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专题02 三角函数与三角恒等变换
10大高频考点概览
考点01弧长公式、扇形面积公式
考点02三角函数的定义、诱导公式
考点03三角函数的性质
考点04由图像求解析式
考点05图像平移问题
考点06由性质求问题
考点07三角恒等变换
考点08三角函数与平面向量交汇问题
考点09三角函数应用
考点10三角恒等式综合问题
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是( )
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．的定义域是
C．是的一个周期 D．的图象关于点对称
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知函数，则（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．的值域为
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．为函数的一个对称中心
C．将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形
D．在上单调递增，则的取值范围为
三、填空题
4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的有______.
①，
②函数的图象关于直线对称
③若，则
④函数的最小正周期为，函数是奇函数
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．的解集为
D．方程在上有且只有三个相异实根
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数，若在区间上单调，则ω的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．若的图象关于点对称，则在上单调递增
C．在上的最小值不可能为
D．若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则
三、填空题
4．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)若两个锐角、满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知，则__________．
7．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知是方程的两个实数根，则______．
三、解答题
8．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于两点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求；
(2)求的值．
一、解答题
1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知向量，，，，且向量与共线．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
一、解答题
1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟．
(1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式；
(2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长；
(3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）
参考公式与数据：，，，．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是偶函数
B．是函数的一个零点
C．函数在上单调递增
D．在上的所有实根之和为
二、多选题
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知函数，其中且的周期为．若关于的方程在区间内有两个不同的根，，则下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴方程为，
B．的单调增区间为，
C．的取值范围是
D．的值为
三、解答题
3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知函数的最大值为3．
(1)若的定义域为，求的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
4．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值；
(3)若，，求的值．
5．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知函数，，的最小值为0．
(1)求实数m的值：
(2)当时，求的单调递减区间，并求成立时x的取值范围．
6．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知.
(1)若，，求的值；
(2)若在时的值域为，求的取值范围.
7．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离是，将图象上的每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数在区间（a，且）上至少有20个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值．
8．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)若当时，的值域为，求实数的取值范围．
(3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围．
9．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象.
(1)求函数和的解析式；
(2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围.
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专题02 三角函数与三角恒等变换
10大高频考点概览
考点01弧长公式、扇形面积公式
考点02三角函数的定义、诱导公式
考点03三角函数的性质
考点04由图像求解析式
考点05图像平移问题
考点06由性质求问题
考点07三角恒等变换
考点08三角函数与平面向量交汇问题
考点09三角函数应用
考点10三角恒等式综合问题
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·期中)羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．
【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，
设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即，
∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.
故选：C．
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积．
【详解】解：扇形的圆心角为，弧长为，
扇形的半径，
扇形的面积．
故选：B．
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案.
【详解】设，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，，
设扇形的面积为，则，即，
故，所以，即，
又，故，，
，
因为，所以，故，
综上，.
故选：B
二、填空题
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____
【答案】/0.6
【分析】利用诱导公式及三角函数定义求解即得.
【详解】依题意，．
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间上单调递减即可．
【详解】A: ，周期为，排除；
B: ,不具有周期性，排除；
C: ,周期为,在区间上单调递增，排除；
D: ,周期为,在区间上单调递减
故选D
2．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．的定义域是
C．是的一个周期 D．的图象关于点对称
【答案】D
【分析】A选项将和代入函数中即可判断；B选项利用正切函数的定义域可求解；C选项利用周期的定义进行判断；D选项借助函数的图象进行判断即可.
【详解】
对于A选项，，，
，故A正确；
对于B选项，要使有意义，则有，
的定义域是，故B正确；
对于C选项，，
是的一个周期，故C正确；
对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误.
故选：D.
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知函数，则（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．的值域为
【答案】ABD
【分析】利用偶函数的定义判断A，利用正弦函数的最小正周期判断B，利用“同增异减”判断C，利用换元法结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于选项A，对于任意的，，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
对于选项B，
因为，的最小正周期均为，
故的最小正周期是，故B正确；
对于选项C，
当时，，令，，，
因为在上单调递减，
而在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，时，单调递增，故C错误；
对于选项D，
时，
，
，即；
时，
，
，即，
故D正确.
