资源简介

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专题01 平面向量
13大高频考点概览
考点01平面向量基本概念及线性运算
考点02平面向量基本定理及坐标表示
考点03平面向量平行、共线
考点04平面向量数量积定义
考点05平面向量数量积模长问题
考点06平面向量数量积垂直问题
考点07平面向量数量积夹角
考点08数量积在几何图形中的应用
考点09平面向量数量积投影问题
考点10平面向量数量积几何意义
考点11极化恒等式
考点12平面向量数量积几何法
考点13奔驰定理与四心
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)化简：（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减运算即可求解.
【详解】由，
故选：B.
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在△ABC中，在上且，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案.
【详解】如图，在中，在上且，所以.
则
.
又因为，所以.
故选：B
3．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)在△ABC中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用共线向量及向量的加减运算，再结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】由，，，，
则，，
所以有，
又因为，所以，
故选：B .
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)已知向量，，若满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接得解.
【详解】因为，，且满足，
所以，
故选：A.
2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由或求解即可；
【详解】由题意得或．
设，则，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即．
故选：D
3．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由图可得，，即可求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】依题意可得，，
所以，
又与不共线，且，
所以，所以.
故选：D
4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为的中点，为的中点，即可得到是的中位线，从而得到，即可得解；
【详解】，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，即为的中点，为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
二、多选题
5．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AB
【分析】根据共线向量的坐标公式：来进行检验并可作出共线判断，再根据基底一定是不共线向量可以作出选择.
【详解】由于，所以与不共线，故A正确；
由于，所以与不共线，故B正确；
由于，所以与共线，故C错误；
由于，所以与共线，故D错误；
故选：AB.
6．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】运用向量运算加减法则，结合基本定理得解.
【详解】由题意可得.
因为是平行四边形，所以，所以，
所以，则A正确，B错误.
因为，
所以，则C正确，D错误.
故选：AC.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据共线向量坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量满足，所以，解得.
故选：A
2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选：B
二、填空题
3．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________.
【答案】
【分析】利用平面向量共线定理以及基本定理可构造方程组求得结果.
【详解】由题意，设，，
则有，解得.
故答案为：.
4．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____
【答案】8
【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数的方程，求出参数关系.
【详解】因为，所以，则，
所以，，
因为为的中点，故．
又因为、、三点共线，则，
所以，存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，所以，
所以，，故．
故答案为：8.
5．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)在△ABC中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________.
【答案】9
【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，又三点共线，
所以，所以，
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：9.
三、解答题
6．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，．
(1)当为何值时，与垂直？
(2)若，且、、三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用向量坐标运算求出与的坐标，再利用垂直可求；
（2）先利用向量坐标运算求出，利用向量平行可求.
【详解】（1），，
，
又与垂直，得，即；
（2），，
、、三点共线，，
则，解得：．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解.
【详解】，
.
故选：A.
2．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)在△ABC中，，，，则（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义求解.
【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角，
则.
故选：C
3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，，当时，与垂直，
，所以成立，此时，
不是的充分条件，
当时，成立，
是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知向量，则（ ）
A． B．0 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据平面向量的数量积坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，，
则.
故选：D.
5．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)矩形中，，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】根据线性运算利用基底表示向量，再由数量积的运算法则性质求解即可.
【详解】因为，，
∴
.
故选：B
二、填空题
6．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知在△ABC中，，，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为__________.
【答案】/
【分析】根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量数量积的运算性质即可求解.
【详解】如下图所示：
，
由平面向量数量积的定义可得，
则，
.
故答案为：.
7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____．
【答案】
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因为三点共线，所以，
所以
故答案为：
三、解答题
8．(24-25高一下·重庆广益中学校·期中)设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
【答案】(1)2
(2)7
(3)16
【分析】（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得；
（3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【详解】（1）由已知，得，
设的夹角为，由，可得，即，
又，所以，
所以；
（2）设，则，，
设的夹角为，则，
，
所以，
又，
所以.
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是16.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知向量，，满足，，，则（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】B
【分析】先根据已知条件求出的值，再利用向量模的计算公式求出.
【详解】已知，可得：
又因为，可得.
将代入，可得，解得.
根据向量模的计算公式，可得.
展开可得：
由，，，代入上式可得：
所以.
故选：B.
2．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A．5 B．8 C．7或8 D．5或8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得.
【详解】由向量，，两两的夹角相等，
得或，
当时，，
当时，
.
故选：D
3．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，且，则的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．2
【答案】C
【分析】由向量加法和模长运算的坐标表示计算即可.
【详解】，
，
两边平方后化简可得或.
故选：C
4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.
【详解】为单位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
则，
当且仅当与方向相反时“”成立，
