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专题02复数
8大高频考点概览
考点01 复数的四则运算
考点02 共轭复数
考点03 复数的模长
考点04 复数的相等求参数
考点05 已知复数类型求参数
考点06 复数与点坐标
考点07 复数的实部虚部问题
考点08 复数方程问题
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
【详解】.
故选：A
2．(24-25高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)i为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法法则计算即可.
【详解】.
故选：C
3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知i是虚数单位，化简 的结果为_________.
【答案】
【分析】利用复数的除法即可求解.
【详解】由
故答案为：.
4．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)若是虚数单位，则______．
【答案】0
【分析】利用的整数次幂的周期性求解即得.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：0
5．(24-25高一下·天津部分区·期中)i是虚数单位，复数______．
【答案】
【分析】由复数的乘除法运算计算即可．
【详解】，
故答案为：．
1．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解.
【详解】由，可得，
所以.
故选：D．
2．(24-25高一下·天津咸水沽第二中学·期中)设，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【详解】因为，
所以．
故选：D．
3．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)已知复数， 那么复数 的共轭复数是___________________.
【答案】
【分析】利用复数的除法求解，进而求出共轭复数.
【详解】复数，则，
所以复数 的共轭复数是.
故答案为：
4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)复数的共轭复数是__________.
【答案】
【分析】利用复数的模、除法及共轭复数求解.
【详解】依题意，，
所以所求共轭复数为.
故答案为：
5．(24-25高一下·天津河北区·期中)已知i是虚数单位，复数的共轭复数是__________．
【答案】
【分析】先化简复数，再利用共轭复数可得答案.
【详解】因为，
所以复数的共轭复数是.
故答案为：
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出可得，再求模长.
【详解】，，
则.
故选：D.
2．(24-25高一下·天津第一中学·期中)若，其中为虚数单位，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出模.
【详解】依题意，，
所以.
故选：B
3．(23-24高一下·天津红桥区·期中)若为虚数单位，则复数的模是______.
【答案】
【分析】先根据复数的四则运算法则化简复数，再由模长公式求解即可.
【详解】由题，，
所以.
故答案为：.
4．(24-25高一下·天津河西区·期中)是虚数单位，__________.
【答案】1
【分析】利用复数的模的运算性质计算或者先运用复数的除法计算，再求其模长即可.
【详解】方法一：由.
方法二：因，
故
故答案为：1.
5．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)已知复数满足，则_____.
【答案】
【分析】利用复数的模的性质求解
【详解】，
故答案为：
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知，，是虚数单位．若，则______．
【答案】
【分析】根据复数的运算整理其为标准式，由复数相等建立方程组，可得答案.
【详解】由，
则，解得，所以.
故答案为：.
2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)已知，是虚数单位，若，则等于________．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、的值，再计算其模.
【详解】由（），可得，解得，
所以.
故答案为：．
3．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知，其中，则____.
【答案】
【分析】根据复数相等，列出方程组计算即可.
【详解】因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：
4．(23-24高一下·天津南开区第四十三中学·期中)已知复数（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由代入计算，结合是纯虚数即可求得，再由复数的模长公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由复数相等的定义，列出方程，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
所以，
且是纯虚数，则，解得，
所以，则，
所以.
（2）若，则，
所以，解得.
5．(21-22高一下·天津第四中学·期中)已知：复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1），则.
（2）由（1）得：，
，解得：.
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B．0 C．6 D．
【答案】D
【分析】化简复数，然后根据纯虚数定义即可解题.
【详解】，
因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选：D
2．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知，，则“”是“复数是实数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据复数的概念，即可得出答案.
【详解】若，则复数是实数；
若复数是实数，则.
所以“”是“复数是实数”的充要条件.
故选：C.
3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解.
【详解】由题意：，解得：，
所以，虚部为，
故选：C
4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知复数为纯虚数， 则________________；
【答案】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值.
【详解】因为，
又复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：
5．(24-25高一下·天津咸水沽第二中学·期中)已知复数，.（是虚数单位）
(1)若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若z是实数，求|z|的值.
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）首先写出复数的实部与虚部，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，再根据题意得到不等式组，解得即可；
（2）根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；
（3）根据虚部为零，得到方程，求出求出，从而得到；
【详解】（1）∵复数的实部为，虚部为，
在复平面内所对应的点的坐标为，
∵对应复平面上的点在第三象限，
∴，解得
∴
（2）∵是纯虚数，∴，
∴
（3）∵是实数， ∴，解得，
∴，则；
1．(24-25高一下·天津天华高级中学·)若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数运算得，利用共轭复数的定义和几何意义得解.
【详解】由，可得，则，
所以在复平面内对应的点在第二象限.
故选：B.
2．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知复数，则下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面上对应的点位于第一象限
【答案】C
【分析】根据复数的相关概念，即可判断选项.
【详解】由复数可知，，，的虚部为1，在复平面上对应的点为，位于第一象限，所以不正确的是C.
故选：C
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数乘法法则得到，根据复数类型得到方程，求出，故，，得到对应的点的坐标，求出所在象限.
【详解】，
复数为纯虚数，则，解得，故，
故复数，
故复数在复平面上对应的点坐标为，位于第四象限.
