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专题02 三角函数的图像和性质及弧度制
3大高频考点概览
考点01正弦函数的图像和性质
考点02余弦函数的图像和性质
考点03正切函数的图像和性质
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由正弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期为.
故选：D.
2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）函数，则（ ）
A．
B．函数在区间上为增函数
C．是函数的图象的一个对称中心
D．
【答案】ACD
【分析】对于A：代入结合诱导公式运算求解；对于B：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：代入检验结合正弦函数对称性分析判断；对于D：可知为最小值，即可得判断.
【详解】因为，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为，则，
且正弦函数在内不单调，
所以函数在区间上不单调，故B错误；
对于选项C：因为，
所以是函数的图象的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：因为为最小值，
所以，故D正确；
故选：ACD.
3．（24-25高一下·安徽·期中）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．.
B．.
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点.
D．盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒.
【答案】BCD
【分析】根据的最大值为4.5，最小值为，可求得、的值，可得选项A正确；根据时可得选项B正确；令求出的值可得选项C错误；由求出的范围可得选项D正确.
【详解】由题意得，的最大值为4.5，最小值为，
∴，解得，选项A错误.设函数的最小正周期为，
由筒车按逆时针方向每分钟转圈可得，
故，∴，∵时，
∴，∵，∴，选项B正确.
由B得，，令，得，
故，∴，故，
令得，，故盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C正确.
由，得，得，
∴，解得，
∴盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，选项D正确.
故选：.
4．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性可得，得到，进而得到答案.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，即，
所以，解得．
因为，，所以，
因为在上为增函数，
所以，解得，
所以当时，．
故选：B．
5．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．若在区间上单调递增，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】由图象确定函数最小正周期可求出，结合函数最值求出，判断A；代入验证可判断B；结合正弦函数的单调性可判断CD；
【详解】由题意知，解得，所以，解得，
所以，
又，所以，解得，
又，所以，所以，故A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，
由于在上的单调性和在上的单调性相同，
且在上不单调，故在上不单调，故C错误；
令，解得，
又在区间上单调递增，则的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
6．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：建立平面直角坐标系，根据三角函数定义设，然后由平面向量的坐标运算表示出，结合三角恒等变换和三角函数性质即可得解；法二：取的中点为，中点为O，利用极化恒等式化简，结合图形可解.
【详解】方法1：由已知，弧是以为圆心，1为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
，
令，，则，
当时，，，
，
存在，使，即，
当时，的最小值为．
方法2：利用极化恒等式，取的中点为，则，
，
取中点为O，则：，
因为，所以，
当在弧上时，，当且仅当三点共线时取等号，
则
故选：A．
二、填空题
7．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为_____.
【答案】
【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值.
【详解】由
，
可得.
故答案为：.
三、解答题
8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
【答案】(1)
(2)①；②；
【分析】（1）根据奇偶性和周期性可得，再结合正弦函数的单调性分析求解；
（2）根据图象变换可得.①以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；②整理可得，结合正弦函数图象分析判断，再结合对称性运算求解.
【详解】（1）因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
①因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
②令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有4个交点，所以，
且，
可得，
所以.
9．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值求出，根据相邻两条对称轴间的距离求出，得出解析式；
（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可.
【详解】（1）由已知得,解得.
由相邻两条对称轴间的距离为可知周期,于是，
故函数解析式为
（2）当时，，函数在区间内有两个零点，
则在区间上有两个根，，
则，所以.
10．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设．
(1)用表示的面积；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先用角表示的内角，再根据正弦定理表示，再根据三角形面积公式，结合三角恒等变换，即可求解；
（2）根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，,,
中，，由正弦定理，，
所以，，
，
所以，
（2），，
，所以当时，的最大值为1，
此时的最大值是.
11．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且.
(1)求；
(2)求三角形周长的取值范围；
(3)求三角形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案；
（2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可；
（3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）由正弦定理：，
则，
所以，根据得：.
（2）由正弦定理：，所以，
，
注意到，所以，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
（3）余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.
12．（24-25高一下·安徽·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】由三角函数的平移变化即可得出的答案.