如取时，可使“”成立.
所以.
故选：B．
二、解答题
5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知向量与的夹角为．
(1)求及；
(2)求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先求出，再利用平面向量数量积的定义求解即可.
（2）将平方，再结合（1）中结论，代入求解即可.
【详解】（1）因为向量与的夹角为，
所以，
则．
（2）由
，
所以．
6．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量，，.
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量，（），当取得最小值时，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的运算律，列式求解，即得答案；
（2）利用，结合数量积运算律求出当取得最小值时的值，即可得，再根据即可求得答案.
【详解】（1）由题意向量，，，
则，即，
故，
，即向量与的夹角；
（2）由（1）可知，，
则
，
当时，取得最小值，即取最小值，
此时，则.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知，，若，则实数（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】D
【分析】利用垂直关系的向量坐标表示可得.
【详解】由题意可得.
故选：D.
2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知平面向量， 若， 则实数的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【答案】A
【分析】先判断出，利用坐标运算即可求出t.
【详解】若，则若，
平面向量，所以，
所以，解得：.
故选:A.
二、填空题
3．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知，，且，则_____．
【答案】
【分析】利用向量垂直求解的值.
【详解】由，
则，故.
故答案为：.
4．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则______.
【答案】1
【分析】利用向量垂直的坐标形式列式即可求解.
【详解】因为向量满足，
所以，解得.
故答案为：1
三、解答题
5．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知平面向量，，，，且与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若与（）垂直，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算；
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得.
【详解】（1）∵，，且与的夹角为，
∴，
故；
（2）∵与（）垂直，
∴，
即，解得：．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两边平方，结合数量积的运算和向量的模即可求解.
【详解】因为，
所以，
即，
化简得，
即.
故选：B.
2．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以
解得且，所以的取值范围是.
故选：C.
二、填空题
3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________．
【答案】1
【分析】由，结合数量积的性质求的关系，再确定的大小即可．
【详解】单位向量，由，得，解得，
而，当且仅当时取等号，因此，此时，
因此，，，
所以.
故答案为：1
4．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________
【答案】
【分析】根据向量夹角是钝角，得到数量积小于0，且两向量不共线，由此列出不等式求出实数的取值范围．
【详解】由题意，与夹角为钝角，则，且与不共线.
由可得，
若与共线，则有，解得，所以与不共线时，.
综上，的取值范围为且.
故答案为：.
三、解答题
5．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知点，O为坐标原点，为轴上一动点.
(1)，求点的坐标；
(2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设点，由向量垂直的充要条件列方程，求出的值，即得点坐标；
（2）由的表达式中，利用二次函数的性质，求出其最小值即此时的的值，利用向量夹角的坐标公式计算即得.
【详解】（1）根据题意，设点，又，得，
由，即，解得或，
的坐标为或；
（2）由（1）可得：，
当时，取得最小值，此时，，
设与夹角为，则此时.
6．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)设、是夹角为的两个单位向量，如果
(1)求证：，，三点共线；
(2)若与的夹角为锐角，试求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据向量平行且有公共点得出三点共线；
（2）把夹角为锐角转化为数量积大于零且向量不平行求参即可.
【详解】（1）因为，
则，可知共线，所以，，三点共线；
（2）若，
解得或
若，可得解得，
则与夹角为锐角，则且与不平行，
故或或，
则的取值范围为.
7．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)（1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？
（2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值．
【答案】
【分析】（1）利用数量积的坐标运算，由即可求解；
（2）先求，，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）由题意有：，
所以，解得；
（2）由题意有
，
所以，
因为，
所以
8．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知向量，，
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先将两边平方求出，再将平方求其值；
（2）根据向量夹角公式求出向量与的夹角的余弦值.
【详解】（1）因为，所以，所以，
又因为，，所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可.
【详解】
以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，设，
，，，，
与共线，设，，即，
与共线，设，，即，
，解得，， ，
，，
，，
，
.
故选：A.
2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】C
【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.
则，
所以，.
所以，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以的最小值是8.
故选：C
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
【答案】AD
【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解.
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项C：由题意可知：，
若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误；
对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，
则，
可得，所以，故B错误；
设，可知，
则，可得，
则，
可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确；
故选：AD.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解判断.
【详解】单位向量满足，则，
所以所求的投影向量为．
故选：B
2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.
【详解】依题意，在上的投影向量为.
故选：C
3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.
【详解】设投影向量是，则，所以，
即在上的投影向量是．
故选：D.
二、多选题
4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则实数的值为
C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，则，
，由可得，解得，故B正确；
对于C，因，则，
由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误；
对于D，因，在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD.
5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为或
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】ACD
【分析】利用向量夹角公式判断A选项；利用公式判断B选项；设与垂直的单位向量的坐标为，建立方程组求解即可判断C选项；设，利用平面向量基本定理中的唯一性可得判断D选项.
【详解】由题意得，，故A正确；
在方向上的投影向量为，
故B错误；
设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C正确；
若向量与非零向量共线，设，
因为不共线，所以，解得，此时，故D正确.
故选：ACD.
6．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为1 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
【答案】AD
【分析】利用投影向量的模长公式和数量积的运算律逐项判断即可.
【详解】由题意在方向上的投影向量的模为，故A说法正确；
在方向上的投影向量的模为，故B说法错误；
，
当时，取得最小值，
此时，
所以，故C说法错误，D说法正确，
故选：AD
三、填空题
7．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】在上的投影向量为，
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ）

