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专题03 平面向量数量积
10大高频考点概览
考点01平面向量数量积定义
考点02平面向量数量积模长问题
考点03平面向量数量积夹角与垂直问题
考点04平面向量数量积投影、投影向量问题
考点05平面向量数量积建系法
考点06平面向量数量积基底法
考点07平面向量数量积几何意义
考点08极化恒等式
考点09四心
考点10平面向量数量积几何法
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）已知向量，，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
2．(24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中)已知点，，为坐标原点，向量，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知非零向量，满足，则______.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．(24-25高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知平面向量，满足，，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量满足，，且，，则______．
4．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________.
5．（24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______.
6．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________.
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）已知向量，，，且，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市二中·期中)已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)对于平面向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则，的夹角为锐角
C．若，，，可能垂直
D．若，则
8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知向量，，设与的夹角为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与的夹角为60° D．若与垂直，则
9．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
三、填空题
10．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
11．(24-25高一下·辽宁省东北育才中学·期中)已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
12．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区·期中)已知向量的夹角为，且，则__________.
四、解答题
13．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
14．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)已知平面向量满足，且．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值．
15．(24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中)已知向量
(1)若 ，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
16．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量满足，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)已知，求实数的取值范围．
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知向量，，且与的夹角是，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．2
4．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知向量，则在上的投影向量的数量为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中）已知，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（ ）
A．5 B．1 C． D．
二、多选题
8．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）已知向量，，，则（ ）
A．在上的投影数量是 B．在上的投影向量是
C．与夹角的正弦值是 D．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)如图，在直角梯形中，，，，，动点从顶点出发，以每秒1个单位的速度在梯形的边上沿着的路线运动到点处则停止，当运动时间为秒时，令，则（ ）
A．的定义域为 B．
C．的最大值为5 D．有5个单调区间
三、填空题
3．（24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中）如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______．
4．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则_________．
一、单选题
1．（24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________．
三、解答题
4．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中.
(1)当时，求的值；
(2)求的取值范围.
5．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)如图，在四边形中，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若与相交于点，，，，求．
6．(24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中)在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
(1)已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
(2)若，求的值．
7．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记．
(1)若点为中点，求与的值；
(2)若点为中点，且，求与的值；
(3)若，求的取值范围．
8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
9．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）如图所示，在平行四边形中，，记.
(1)用向量表示向量和；
(2)若，且，求.
10．(24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中)如图，在菱形ABCD中，，．与交于点.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁省朝阳市建平实验中学·期中)《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)如图所示，线段是的弦，其中，点为上任意一点，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．当时， D．的最大值是36
一、单选题
1．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．(24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中)极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题.
1.极化恒等式：，公式推导：；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；
3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由.
(1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；
(3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值.
一、单选题
1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知的外心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则的取值范围为
C．与不共线
D．若，则
3．（24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若 为锐角，则实数 的取值范围是
B．已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为
C．点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则
D．点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心
4．（24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知向量，满足，在方向上的投影数量为2，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)设向量，，满足，，，则的最大值为________．
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专题03 平面向量数量积
10大高频考点概览
考点01平面向量数量积定义
考点02平面向量数量积模长问题
考点03平面向量数量积夹角与垂直问题
考点04平面向量数量积投影、投影向量问题
考点05平面向量数量积建系法
考点06平面向量数量积基底法
考点07平面向量数量积几何意义
考点08极化恒等式
考点09四心
考点10平面向量数量积几何法
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）已知向量，，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】应用平面向量数量积坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，，所以.
故选：C.
2．(24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中)已知点，，为坐标原点，向量，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到.
【详解】设，则，，
∵，∴，解得，即，
∴.
故选：A.
二、填空题
3．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知非零向量，满足，则______.
【答案】0
【分析】先由可得，再用数量积的运算法则即可求解.
【详解】解：因为非零向量，满足，
则，所以，
则.
故答案为：0.
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题.
【详解】由向量、的夹角为，，，得出.
则 .
故选：C
2．(24-25高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知平面向量，满足，，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由向量的坐标得出，再利用得出，再代入中即可求解.
【详解】，，
，，即，，
，
故选：D.
二、填空题
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量满足，，且，，则______．
【答案】//
【分析】利用向量移项，两边向量的平方，结合数量积的运算律，即可得数量积，最后可求得结果.
【详解】由得：，两边平方得：；
由得：，两边平方得：；
由得：，两边平方得：；
所以
故答案为：
4．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________.
【答案】4
【分析】先计算，，，再利用求模公式计算.
【详解】由题意可得，
，
，
则
.
故答案为：4.
5．（24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______.
【答案】
【分析】首先确定向量的夹角为，再根据数量积的运算律，即可求解.