故选：D
4．(24-25高一下·天津河西区·期中)是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项.
【详解】复数对应的坐标为，在第三象限.
故选：C.
5．(24-25高一下·天津崇化中学·期中)已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
(1)求实数m的值；
(2)设复数，求；
(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值；
（2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模；
（3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．
【详解】（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
（2），
所以；
（3）因为，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
1．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简复数，然后根据虚部的概念解答即可.
【详解】已知，先将等式右边化简，．
则，
所以z的虚部是．
故选：A
2．(24-25高一下·天津南开中学·)若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应点在第一象限 B．的模为
C．的共轭复数为 D．复数的虚部为
【答案】D
【分析】根据复数的相关概念，逐项判断即可.
【详解】由复数满足，所以复数的实部为1，虚部也为1，
所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；
，故B正确；
的共轭复数为，故C正确；
复数的虚部为1，故D错误.
故选：D.
3．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部.
【详解】，则，故的虚部为.
故选：D.
4．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部.
【详解】由题意，得，所以的虚部为，
故选：B．
5．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用复数的除法化简，即可得虚部.
【详解】因为复数 ，则虚部为.
故选：D
1．(23-24高一下·天津河西区·期中)已知是关于的实系数方程的两个虚根，则___________．
【答案】
【分析】首先求出方程的两根虚根，再计算其模与和，从而得解.
【详解】因为，即，
所以，，
则，，
所以.
故答案为：
2．(24-25高一下·天津河西区·期中)复数范围内方程的根为___________.
【答案】
【分析】根据复数运算的性质，解方程即可.
【详解】由题意得，则.
故答案为：
3．(23-24高一下·天津红桥区·期中)已知复数，i为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得，即可求得；
（2）将z代入方程利用复数相等的概念即可求得.
【详解】（1）因为复数，
所以
（2）因为复数z是关于x的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
4．(22-23高一下·天津耀华中学·期中)设关于x的方程，若方程有实数根，求锐角和实数根．
【答案】锐角，实数根.
【分析】先将原方程化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0，列出方程组解出答案即可.
【详解】设方程的实数根为，则，
即，所以，解得，
又因为为锐角，所以.
所以锐角，实数根.
5．(23-24高一下·天津河西区·期中)已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数
(1)求和的值；
(2)若是纯虚数，求实数的值
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由为方程的根可知是方程的另一根，利用韦达定理可得结果；
（2）由复数乘法运算化简，由纯虚数定义可构造方程求得的值.
【详解】（1）是方程的根，是方程的另一根，
.
（2）由（1）知：；
是纯虚数，，解得：.
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专题02复数
8大高频考点概览
考点01 复数的四则运算
考点02 共轭复数
考点03 复数的模长
考点04 复数的相等求参数
考点05 已知复数类型求参数
考点06 复数与点坐标
考点07 复数的实部虚部问题
考点08 复数方程问题
1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)i为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知i是虚数单位，化简 的结果为_________.
4．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)若是虚数单位，则______．
5．(24-25高一下·天津部分区·期中)i是虚数单位，复数______．
1．(24-25高一下·天津第四十七中学·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津咸水沽第二中学·期中)设，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)已知复数， 那么复数 的共轭复数是___________________.
4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)复数的共轭复数是__________.
5．(24-25高一下·天津河北区·期中)已知i是虚数单位，复数的共轭复数是__________．
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．(24-25高一下·天津第一中学·期中)若，其中为虚数单位，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
3．(23-24高一下·天津红桥区·期中)若为虚数单位，则复数的模是______.
4．(24-25高一下·天津河西区·期中)是虚数单位，__________.
5．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)已知复数满足，则_____.
1．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知，，是虚数单位．若，则______．
2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)已知，是虚数单位，若，则等于________．
3．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知，其中，则____.
4．(23-24高一下·天津南开区第四十三中学·期中)已知复数（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若，求实数的值.
5．(21-22高一下·天津第四中学·期中)已知：复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数的值．
1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B．0 C．6 D．
2．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)已知，，则“”是“复数是实数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C．-3 D．3
4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知复数为纯虚数， 则________________；
5．(24-25高一下·天津咸水沽第二中学·期中)已知复数，.（是虚数单位）
(1)若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若z是实数，求|z|的值.
1．(24-25高一下·天津天华高级中学·)若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知复数，则下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面上对应的点位于第一象限
3．(24-25高一下·天津部分区·期中)i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(24-25高一下·天津河西区·期中)是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(24-25高一下·天津崇化中学·期中)已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
(1)求实数m的值；
(2)设复数，求；
(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
1．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·天津南开中学·)若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应点在第一象限 B．的模为
C．的共轭复数为 D．复数的虚部为
3．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
1．(23-24高一下·天津河西区·期中)已知是关于的实系数方程的两个虚根，则___________．
2．(24-25高一下·天津河西区·期中)复数范围内方程的根为___________.
3．(23-24高一下·天津红桥区·期中)已知复数，i为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
4．(22-23高一下·天津耀华中学·期中)设关于x的方程，若方程有实数根，求锐角和实数根．
5．(23-24高一下·天津河西区·期中)已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数
(1)求和的值；
(2)若是纯虚数，求实数的值
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