资源简介

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专题01 平面向量
7大高频考点概览
考点01平面向量基本概念及线性运算
考点02平面向量基本定理及坐标表示
考点03平面向量数量积定义
考点04平面向量数量积模长问题
考点05平面向量数量积夹角与垂直问题
考点06平面向量数量积投影问题
考点07平面向量数量积几何意义与极化恒等式
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
C．共线的单位向量必相等
D．若与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案.
【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确.
故选：D
2．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算可求.
【详解】
，
故，
故选：A.
3．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解.
【详解】由已知为线段上一点，
设，，
则，
又，
则，
所以，
则，解得，
故选：D.
4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若点D在的边上，且，M是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形的几何性质，由向量的线性运算，可得答案.
【详解】
由为的中点，则，
由，则，
由图可知，则，
可得，所以.
故选：C.
5．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算化简即可.
【详解】．
故选：B.
6．(24-25高一下·吉林长春农安县·期中)如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为，所以，
由题可知，所以，
即.
故选：A
7．(24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中)已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根据三点共线可求的关系式，再结合基本不等式可求的最小值.
【详解】因为为的中点，故，
而三点共线，故存在实数，使得，
所以，而不共线，
故，所以，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故选：B.
二、多选题
8．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）关于向量，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D.
【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确；
当时，，B正确；
若和无法比较大小，C错误；
当时，与可能不共线，D错误.
故选：AB.
9．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若是的中点，则
C．若是的中点，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可.
【详解】解：，A错误；
若是的中点，则，
由三点共线可设，则，
∴，
∴，得，B，C正确；
设，则，
∵三点共线，∴，得，D正确；
故选：BCD.
三、填空题
10．(24-25高一下·内蒙古乌海第一中学·期中)如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____
【答案】
【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可.
【详解】
如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则，
在中点为中点，点为中点，所以，
所以，因为，可得，
所以，
由，
故答案为：.
四、解答题
11．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.

(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为，根据向量的线性运算法则，得到，根据是线段的中点，得到，根据三点共线，求得，进而求得的值；
（2）根据题意，得到和，结合三点共线，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
所以
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以，所以.
（2）解：因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得.
【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向，
∴存在实数使，
于是．
整理得．
由于向量，不共线，所以有，
整理得，解得或．
又因为，所以，故．
故选：B．
2．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ）
A．1或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解.
【详解】因为三点共线，所以与共线，
则，解得或.
故选：A
3．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学·期中)已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化为，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】由题意得，则，
,
所以的坐标为．
故选:B.
4．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标.
【详解】点，，则，于是，
所以点的坐标为.
故选：C
5．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】A
【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，解得.
故选：A
6．(24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量减法的坐标运算可得.
【详解】因为，所以．
故选：C
二、多选题
7．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】BCD
【分析】利用基底的定义，逐项分析判断.
【详解】对于A，，A不可以；
对于B，假定与共线，则，
则且，矛盾，向量和不共线，B可以；
对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以；
对于D，假定与共线，则，
则且，矛盾，向量和不共线，D可以.
故选：BCD
8．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AC
【分析】分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底.
【详解】B中与共线，D中与共线，A、C中两向量不共线，
故选：AC.
四、解答题
9．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在平面直角坐标系xOy中，，，．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)若，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标化的线性运算即可得到关于的方程组，解出即可；
（2）首先计算得，再利用向量共线得到关于的方程，解出即可.
【详解】（1）由，有，
有解得
故；
（2）由，，
又由，有，
解得，故．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知三点，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由向量的坐标表示进行线性运算和数量积运算即可.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：C
2．（24-25高一下·吉林·期中）已知向量，，若·=||·||，则实数的值为（ ）
A．4 B． C．或4 D．2
【答案】B
【分析】根据向量数量积运算公式（其中为与的夹角），结合已知条件得出两向量夹角的值，进而判断两向量的关系，再根据向量平行的坐标表示列出方程求解的值.
【详解】由向量数量积运算公式可得：
因为和均不为，所以.
又因为，所以，即与同向，那么与共线.
已知，，且与共线，则有：
即，整理得.解得或.
当时，，，此时，两向量反向，不符合题意，舍去.
当时，，，此时，两向量同向，符合题意.
实数的值为.
故选：B.
3．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A．3 B． C． D．13
【答案】A
【分析】利用平面向量的数量积公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得，
故选：A
4．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解.
