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专题02 正弦定理、余弦定理
8大高频考点概览
考点01正弦定理
考点02余弦定理
考点03三角形周长与面积问题
考点04三角形解的个数问题
考点05三角形形状问题
考点06范围最值问题
考点07中线、角平分线、高线问题
考点08在实际生活中的应用
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用正弦定理，即可求解.
【详解】由正弦定理，得，解得，
故选：C.
2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解.
【详解】由正弦定理得，即，
所以，又因为，
所以角，所以，故或，
当时，，当时，，
故选：C
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，则______．
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角，计算可得，可求.
【详解】因为，所以由正弦定理可得．
又，所以，故．又因为，所以．
故答案为：.
二、多选题
4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若△ABC是锐角三角形，则
D．若，则△ABC是钝角三角形
【答案】ACD
【分析】对于A在中若，则，利用正弦定理即可判断，对于B由在单调递减，即可判断，对于C若△ABC是锐角三角形，则，即，利用正弦函数的单调性即可判断，对于D若，即，利用正弦函数的单调性得即可判断.
【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理有，故A正确；
对于B：由在单调递减，，所以，故B错误；
对于C：若△ABC是锐角三角形，则，所以，
又在单调递增，所以，故C正确；
对于D：若，则，又在单调递增，
所以，所以,所以是钝角三角形，故D正确；
故选：ACD.
5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）在锐角△ABC中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角得到，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D.
【详解】由正弦定理及，得，
即，，
整理得，又，，
所以，故，，A错误；
由，得，又△ABC为锐角三角形，
所以解得，B正确；
（当且仅当，即时取等号），C正确；
由，得，由正弦定理得：
即，
所以
.
又，所以，故，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
6．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)如图，在四边形中 ，．，， 则_______．
【答案】3
【分析】根据给定条件，由正弦定理直接求解即可.
【详解】在△ABC中，，，，，
，
由正弦定理得，得到，所以.
故答案为：
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）在△ABC中，，则（ ）
A． B． C． D．7
【答案】D
【分析】在△ABC中，直接利用余弦定理求解
【详解】在△ABC中，由余弦定理得：，
所以，
故选：D.
2．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）在△ABC中，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】利用余弦定理列方程，求解即得.
【详解】由余弦定理，，
即，解得.
故选：D.
3．(24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由得到，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为，，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：D.
4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
又因为，可得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
故选：B.
5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理化角为边化简可得，再结合余弦定理求即可.
【详解】由正弦定理和，可得，
所以，所以，
由余弦定理，可得，
因为，所以.
故选：B.
二、填空题
6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______．
【答案】/；/
【分析】连接，由已知结合余弦定理可得，，可填第一空；设，在中，有，利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式化简求解可填第二空.
【详解】连接，中，，，
由余弦定理得，
则，所以是等腰三角形，所以，
所以；
设，在中，，
所以是等腰三角形，在中，有，
所以，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以的最大值是.
故答案为：；.
三、解答题
7．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由余弦定理结合同角关系即可求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
又，．
（2）由余弦定理可得．
．
一、单选题
1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的正弦及正弦定理求出，进而利用正弦定理、余弦定理求出即可.
【详解】在△ABC中，由，得，而，则，
由，得，由正弦定理得，
则，，由正弦定理得，
由余弦定理得，整理得，
而，解得，所以的周长为18.
故选：B
二、多选题
2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)在△ABC中，，，，则（ ）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．△ABC外接圆的直径是
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质求出，再利用余弦定理求出，接着根据正弦定理求出外接圆直径，然后求出，最后根据三角形面积公式求出三角形面积，再结合大边对大角判断角的范围，从而对各选项进行判断.
【详解】已知，因为是三角形内角，即，
根据三角函数平方关系，可得：
根据余弦定理，
已知，，，代入可得：，
所以.
根据正弦定理，可得，
将，，代入可得：
，所以选项正确.
因为，根据大边对大角可知，又因为，
且是三角形内角，所以，那么，
同时，所以选项错误.
根据三角形面积公式，将，，代入可得：
，所以C选项错误.
根据正弦定理（为外接圆半径），
可得外接圆直径，所以选项正确.
故选：AD.
三、解答题
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，△ABC的面积，求△ABC的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由，求得，结合余弦定理，得到，进而求得△ABC的周长.
【详解】（1）解：因为，可得，
即，
由正弦定理得，即，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为△ABC的面积，可得，可得，
又因为，由余弦定理，
可得，所以，
则，所以，
所以△ABC的周长为.
4．(24-25高一下·内蒙古包头第一中学·期中)在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形周长.