故选：ABD.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据周期得出，再利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算即可.
【详解】由图象可得，解得：.所以，
所以，
由图象可知，函数的图象过点，
所以，即，
又因为点在函数的递减区间，
所以，解得：，
因为，所以.
所以，
所以，
故选：B.
二、多选题
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】ABD
【分析】对A，根据图像判断函数的周期求解即可；对BC，求得解析式后，根据函数性质求解即可；对D，根据三角函数图像平移的性质结合奇函数的定义判断即可.
【详解】对A，由的图象得，，，
所以，故，故A正确；
对B，由，得，即的单调递增区间为，
令，得，又，故B正确；
对C，因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；
对D，将的图象向左平移个单位长度，
得的图象，
显然为奇函数，故D正确．
故选：ABD
3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．为函数的一个对称中心
C．将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形
D．在上单调递增，则的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据函数图象求出函数的解析式，再逐项判断可得正确答案.
【详解】由图象可得，，所以，
此时，又，
所以，即，
又，所以，故，故A错误；
由，
所以为函数的一个对称中心，故B正确；
将的图象向左平移个单位长度，
得到，为偶函数，故C正确；
由，当时，，
由在上单调递增，则，解得，
所以的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的有______.
①，
②函数的图象关于直线对称
③若，则
④函数的最小正周期为，函数是奇函数
【答案】①③④
【分析】由图得，根据过点结合，求得，利用特殊点求得，判断①；根据即取不到最值判断②；结合已知根据二倍角余弦公式计算判断③；先求得，再根据奇函数的定义判断④.
【详解】由题意可得，又因为函数过点，
所以，所以，又因为，所以，
又函数的第二个关键点的坐标为，所以，解得，故①正确；
所以，由，
所以函数的图象不关于直线对称，故②错误；
若，则可得，所以，
，故③正确；
函数的最小正周期为，
，
所以，函数是奇函数，故④正确.
故答案：①③④.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据伸缩变换，以及平移变换，即可求得结果
【详解】把上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线的函数解析式为，
纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线．
故选：D．
2．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用方程求出三个连续交点，通过数形结合可知只需要满足，从而可求出.
【详解】先由与相交可得方程：，
整理得，
即，
不妨取，可得三个交点的横坐标分别为
把它们代入可得这三个交点的纵坐标分别为，
如图可得：要满足它们三个交点构成一个直角三角形，
则只需要，即，
故选：D.
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．的解集为
D．方程在上有且只有三个相异实根
【答案】ACD
【分析】将的图象变换后的函数的解析式写出来，依据为偶函数，且最小正周期为，可以求出与的函数解析式，再对选项逐一判断即可.
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，
因为的最小正周期为，所以，解得，即，
因为为偶函数，所以，解得，
又因为，当时，可得，
所以，.
对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确；
对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误；
对于C，由，得，即，解得，
所以的解集为，故C正确；
对于D，由，得，
即，
所以即
所以，解得，
又因为，所以，所以方程在上有3个相异实根，故D错误.
故选：ACD.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质，列式求解.
【详解】为偶函数，则，，取，则.
故选：D.
2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数，若在区间上单调，则ω的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由题意可得，利用周期求得，分类讨论求得
【详解】因为，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
当时，即时，函数在上单调递增，
因为，所以，
当，即，函数在上单调递减，
当，即（舍去），
故则ω的最大值是.
故选：C.
二、多选题
3．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．若的图象关于点对称，则在上单调递增
C．在上的最小值不可能为
D．若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则
【答案】BCD
【分析】由题意可得，求得即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得，函数与的图象在共9个交点，计算可判断D.
【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴，
因为，所以，所以，
所以，故A错误；
对于B：因为的图象关于点对称，则，
即，因为，所以，
当时，，则在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，因为，
所以，所以在上的最小值小于，故C正确．
对于D：因为的图象关于直线对称，则，
即，又，所以，所以，
令函数的根即为函数与的交点的横坐标，
作出图象如图所示，因为，，
要使有奇数个零点，则，
由，得，
函数与的图象在共9个交点，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
4．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______.