【详解】因为，则，
又，则，，
所以，
又，，所以，
故选：C.
5．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由，得，由点是的中点，，
得，，
则
，解得.
故选：B.
二、多选题
6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项.
【详解】因为向量，，
若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故B正确；
若，解得，故C错误；
若，则，所以，故D正确；
故选：ABD.
7．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，则（ ）
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
C．若，则 D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，数量积的坐标运算，模的坐标表示，以及向量夹角的公式，逐项求解，即可得到答案.
【详解】因为向量，，
对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确；
对于B中，若，可得，解得，即，
则，所以B正确；
对于C中，若，可得，则，
所以，所以C正确；
对于D中，若，可得，则，
此时，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题
8．（24-25高一下·吉林·期中）在菱形中，是的中点，若，则 __________ .
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理及向量的线性运算将题中的向量用，表示出来，根据向量数量积的运算律，化简整理整体代换即可求解.
【详解】

在菱形中，由平面向量的加法法则可知：.
∵是的中点，∴.
故答案为：.
四、解答题
9．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知向量与的夹角为，且，
(1)求的值．
(2)在三角形中，，且，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方，结合数量积公式化简求解即可；
（2）以，为基底化简，再根据数量积公式求解即可
【详解】（1）即，故，故，因为故
（2）因为，故，
故，
即
10．（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点.
(1)设，求的值；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得；
（2）建立以点为原点的平面直角坐标系，由坐标计算向量的夹角可得.
【详解】（1）由题意知，，
又，所以，故；
（2）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
的余弦值为.
三、填空题
1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________．
【答案】
【分析】利用向量数量积求模即可.
【详解】．
故答案为: .
2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
【答案】
【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.
【详解】因为向量，的夹角为45°，且，，
所以
.
故答案为：.
3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知向量满足，，且，则________.
【答案】
【分析】 根据复数模长公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
四、解答题
4．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，．
(1)求及；
(2)求.
【答案】(1)2，1；
(2).
【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求；
（2）应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】（1）由题设，则
（2）由 ，
所以.
一、单选题
1．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，
则，
因为，可得 ，
解得.
故选：C.
2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两向量垂直的坐标运算求解.
【详解】由，
得=0,
得；
又，故 ，
，故 ，
，
代入得：，
.
故选：D
3．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）已知，且与垂直，则等于
A． B．± C．± D．±
【答案】B
【详解】试题分析：根据与垂直，可得，整理可得即，所以，选B.
考点：平面向量垂直的判定与性质.
4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）已知向量， ，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】，，则，
即，解得.
故选：C.
三、填空题
5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据平面向量的夹角为钝角，得出两向量的数量积小于0，且不共线；由此求出的取值范围．
【详解】向量，，且与的夹角为钝角，
所以，且与不共线；
所以，解得且，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
6．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，满足，．
(1)若，求；
(2)若，求当k为何值时，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的运算律，求解作答；
（2）利用垂直关系的向量表示求解作答.
【详解】（1）根据题意，，
所以；
（2）因为，即，
即，则，
由，
得，
解得，
所以当时，.
7．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求m的值；
(3)求与垂直的单位向量的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出；
（2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值；
（3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案.
【详解】（1）由向量，，得，
所以.
（2）向量，则，
由，得，解得，
所以m的值为.
（3），设与垂直的向量，
则，取，得，则，
与向量共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量的坐标或.
8．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，，.
(1)求；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长；
（2）利用向量夹角余弦公式得到，得到.
【详解】（1），
故，
故，解得，
故，
所以；
（2），
又，故.
9．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)与的夹角．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值.
（2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可.
【详解】（1）因为，，且与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，
，
所以，
因为，
所以与的夹角为.
10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量，满足，且，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模；
（2）利用向量的数量积运算来求夹角即可；
（3）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以，
（2）因为，所以，即，所以，
所以.
（3），
由题意知且向量与不同向共线，
所以，
当向量与同向共线时，，即得，
解得（负值舍去）.
所以，且，
解得，且，即实数的取值范围为.
11．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）设A，，，为平面内的四点，且.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的坐标表示，列式求解.
（2）利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求出范围.
【详解】（1）设点，则,,
由，得，即，解得，
所以点的坐标为.
（2）依题意，，，
则，，
由与夹角为钝角，得，且与不共线，
所以，解得且，
所以实数的范围是.
一、单选题
1．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】由，得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D
2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解.