【详解】所以把函数的图象向右平移个单位长度可得：
，
故选：C.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为函数在区间上单调递减，
所以，,即，
故当时，.
故选：A
2．（24-25高一下·安徽·期中）下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的单调性即可求解A，根据幂函数以及指数函数的单调性即可求解B，根据对数函数的图象以及单调性即可求解CD.
【详解】对于A，因为 所以 故A 错误；
对于B,故B正确；
对于C，作出和的图象如下：取，即可得故C错误；

对于D，因为 所以故D错误，
故选：B.
3．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．存在，使得成立
【答案】AC
【分析】先利用三角恒等变换化简函数成余弦型函数，再根据选项内容逐一判断即可.
【详解】对于A，
，故 A 正确；
对于B，当 时 故B错误；
对于C，当 时 ，
因在上单调递增，则在上单调递增，故C正确；
对于D，若则是函数的一个周期，
因的最小正周期为π，所以 即
显然不存在整数，使得 ，故 D错误.
故选：AC.
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平移变换和诱导公式推得，，再逐一检验各选项即可.
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
所以，则，，，，
对于A，若，代入得，故A错误；
对于B，若，代入得，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，若，代入得，故D错误.
故选：C.
二、填空题
5．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________.
【答案】
【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案.
【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
故⊥,⊥,⊥,
，由“奔驰定理”得，，
则，即，设，则，
同理，即，设，则.
由，得，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，
则.
故答案为：
一、填空题
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围.
【详解】由余弦定理，和
可得
即，由正弦定理，（*），
因
代入（*）化简得：，即，
因，则，所以，即，
因是锐角三角形，故，解得，
由
令，因函数 在上单调递增，
则，故的取值范围是.
故答案为：.
二、解答题
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.
(1)记的相伴函数为f(x)，求的最大值；
(2)已知动点满足，且 的相伴函数在时取得最大值，求 的最小值；
(3)已知为函数的相伴向量，在中，，且点 为的外心，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两角和的正弦展开式化简可得，再利用三角函数性质可得答案；
（2）由辅助角公式得，根据在时取得最大值求出，可得，根据在上单调递减可得答案；
（3）根据求出，根据正弦定理可得外接圆的半径R，再利用可得答案.
【详解】（1）由题意得
因为，所以的最大值为；
（2）由题设可得，
且 在时取得最大值，
得，则
所以
令，，设，
则，
因为，所以，
可得，，
所以在上单调递减，
故 所以 的最小值为 ；
（3）由题意得 因此
设外接圆的半径为R，根据正弦定理可得
故所以
又
又 ，所以 ，
所以
所以当时，取得最大值，最大值为6.
3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角；
（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；
（3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围
【详解】（1）
即
因 ，则，故，解得 .
（2）由（1）已得 由为的平分线，可得
设，由可得 ，
即 解得 ，即.
（3）

方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点，
当点在之间时， 为锐角三角形
∴，即，因，则得，
的面积的取值范围为.
方法二：由正弦定理，可得
∵均为锐角 解得
故 可得 故
又 ，的面积的取值范围为
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专题02 三角函数的图像和性质及弧度制
3大高频考点概览
考点01正弦函数的图像和性质
考点02余弦函数的图像和性质
考点03正切函数的图像和性质
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）函数，则（ ）
A．
B．函数在区间上为增函数
C．是函数的图象的一个对称中心
D．
3．（24-25高一下·安徽·期中）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．.
B．.
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点.
D．盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒.
4．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．若在区间上单调递增，则的最大值为
6．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为_____.
三、解答题
8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
9．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
10．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设．
(1)用表示的面积；
(2)求的最大值．
11．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且.
(1)求；
(2)求三角形周长的取值范围；
(3)求三角形面积的最大值.
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.
12．（24-25高一下·安徽·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽·期中）下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．存在，使得成立
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________.
一、填空题
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________．
二、解答题
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.
(1)记的相伴函数为f(x)，求的最大值；
(2)已知动点满足，且 的相伴函数在时取得最大值，求 的最小值；
(3)已知为函数的相伴向量，在中，，且点 为的外心，求 的最大值.
3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
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