【详解】由题意可得向量，，两两的夹角为，则，，，
所以，故.
故答案为：
6．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________.
【答案】
【分析】可先对两边平方，根据二次函数性质得到与的关系，再利用向量模长公式和基本不等式求解的最大值.
【详解】已知，两边平方可得.
展开得.
移项整理得.
因为对于，上式恒成立，所以二次函数的判别式.
即，进一步化简得，即.
因为一个数的平方是非负的，所以，即.
可得.
将代入上式得.
令，设（），，令.
将变形为.
由基本不等式（当且仅当时等号成立），这里，，则.
所以，即，当且仅当，时取等号.
故最大值是.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先， ，，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，，
所以， ，，
所以.
故选：D
2．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得到方程，解出即可.
【详解】因为，则，即，解得.
故选：D.
3．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）已知向量，，，且，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由，可得，再根据数量积的运算律和坐标公式计算即可.
【详解】因为，所以，
即，
所以，解得.
故选：C.
4．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市二中·期中)已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先算，求得，再利用向量夹角余弦公式，求得，进而得到与的夹角.
【详解】，所以，
，又，
所以.
故选：D.
5．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求解.
【详解】向量，由，的夹角为钝角，得且不共线，
则，解得且，
所以的取值范围为.
故选：D
6．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用模的平方就是向量的平方，再借助向量数量积的运算，从而转化为一元二次不等式恒成立，则利用判别式就可以求解.
【详解】因为单位向量，，所以由平方得：
，
又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立，
则满足，
此时只能满足，即，
因为，所以，
故选：B.
二、多选题
7．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)对于平面向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则，的夹角为锐角
C．若，，，可能垂直
D．若，则
【答案】ACD
【分析】选项A，利用向量垂直的定义，数量积为0即可判定；选项B，数量积大于0时，向量夹角的余弦值为正，但要注意夹角为时，不属于锐角；选项C，通过计算数量积为0时，是否有解，即可判断；选项D，展开左边的式子，得，即，可得，选项D正确.
【详解】对于A项，若，则，故A项正确；
对于B项，若，则，的夹角为锐角或，故B项错误；
对于C项，，令，则，显然有解，故C项正确；
对于D项，，所以，所以，故D项正确.
故选：ACD.
8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知向量，，设与的夹角为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与的夹角为60° D．若与垂直，则
【答案】AD
【分析】根据平面向量的坐标表示，依次判断各项正误.
【详解】由可得，解得，故A正确；
若，则，，则，故B错误；
当时，，，故C错误；
，，则，解得，故D正确．
故选：AD.
9．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据向量的数量积判断A，根据向量平行的坐标表示判断B，根据向量模的坐标表示判断C，根据向量的夹角公式及数量积判断D.
【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B错误；
对于C，，则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，
由，得，由得，
所以的取值范围为，故D错误．
故选：AC．
三、填空题
10．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
【答案】
【分析】由，且与不共线,即可求解.
【详解】由题意有，又与不共线，所以，
所以，
故答案为：.
11．(24-25高一下·辽宁省东北育才中学·期中)已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.
【详解】因为，且与的夹角为锐角,
所以，且，解得且，
所以实数的范围是.
故答案为：.
12．(24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区·期中)已知向量的夹角为，且，则__________.
【答案】2
【分析】根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知向量的夹角为，且，
故，
即，则，
故答案为：2
四、解答题
13．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由向量坐标运算，利用向量平行的坐标公式，建站方程解得参数，根据模长公式，可得答案；
（2）由向量数量积的定义以及运算律，利用垂直向量，可得答案.
【详解】（1）因为，
且与平行，所以，解得，所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，所以，
因为与垂直，所以
所以．
14．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)已知平面向量满足，且．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律即可求解；
（2）根据平面向量夹角余弦的公式计算即可．
【详解】（1），整理得．
（2），，
．
15．(24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中)已知向量
(1)若 ，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；
（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；
（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.
【详解】（1）因为向量，且 ，
所以，解得，
所以.
（2）因为，且，
所以，解得.
（3）因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
16．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量满足，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)已知，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值；
（2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围.
【详解】（1）计算，可得.
已知，则.
可得.
所以.
又.
根据向量夹角公式，可得.
（2）根据向量运算的分配律展开：
可得：
将，，代入上式可得：
求解不等式.
移项可得，即.
解得.
即的取值范围为.
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知向量，，且与的夹角是，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由与的夹角是结合题意可得，然后由投影向量计算公式可得答案.
【详解】因与的夹角是，则，
则，则，则在方向上的投影向量是：
.
故选：D
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量公式可求投影向量的坐标.