A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的条件，利用数量积的运算律可得，再利用数量积的定义求解.
【详解】由为弧上的一点，得，，则，
因此，
当且仅当，即点与点重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果．
【详解】如图所示：

设，则．
可看成是在上的投影，
当点与重合时最小，最小值为，
当点与重合时最大，最大值为0，
故．
故选：C．
3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果
【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值.
故选：D
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积的运算律及定义求解即可.
【详解】设正六边形内切圆圆心为，
由题意可知内切圆半径为，，
又因为，所以的取值范围为．
故选：C．
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)△ABC是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】B
【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案.
【详解】设的中点为的中点为E，
则有 ，
则 ，
而
而 ，，
故当P与E重合时， 有最小值 ，
所以的最小值为，
故选：B.
3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值.
【详解】解法一：
连接，则
，
当时，最小，即，
结合，得的最小值为．
解法二（极化恒等式法）：
依题意，为线段的中点，
则
,
由于，，所以的最小值为．
故选:D

4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案.
【详解】因为分别表示与方向上的单位向量，
所以表示的平分线上的共线向量，
又，即与垂直，
由三线合一可知，，
如图，取的中点，连接，则⊥，
又，其中，
所以，，故，
由于，，两式平方相减可得
，
当⊥时，取得最小值，
其中由勾股定理得，
故，
故的最小值为.
故选：D
二、填空题
5．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________．

【答案】
【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系，
则，设，
故，
所以，
则当时，取得最小值.