【详解】（1）由，得，
在△ABC中，由余弦定理，得，又，
所以.
（2）由，解得，，
由余弦定理，得，解得，
所以△ABC的周长为.
5．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）如图，在四边形中，的面积为．
(1)求的长；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先根据的面积，利用三角形的面积公式，求出，再利用余弦定理求.
（2）在中，先利用正弦定理求的长，再利用三角形面积公式求面积.
【详解】（1）由题意得，
由余弦定理得．
（2）在中，由余弦定理得，
，
在中，，
由正弦定理
，
的面积为．
6．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，且.
(1)求.
(2)设△ABC的面积为，且.
①求的值；
②求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)①；②△ABC的面积为
【分析】（1）由正弦定理结合辅助角可求出，进而可求出角A的大小；
（2）①利用余弦定理即可求出的值. ②由三角形的面积公式，结合余弦定理可求得的值，进而可求面积.
【详解】（1）由及正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以．所以，所以，
因为，所以，所以，所以．
（2）①由，可得，
所以；
②由，可得，
由（1）知，则，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，解得或（舍去），
所以△ABC的面积为.
一、单选题
1．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在△ABC中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.
【详解】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.
故选：C.
2．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得.
【详解】依题意，，即，由，得，
所以的取值范围是.
故选：C
3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）已知△ABC的内角的对边分别为，且△ABC有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件△ABC有两解，计算求参.
【详解】因为△ABC有两解，
得，得．
故选：B.
二、多选题
4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若△ABC不存在，则a的取值范围为
B．若存在唯一△ABC，则a的取值范围为
C．若存在两个符合条件的△ABC，则a的取值范围为
D．若△ABC为锐角三角形，则a的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出，再利用正弦定理逐项分析判断.
【详解】在△ABC中，由及正弦定理，
得，而，则，
由正弦定理得，
对于A，由△ABC不存在，得，解得，A正确；
对于B，当时，，，△ABC唯一，B错误；
对于C，存在两个符合条件的△ABC，则且，解得，C正确；
对于D，当时，，则，，△ABC为钝角三角形，D错误.
故选：AC
三、填空题
5．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，，若△ABC有两解，则的一个可能整数值为_______ .
【答案】/
【分析】根据正弦定理可得，由△ABC有两解可得，根据不等式的性质即可求解.
【详解】由正弦定理及题中条件可得.
∵△ABC有两解，∴，即，
∴，即.
∴的一个可能整数值为（或）.
故答案为：（或）.
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
故选：A.
2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角所对的边分别为，若，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论.
【详解】由，利用正弦定理，，
即，因，则或（不合题意舍去），
故△ABC一定是等腰三角形.
故选：B.
二、多选题
3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）对于△ABC有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则△ABC为钝角三角形
B．在△ABC中，若，则△ABC必是等腰三角形
C．在锐角△ABC中，不等式恒成立
D．若，且△ABC有两解，则的取值范围是
【答案】AC
【分析】A将化为，再利用正弦定理和余弦定理化简；B利用角的范围以及正弦函数图象即可；C利用以及正弦函数的单调性；D画出图形，数形结合.
【详解】，则，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角为钝角，故A正确；
，则，由可得或，即或，故B错误；
锐角有，因，则，由于在上单调递增，则，故C正确；
由图可知，欲使有两解，则，故D错误.
故选：AC
4．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC为等腰三角形
B．若，， ，则△ABC有两解
C．若，则△ABC为钝角三角形
D．若，则
【答案】BCD
【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论.
【详解】对于A：，由正弦定理得，即，
由于A、B为三角形的内角，∴或，
即或，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B：∵，，，由正弦定理得，，即，
， ，
，
若 ，B是锐角，则 ，
C是钝角，
若 ，B是钝角， ，C是锐角，
故B有两角，故B正确；
对于C：若，∵，
，
，
∴，，中必有一个值为负，
即A，B，C中必有一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D：，由正弦定理得：，
即，即，
∵，∴，即，∵，∴，故D正确；
故选：BCD．
5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则△ABC一定是等腰三角形
B．若，则△ABC是等腰或直角三角形
C．若，则△ABC一定是等腰三角形
D．若，且，则△ABC是等边三角形
【答案】ABD
【解析】A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；
B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；
C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；
D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【详解】A．因为，所以，
所以，所以，所以，所以△ABC为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以△ABC为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以△ABC为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以△ABC为等边三角形，故正确.
故选：ABD.
三、解答题
6．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，△ABC的面积为，求的值；
(3)若，判断△ABC的形状.
【答案】(1)；
(2)；
(3)△ABC为正三角形.