【详解】向量在方向上的投影向量为，
故选：A.
3．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用投影数量的定义来求解即可.
【详解】由题得在上的投影的数量为.
故选：B
4．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算法则求得，利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，可得，
则向量在向量方向上的投影为．
故选：C.
5．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知向量，则在上的投影向量的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用投影向量的数量的意义求解即得.
【详解】向量，则，
所以在上的投影向量的数量为.
故选：C
6．（24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中）已知，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义，结合数量积的坐标运算求解.
【详解】根据题意，，
所以在方向上的投影向量.
故选：A.
7．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直时数量积为0，可求得，进而可求得投影的数量.
【详解】因为，所以，
因为，可得，所以，
所以在方向上的投影的数量为.
故选：A.
二、多选题
8．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）已知向量，，，则（ ）
A．在上的投影数量是 B．在上的投影向量是
C．与夹角的正弦值是 D．
【答案】AD
【分析】由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断.
【详解】因为，，，
所以，，
即，所以，
对于A，在上的投影数量是，故A正确；
对于B，在上的投影向量是，故B错误；
对于C，，所以，
故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：AD
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁普通高中·期中)已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可.
【详解】由，可建立如图所示平面直角坐标系，
设 ，，，， ，
则 ，，， ，
所以 ， ，
则
，
故，
所以 ．
故选：D
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)如图，在直角梯形中，，，，，动点从顶点出发，以每秒1个单位的速度在梯形的边上沿着的路线运动到点处则停止，当运动时间为秒时，令，则（ ）
A．的定义域为 B．
C．的最大值为5 D．有5个单调区间
【答案】AC
【分析】计算出点所走的总路程，即可得到的取值范围，即可判断A；以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，结合图形，可以得到，，不同区间的函数的解析式及图象，从而求出的值及的值域，得到的单调区间，即可判断B，C，D.
【详解】由题意可得，所以点所走的总路程为，
所以，故A正确；
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，其中，
则，，，，
设，则，，
所以.
如图所示：
①当时，，，所以，
即，故B错误；
②当时，，，
所以
③当时，，，
所以.
综上，可知，故C正确；
且在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
共4个单调区间，故D错误.
故选：AC
三、填空题
3．（24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中）如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】建立坐标系，写出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算即可.
【详解】解：以为坐标原点， 所在直线为轴建立直角坐标系，则，
设，则，
因此.
故答案为：.
4．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则_________．
【答案】
【分析】用、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意，
，
所以
.
故答案为：
一、单选题
1．（24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解.
【详解】由条件可知，，
则，即，则，
，
所以，
.
故选：D
2．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用转化法求得数量积，即可得最值.
【详解】
如图所示，易知，，，
过点作于点，则四边形为矩形，
则 ，
又，
所以，
即的最大值为，
故选：C.
二、填空题
3．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________．
【答案】
【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得.
【详解】在中，由，得，则，
令，又D是的中点，则，
而共线，因此，解得，所以；
，于是，所以.
故答案为：；
三、解答题
4．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中.
(1)当时，求的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出，再结合平面向量基本定理将和用表示，然后利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）根据题意结合平面向量基本定理将和用表示，然后化简计算，再结合可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，，
因为在平行四边形中，，
所以，，
因为，，
所以
；
（2）因为，，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
得，
所以的取值范围为.
5．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)如图，在四边形中，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若与相交于点，，，，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三角形法则即可求解；
（2）由向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1），
；
（2）由图可知得夹角即为，
，
，
所以.
6．(24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中)在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
(1)已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】（1）利用三角形中线向量得，再利用向量的线性运算得，然后利用平面向量数量积的运算性质可求出；
（2）设，则，由得，再利用三点共线，利用向量线性运算得，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以 .
（2）设，则，所以，又，所以，
由（1）知，所以，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又，所以，解得，
所以.
7．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记．
(1)若点为中点，求与的值；
(2)若点为中点，且，求与的值；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先使用将表示出来，然后再将使用线性表示出来，即可求得的值.
（2）将使用表示出来，然后利用即得到再根据三点共线得，故联立从而求解得到
（3）将使用线性表示，再利用使用数量积等于零，得到等式，分离常数后结合单调性可求取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，∴.
（2）∵，∴，
又∵，∴
……①
又∵，其中，
∴，∴……②，联立①②，解得．
（3）由（2）可知，，
其中，，
∴，
∵，∴．
∴，
∴，
∵，∴在单调递减，
∴，
又∵，∴的取值范围为．
8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期中）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；
（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；
（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以.
（2）由（1）可知，，
由，则，
，
可得，解得.
（3）由图可得，
，
，
由，则.