【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量，
因此，又是单位向量，所以.
故选：B
三、填空题
3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，
所以，
解得或（舍去），
所以，，
所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为.
故答案为：.
4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________.
【答案】
【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】设向量与的夹角为，
由题意可得，
则，又，则.
故答案为：
5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______.
【答案】/
【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得.
【详解】因为，，所以，
，
所以P点坐标为，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求；
(3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
【答案】(1)1
(2)
(3).
【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可；
（2）根据向量数量积的运算律，直接平方计算即可；
（3）根据投影向量的计算公式即可得到答案.
【详解】（1）.
（2）因为，
所以.
（3）在方向上的投影向量为.
7．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知平面向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若，求向量在向量上的投影向量．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知及向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量夹角的坐标运算求夹角即可；
（2）由已知及向量平行的坐标表示列方程求的，根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量.
【详解】（1）由题设，又，
所以，则，故，
所以，而，
所以.
（2）由，则，可得，则，
所以向量在向量上的投影向量.
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知菱形 边长为， 则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据向量的数量积的定义计算即可.,
【详解】菱形边长为，所以的夹角为，
所以.
故选：B.
2．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可.
【详解】
过C作交延长线于E点，则，
因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值，
此时，
，
故选：C.
3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）．
设，则．因为，所以．
由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上，
所以，所以的取值范围是．
故选：C
4．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.
【详解】取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：B
二、多选题
5．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的最小值为
C．的最大值为
D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D.
【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：，
则，所以，
所以，故A正确；
对于B，由正八边形的结构特征可知，
当点在边上时（不包含两点），
的夹角为锐角，此时，
当点在上时，设，则
则，
当时，取得最小值，
综上所述，的最小值为，故B正确；
对于C，由题意可知，当点在边上时，
在方向上的投影最大，
最大值为，
根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误；
对于D，设，
则
，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
6．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可.
【详解】
如图示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、
不妨设
则
∴
∴的最小值为，当且仅当时取得.
故答案为：
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专题01 平面向量
7大高频考点概览
考点01平面向量基本概念及线性运算
考点02平面向量基本定理及坐标表示
考点03平面向量数量积定义
考点04平面向量数量积模长问题
考点05平面向量数量积夹角与垂直问题
考点06平面向量数量积投影问题
考点07平面向量数量积几何意义与极化恒等式
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
C．共线的单位向量必相等
D．若与不共线，则与都是非零向量
2．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若点D在的边上，且，M是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)等于（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·吉林长春农安县·期中)如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中)已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．7 D．
二、多选题
8．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）关于向量，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若是的中点，则
C．若是的中点，则
D．若，则
三、填空题
10．(24-25高一下·内蒙古乌海第一中学·期中)如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____
四、解答题
11．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.

(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ）
A．1或 B． C．或 D．
3．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学·期中)已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
6．(24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
8．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
四、解答题
9．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在平面直角坐标系xOy中，，，．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)若，求实数m的值．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知三点，则等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高一下·吉林·期中）已知向量，，若·=||·||，则实数的值为（ ）
A．4 B． C．或4 D．2
3．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A．3 B． C． D．13
4．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（ ）
A．6 B．8 C． D．
二、多选题
6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，则（ ）
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
C．若，则 D．若，则与的夹角为
三、填空题
8．（24-25高一下·吉林·期中）在菱形中，是的中点，若，则 __________ .
四、解答题
9．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知向量与的夹角为，且，
(1)求的值．
(2)在三角形中，，且，求
10．（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点.
(1)设，求的值；
(2)求的余弦值.
三、填空题
1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________．
2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知向量满足，，且，则________.
四、解答题
4．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，．
(1)求及；
(2)求.
一、单选题
1．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）已知，且与垂直，则等于
A． B．± C．± D．±
4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）已知向量， ，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
6．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，满足，．
(1)若，求；
(2)若，求当k为何值时，．
7．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求m的值；
(3)求与垂直的单位向量的坐标．
8．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，，.
(1)求；
(2)求与的夹角.
9．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)与的夹角．
10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量，满足，且，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
11．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）设A，，，为平面内的四点，且.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围.
一、单选题
1．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空题
3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______．
4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________.
5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______.
四、解答题
6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求；
(3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
7．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知平面向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若，求向量在向量上的投影向量．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知菱形 边长为， 则 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的最小值为
C．的最大值为
D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为
三、填空题
6．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________．
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