故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，，，将问题化为圆上的点到点的距离，即可得.
【详解】已知向量，是互相垂直的单位向量，
设，，，
由，则，
由，，
其几何意义是圆上的点到点的距离，
圆心到的距离为，圆的半径为2，
所以的取值范围是．
故选：D
二、多选题
2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若 则 的最大值为
C．若向量满足，则 的最大值是
D．若向量满足，则 的最小值是2
【答案】ACD
【分析】由向量垂直的数量积表示得出，然后把向量的模转化为数量积的运算后，分别利用二次函数知识，基本不等式可得选项AB中最值，从而判断AB，利用平面向量的几何意义，由圆的性质可得点轨迹是图中两段优弧，再由圆的性质可得所求距离的最值，判断CD．
【详解】对于A，由，得，，
，
因此当时，取得最小值，A正确；
对于B，由，得，则
，当且仅当时等号成立，B错误；
对于CD，，，，
又，则，
作，，以为圆心，为半径作圆，如图，
当是圆的优弧上点时，即时，满足，
再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆，
当是圆的优弧上点时，即时，也满足，
当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足，
是等边三角形，因此，两圆半径都是2，
由图可知即的最小值是2，最大值是，CD正确.
故选：ACD
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)是平面上一定点，P是△ABC中一动点且满足：，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据已知得，结合向量加法的几何性质即可得.
【详解】若为中点，由题设，
如下图示，易知直线AP是△ABC的一条中线，
所以直线AP一定通过△ABC的重心.
故选：B
2．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)若点是△ABC所在平面内的一点，且满足，则与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果.
【详解】取的中点为，如下图所示：
易知，又可得；
因此可得，即三点共线，且为线段的中点，
所以；
又，所以；
所以与的面积之比为.
故选：C
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)奔驰定理：已知是△ABC内一点，的面积分别为，则.设是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为，若，且为△ABC的垂心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解.
【详解】因为为△ABC的垂心，所以，A正确，B错误.
由上知，
同理，.
因为，所以，
所以，同理，，
所以.
因为，所以.
设，
因为，所以，
所以，解得，所以，C正确，D错误.
故选：AC
4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知点在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为△ABC的垂心，且，则
B．若，则△ABC的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值.
【详解】A选项，，故A正确；
B选项，设中点为，中点为，
，即，
所以点为中位线靠近点的三等分点，所以，故B错；
C选项，设中点为，则，
结合题设
所以，所以，
又的中点为，所以在的中垂线上，
所以动点的轨迹经过△ABC的外心，故C正确；
D选项，设中点为，
因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，
结合上图，
,
当为直径时最大，最大为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知三角形ABC中，点G、O分别是△ABC的重心和外心，且，，则边的长为________.
【答案】6
【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，即，然后由直角三角形性质得长．
【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点，
，
同理，
，
，
，
又，
即，，
所以，即，
所以，
故答案为：6．
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专题01 平面向量
13大高频考点概览
考点01平面向量基本概念及线性运算
考点02平面向量基本定理及坐标表示
考点03平面向量平行、共线
考点04平面向量数量积定义
考点05平面向量数量积模长问题
考点06平面向量数量积垂直问题
考点07平面向量数量积夹角
考点08数量积在几何图形中的应用
考点09平面向量数量积投影问题
考点10平面向量数量积几何意义
考点11极化恒等式
考点12平面向量数量积几何法
考点13奔驰定理与四心
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)化简：（ ）
A．0 B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在△ABC中，在上且，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)在△ABC中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)已知向量，，若满足，则（　　）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题
3．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________.
4．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____
5．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)在△ABC中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________.
三、解答题
6．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，．
(1)当为何值时，与垂直？
(2)若，且、、三点共线，求的值．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)在△ABC中，，，，则（ ）
A．12 B．6 C． D．
3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知向量，则（ ）
A． B．0 C．6 D．7
5．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)矩形中，，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．4
二、填空题
6．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知在△ABC中，，，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为__________.
7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____．
三、解答题
8．(24-25高一下·重庆广益中学校·期中)设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知向量，，满足，，，则（ ）
A． B． C．6 D．12
2．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A．5 B．8 C．7或8 D．5或8
3．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，且，则的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．2
4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
二、解答题
5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知向量与的夹角为．
(1)求及；
(2)求．
6．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量，，.
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量，（），当取得最小值时，求.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知，，若，则实数（ ）
A．3 B． C． D．0
2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知平面向量， 若， 则实数的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
二、填空题
3．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知，，且，则_____．
4．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量满足，则______.
三、解答题
5．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知平面向量，，，，且与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若与（）垂直，求的值．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________．
4．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________
三、解答题
5．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知点，O为坐标原点，为轴上一动点.
(1)，求点的坐标；
(2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
6．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)设、是夹角为的两个单位向量，如果
(1)求证：，，三点共线；
(2)若与的夹角为锐角，试求的取值范围.
7．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)（1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？
（2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值．
8．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)已知向量，，
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．8 D．
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则实数的值为
C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在上的投影向量的坐标为
5．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为或
D．若向量与非零向量共线，则
6．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为1 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
三、填空题
7．(24-25高一下·重庆万州第二高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ）

A．0 B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
3．(24-25高一下·重庆第十八中学·期中)如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)△ABC是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-2
3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）

A． B．
C． D．
4．(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高一下·重庆复旦中学教育集团·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________．

一、单选题
1．(24-25高一下·重庆荣昌中学校·期中)向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若 则 的最大值为
C．若向量满足，则 的最大值是
D．若向量满足，则 的最小值是2
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第二外国语学校·期中)是平面上一定点，P是△ABC中一动点且满足：，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心
2．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)若点是△ABC所在平面内的一点，且满足，则与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)奔驰定理：已知是△ABC内一点，的面积分别为，则.设是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为，若，且为△ABC的垂心，则（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知点在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为△ABC的垂心，且，则
B．若，则△ABC的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为
三、填空题
5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知三角形ABC中，点G、O分别是△ABC的重心和外心，且，，则边的长为________.
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