【分析】（1）已知条件利用余弦定理可求得角的大小；
（2）由面积公式求得，又，代入余弦定理求的值；
（3）将代入已知等式中得，又，可得△ABC的形状.
【详解】（1）在△ABC中，已知，即，
由余弦定理得，而，所以.
（2）因为，所以，
又，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以△ABC为正三角形.
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在锐角△ABC中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由余弦定理化简所求式，再利用换元法令结合复合函数的单调性可得.
【详解】因为，，
则，化简可得，
所以，
令，则，
因为，由正弦定理可得，
又在三角形中，，
由上两式可得，即，
又在锐角三角形中，所以，
所以，解得，
即，则，
又，则，所以，
所以目标表达式可化为，易得在时为递增函数，
所以，
又，
所以的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．△ABC周长的最大值为 D．△ABC面积的最大值
【答案】ACD
【分析】由已知结合正弦定理可检验A、B；结合余弦定理及基本不等式可检验C；结合三角形面积公式可检验D.
【详解】由正弦定理，，代入数据解得，故A正确；
由余弦定理，，
解得或，故B错误；
由余弦定理：，
因为，
当且仅当时，，故三角形的周长的最大值为，
故C正确；
△ABC面积，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD.
三、解答题
3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
(1)求c；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将转化为，即可求出答案；
（2）利用正弦定理，将转化为，再根据三角形内角和得出，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出，再由△ABC为锐角三角形得出角的范围，即可的取值范围．
【详解】（1）解：，
，即，，
又，，，
，
，
，即，
，解得．
（2）解：由正弦定理得，，
，，
，
， ，
则
，
△ABC为锐角三角形，
，
，
，
，
即．
4．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中)锐角三角形△ABC的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求△ABC的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解；
（2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据△ABC为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，所以，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，可得，所以，
所以，可得.
（2）由正弦定理可得，
所以，
则
，
因为△ABC为锐角三角形，可得，解得，
可得，所以，则，
即，所以△ABC的周长，
所以△ABC的周长的取值范围为.
5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）△ABC的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为△ABC外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求△ABC的面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解；
（2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以，所以，因为△ABC为锐角三角形，所以；
（2）因为，，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由可得，所以，所以，
所以，即.
7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知角A，B，C是△ABC的三个内角，向量，，且.
(1)求A；
(2)若，求△ABC面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用数量积的坐标运算、逆用和角的余弦公式求解.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用三角形面积公式求出范围.
【详解】（1）在△ABC中，向量，，由，
得，解得，
而，所以.
（2）由（1）知，，而，
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
因此，，
所以△ABC面积的取值范围为.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：，
因为，
即，解得.
故选：D.
二、多选题
2．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）在△ABC中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【答案】AD
【分析】对A，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到，再利用二倍角的余弦公式即可判断A；对B，直接根据即可求出；对C，利用三角形面积公式即可证明角平分线定理；对D直接利用三角形面积公式即可判断.
【详解】对A，由余弦定理得，即，
所以，又，为三角形内角，
所以，，解得（负舍）.
在中，，故A正确；
对B，在中，，代入，解得.故B错误；
对C，，解得，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________．
【答案】/
【分析】设，利用三角形面积得到方程，求出，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，利用三角形边上的中线的向量表示，利用平面向量数量积公式求出向量的模长即可．
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，
因为，点为线段的中点，
所以，
，
，
故答案为：．
四、解答题
4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角；
（2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积．
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以；
（2）因为角的角平分线交于点，
所以，
因为，所以由，得
，
所以，
由余弦定理得，所以，
所以，解得或（舍去），
所以，解得，
所以，
因为角的角平分线交于点，所以，
因为，所以，
所以.
5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，D为AC边的中点，求BD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合三角恒等变换化简可得，解方程即可求解；
（2）由余弦定理可得，再根据，两边完全平方即可求解.
【详解】（1）因为，
，
所以，解得或，
因为，所以；
（2）由余弦定理得，
解得或，因为，所以，
由得，
所以，
所以.
6．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若△ABC外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且△ABC的角平分线，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件.
（3）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果.
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（3）因为BD是△ABC的角平分线，则，
所以△ABC的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
7．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知△ABC的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若△ABC的垂心为（在△ABC的内部），直线与交于点，且，当最大时，求．
【答案】(1)
(2)10
(3)
【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求；
（2）由(1)中的结论可求得，根据结合，运用均值不等式的结论可求面积的最大值；
（3）根据为△ABC的垂心求得，利用正弦定理求得，，结合辅助角公式可求其取最大值时的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即．
由余弦定理得．
（2）由，得．
由（1）可得，得，
当且仅当时，等号成立，
所以．故△ABC面积的最大值为10．
（3）如图，设．
在中，．
在中，由，
得．
在中，，
由正弦定理得，得，
所以，
其中．
当时，取得最大值，此时，
得．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可求答案.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理可得，即，
因为点C测得塔顶A的仰角为，所以.