【答案】1
【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解.
【详解】由函数在区间内单调递增，
可得，且，解得，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式得出即可得出，最后利用两角和差的正切公式即可.
【详解】因，
则，
显然，则，
则.
故选：A
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦与切化弦可求得，进而利用两角和的余弦公式可求值即可.
【详解】因为，由，
可得，所以，
则．
故选：A．
3．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)若两个锐角、满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简得出，再利用两角和的余弦公式得出，结合诱导公式以及正弦函数的基本性质可得出，代入所求式计算即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
因为、为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为、为锐角，则，
因为，故，
因为，
因为，所以，且余弦函数在上单调递减，
所以有，即，
所以．
故选：B．
4．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解.
【详解】因为，
将式子的左右两侧同时除以，可得
，
即.
故选：D
5．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
【详解】依题意，，
解得，
.
故选：B
二、填空题
6．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知，则__________．
【答案】-2
【分析】根据正切和角公式计算出答案.
【详解】由已知得．
故答案为：-2
7．(24-25高一下·重庆第二十九中学·期中)已知是方程的两个实数根，则______．
【答案】/0.96
【分析】根据韦达定理以及正切的和差角公式可得，即可利用正弦二倍角公式以及相切互化齐次式求解.
【详解】因为是方程的两个实数根，
所以
因此
，
故答案为：
三、解答题
8．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于两点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角差的正弦公式，即可求解；
（2）首先利用角的变换求，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，，，，
所以，，
；
（2）由（1）可得，
，
，
又，所以，，，
所以.
一、解答题
1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期中)已知向量，，，，且向量与共线．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据向量与共线列式计算即可求出，进而求解；
（2）由（1）可求，根据模长公式列式计算即可.
【详解】（1）因为，，向量与共线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，，
所以
（2）由（1）知，，
所以，
解得或.
一、解答题
1．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟．
(1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式；
(2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长；
(3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）
参考公式与数据：，，，．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式；
（2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解；
（3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，
以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
设时，游客甲位于点，以为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约，
由题意可得，．
（2）在运行一周的过程中，由，则，
令，可得，
解得或者．
所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为．
（3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示，
不妨设点相对于始终落后，则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点相对于始终落后，此时距离地面的高度，
则甲、乙高度差，
利用，
可得，
当或，即或，
所以
，
则将参考数据，代入，
得，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
一、单选题
1．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是偶函数
B．是函数的一个零点
C．函数在上单调递增
D．在上的所有实根之和为
【答案】D
【分析】先将函数利用两角和的余弦公式和辅助角公式整理为，
A选项根据的图像变换和性质可判断A正确；
B选项由可得B正确；
C选项判断为函数的单调增区间的子集可得C正确；
D选项求出在的所有实根可得D错误.
【详解】
A选项：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，
故函数是偶函数，A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：因，
令，，
故，，
故函数在，，上单调递增，
当时，可得函数在上单调递增，
故C正确；
D选项：令，
得，
所以或，，
故或，，
故在上的所有实根为，其和为，
故D错误，
故选：D
二、多选题
2．(24-25高一下·重庆第八中学·期中)已知函数，其中且的周期为．若关于的方程在区间内有两个不同的根，，则下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴方程为，
B．的单调增区间为，
C．的取值范围是
D．的值为
【答案】AC
【分析】利用周期求出，再求出图象的对称轴方程可判断A；求出的单调递增区间可判断B；转化为在区间内有两个不同的根可判断C；转化为，是方程（其中，）在区间内有两个不同的解可判断D．
【详解】对于A，因为，所以，所以，
令，，解得，，
即图象的对称轴方程为，，所以A正确；
对于B，令，解得，所以B不正确；
对于C，关于的方程，
即，
即，即，
即在区间内有两个不同的根，，
，解得，即的取值范围是．所以C正确；
对于D，因为，是方程（其中，）在区间内有两个不同的解，
，，
当时，，可得，
．
当时，，即，
即，
所以，的值为．所以D错误．
故选：AC．
三、解答题
3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学·期中)已知函数的最大值为3．
(1)若的定义域为，求的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)单调递增区间为和
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果.
