故答案为：.
14．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区·期中）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________.
【答案】.
【分析】由条件得出，进而求得，根据正弦函数的单调性得出，即可得正实数的取值范围．
【详解】解：由题可知，，函数在上单调递减，
可得函数的半个周期大于或等于，即，
则，，
由，
解得：，，
而，所以当时，，
则正实数的取值范围是，
故答案为：．
四、解答题
15．（24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中）记函数 ，的最小正周期为．
(1)若，且直线为的图像的一条对称轴，求；
(2)若为的一个零点，且在区间上至多有两个零点，求．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据求得，根据直线为的图像的一条对称轴得到，结合诱导公式求解答案即可；
（2）由在区间上至多有两个零点得到，即或，再根据为的一个零点验证答案即可.
【详解】（1）因为，
所以，又因为，所以，则，
因为直线为的图像的一条对称轴，所以，
即，
所以
（2）由为的一个零点，可知，则
因为在区间上至多有两个零点，所以，
因为，所以，则，
又因为，所以或.
①当时，代入，得，
因为，所以，此时在只有一个零点，符合题意；
②当时，代入，得，
因为，所以不符合题意；
综上，，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