故选：C
2．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用余弦定理即可.
【详解】在△ABC中，,
所以：
,
所以
故选：D
3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得.
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得，则，
在中，，则，
在中，，则，又，
因此，，
所以碧津塔高约为38.23米.
故选：B
4．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可.
【详解】，，
，，，
，
在中，米.
在中，由正弦定理得米.
在中，由余弦定理得：
，
米.
故选：D.
二、填空题
5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为______m．
【答案】140
【分析】根据余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】在中，
由余弦定理，得，
所以．
在中，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：
三、解答题
6．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：）
【答案】海里/时，北偏东
【分析】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的△ABC，设乙船速度为海里/时，根据图形运用余弦定理可得到的关系式，从而求出；再结合正弦定理，计算算出的大小即可得到乙船的航行方向.
【详解】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的△ABC，设乙船速度为v海里/时，如图.
在中，由余弦定理可知：，
即，解得.
又由正弦定理可知，
∴，∴，
即乙船应按北偏东的方向，以21海里/时的速度航行.
7．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
【答案】(1)
(2)2小时
【分析】（1）在中利用正弦定理，求出；
（2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间．
【详解】（1）由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
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专题02 正弦定理、余弦定理
8大高频考点概览
考点01正弦定理
考点02余弦定理
考点03三角形周长与面积问题
考点04三角形解的个数问题
考点05三角形形状问题
考点06范围最值问题
考点07中线、角平分线、高线问题
考点08在实际生活中的应用
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，则______．
二、多选题
4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若△ABC是锐角三角形，则
D．若，则△ABC是钝角三角形
5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）在锐角△ABC中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
三、填空题
6．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)如图，在四边形中 ，．，， 则_______．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）在△ABC中，，则（ ）
A． B． C． D．7
2．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）在△ABC中，，则（ ）
A． B． C． D．或
3．(24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______．
三、解答题
7．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
一、单选题
1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
二、多选题
2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)在△ABC中，，，，则（ ）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．△ABC外接圆的直径是
三、解答题
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，△ABC的面积，求△ABC的周长.
4．(24-25高一下·内蒙古包头第一中学·期中)在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.
5．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）如图，在四边形中，的面积为．
(1)求的长；
(2)若，求的面积．
6．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，且.
(1)求.
(2)设△ABC的面积为，且.
①求的值；
②求△ABC的面积.
一、单选题
1．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在△ABC中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
2．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）已知△ABC的内角的对边分别为，且△ABC有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若△ABC不存在，则a的取值范围为
B．若存在唯一△ABC，则a的取值范围为
C．若存在两个符合条件的△ABC，则a的取值范围为
D．若△ABC为锐角三角形，则a的取值范围为
三、填空题
5．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，，若△ABC有两解，则的一个可能整数值为_______ .
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角所对的边分别为，若，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
二、多选题
3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）对于△ABC有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则△ABC为钝角三角形
B．在△ABC中，若，则△ABC必是等腰三角形
C．在锐角△ABC中，不等式恒成立
D．若，且△ABC有两解，则的取值范围是
4．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC为等腰三角形
B．若，， ，则△ABC有两解
C．若，则△ABC为钝角三角形
D．若，则
5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则△ABC一定是等腰三角形
B．若，则△ABC是等腰或直角三角形
C．若，则△ABC一定是等腰三角形
D．若，且，则△ABC是等边三角形
三、解答题
6．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，△ABC的面积为，求的值；
(3)若，判断△ABC的形状.
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在锐角△ABC中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．△ABC周长的最大值为 D．△ABC面积的最大值
三、解答题
3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
(1)求c；
(2)求的取值范围．
4．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中)锐角三角形△ABC的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求△ABC的周长的取值范围.
5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）△ABC的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求△ABC的面积S的取值范围．
7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知角A，B，C是△ABC的三个内角，向量，，且.
(1)求A；
(2)若，求△ABC面积的取值范围.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
2．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）在△ABC中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
三、填空题
3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________．
四、解答题
4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，D为AC边的中点，求BD的长．
6．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若△ABC外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且△ABC的角平分线，求．
7．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知△ABC的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若△ABC的垂心为（在△ABC的内部），直线与交于点，且，当最大时，求．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）

A． B． C． D．
2．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（ ）．
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
4．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为______m．
三、解答题
6．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：）
7．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
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