【详解】（1）将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
（2）由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
，
所以
.
4．(24-25高一下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)，．
(2)，， ，．
(3)
【分析】（1）将函数运用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，化成正弦型函数来解即可；
（2），所以在上单调递增，在上单调递减，运用单调性解题即可；
（3）由，得出，运用同角三角函数关系求出
，再运用和角公式求出即可．
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期，
由，，得，，
所以的单调递增区间为．
（2）因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以当时，，当时，．
（3）因为，所以，
又，则，则，
所以，
所以
．
5．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知函数，，的最小值为0．
(1)求实数m的值：
(2)当时，求的单调递减区间，并求成立时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，
【分析】（1）利用二倍角公式降次，再利用辅助角公式化简，即可求最小值；
（2）利用定义域得到相位的整体范围，再去判断递减区间，以及解不等所得到的范围.
【详解】（1）由
，
因为，的最小值为0，所以，
（2）当时，，
因为在区间上单调递减，
所以解不等式，得，
即当时，求的单调递减区间为，
由，
因为，所以满足不等式的条件得：，
解得.
6．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知.
(1)若，，求的值；
(2)若在时的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的余弦公式，结合二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，再利用平方关系求解即可.
（2）由，可得，根据值域为列不等式求解即可.
【详解】（1）
，
因为，则，因为，
所以，，.
（2）因为，所以，，
要使得在时的值域为，
则有，
解得.
7．(24-25高一下·重庆大足中学多校联考·期中)已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离是，将图象上的每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数在区间（a，且）上至少有20个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据相邻对称中心间的距离求出，然后根据图象的平移和奇函数求出，从而求出函数的解析式.
（2）首先根据定义域求出函数的范围，然后用一元二次函数的性质求解不等式，从而可求得的取值范围.
（3）首先求出让函数为0的的取值，然后求相邻零点间的间隔，进而可确定的最小值.
【详解】（1）因为函数图象的两相邻对称中心之间的距离为，
所以，所以，所以，
因此函数的解析式为.
根据题意，将函数图象平移后的函数，
因为为奇函数，，所以，所以.
因此函数的解析式为.
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以在上恒成立.
令，则不等式变为，
根据一元二次函数，其对称轴为，要使得不等式恒成立，则
，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）令，则，所以或者.
解得或者.
相邻两个零点的距离为或者.
所以函数在区间上至少有20个零点，19个间隔，若使最小，则
按10个和9个排列，那么此时的最小值为.
8．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)若当时，的值域为，求实数的取值范围．
(3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先分简解析式，根据已知条件求出周期，即可确定；
（2）根据的范围，可得，结合正弦函数的性质可得，求解即可；
（3）把函数在上有两个不同零点，转化为直线直线与函数在的图象有两个公共点，结合函数在上的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）依题意
又因为相邻两个对称轴之间的距离为，所以，所以，
所以，解得，因此.
（2）若，则，
当时，，
要使的值域为，则，解得，
所以实数解得的取值范围为．
（3）
由，所以，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数在的图象，如图所示，
由，得，函数在上有两个不同零点，
即直线与函数在的图象有两个公共点，有对称性可得，
此时，所以实数的取值范围是.
9．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象.
(1)求函数和的解析式；
(2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围.
【答案】(1)，.
(2)3
(3)
【分析】（1）由图象经过点，得到，再结合周期求得，再结合平移及对称即可求解；
（2）化简，再令，，转换成对任意的恒成立，进而可求解；
（3）由题意得到，
令，得到在上恰有三个实数根，，，通过对称性得到，，，进而可求解.
【详解】（1），
由题有，即，，则.
又因为相邻两条对称轴间的距离为，
所以，即，
所以，
向右平移个单位得：，
所以.
（2）
，
即，对任意的恒成立.
令，，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，有，则，
所以的最大值为3.
（3），即在上恰有三个实数根，，，且，
令，即在上恰有三个实数根，，，且.
由函数图象，有，
再由对称性有，，，
又因为，所以
，
即，所以.
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