9．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）如图所示，在平行四边形中，，记.
(1)用向量表示向量和；
(2)若，且，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得；
（2）将两边平方，联立求出，，再由向量夹角公式可得.
【详解】（1）由向量加法的平行四边形法则得，
又，所以，所以，
解得.
.
（2）因为，，
所以①，
又②，
联立①②解得，，
所以.
10．(24-25高一下·辽宁省沈阳市郊联体·期中)如图，在菱形ABCD中，，．与交于点.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算，以为基底表示出，由此求得，从而求得.
（2）首先求得，以为基底表示出，求得，进而求得.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，，
故．
（2）延长交的延长线于点，
∵在菱形ABCD中，是的中点，
∴，
∴，
∵在菱形ABCD中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ABCD为菱形，∴，
∴，
∴．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁省朝阳市建平实验中学·期中)《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围．
【详解】延长交于点，延长交于点，
如图所示：
根据正八边形的特征，可知，
又，
所以，
，
则的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)如图所示，线段是的弦，其中，点为上任意一点，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．当时， D．的最大值是36
【答案】AB
【分析】利用向量的三角形不等式判断A；利用向量数量积的几何意义、性质求解判断BCD.
【详解】对于A，，当且仅当共线时取等号，A正确；
对于B，过作于，交于，则是中点，，
，B正确；
对于C，当时，，解得，
由选项B知，，此时点与之一重合，
当点与重合时，，，
当点与重合时，，，C错误；
对于D，，
当且仅当与同向共线时取等号，D错误.
故选：AB
一、单选题
1．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
2．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则设点的坐标为，然后化简计算，再根据正弦函数的性质可求出其最小值.
【详解】因为在中，，
所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
所以设点的坐标为，
所以，，，
所以
（其中），
所以当时，取得最小值.
故选：D
二、解答题
3．(24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中)极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题.
1.极化恒等式：，公式推导：；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；
3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由.
(1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；
(3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由极化恒等式即可求解；
（2）连接，根据三角形模式可得，即可求解；
（3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解.
【详解】（1）.
由极化恒等式可得：.
（2）如图，连接.
因为，，
所以.
因为正八边形内切圆的半径为，，
所以.
因为，所以，所以，
即的取值范围是.
（3）令（其中），
则三点共线（如图），
从而的几何意义表示点到直线的距离为，
这说明是等边三角形，为边上的高，故.
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离.
即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值.
一、单选题
1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.
【详解】如图，由知O为的中点，
又∵O为的外接圆圆心，
又
为正三角形，，
在上的投影向量为.
故选：A.
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知的外心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则的取值范围为
C．与不共线
D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件，利用数量积的运算律，即可求解；对于B，建立坐标系，从而有，，，，结合条件可得，根据三角函数的性质，即可求解；对于C，计算可得，即可判断；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据已知可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可.
【详解】对于A，由，可得，
所以，即，又，
则，得到，故A正确，
对于B，如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
连接，设圆的半径为，且交轴正半轴于，
因为，则优弧所对圆心角，所以，
则，，设，使，
则，
因为，所以，
得到，，
所以，，
又，所以，则，所以选项B正确，
对于选项C，因为
，
所以与垂直，
又因为，所以与共线，故C错误；
对于D，因为H为的垂心，则，即，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
，则，又，
所以，则，
，
又，则，所以D正确.
故选：ABD.
3．（24-25高一下·辽宁省沈阳市回民中学·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若 为锐角，则实数 的取值范围是
B．已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为
C．点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则
D．点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心
【答案】BCD
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的数量积的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】解：对于A：因为，，，
所以，
，
因为为锐角，所以，解得，
当，即时，故且，故A错误；
对于B：不妨设、，设，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，所以，故B正确；
对于C：因为，取的中点，
则，
所以为的中点，连接，因为是的中点，所以，
是的中点，所以，，
所以，故C正确；
对于D：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上，
，可得，所以在的平分线上，
则点是的内心，故D正确．
故选：BCD
4．（24-25高一下·辽宁大连育明高级中学·期中）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据为的重心得出，然后由，即可判断A,根据向量的线性运算即可求解B．
根据为外心及向量数量积的计算公式可求出和，从而可求出的值，可判断C的正误；根据，及可判断D的正误.
【详解】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，
根据重心的性质可知：
，D错误；
，C正确；
为的重心， ， ，A正确，
由于,所以,故B错误，
故选：AC．
三、填空题
5．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________.
【答案】9
【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值.
【详解】
如图所示：取的中点为，则，
所以，
所以
，
所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）.
故答案为：9
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知向量，满足，在方向上的投影数量为2，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.
【详解】设，向量的夹角为，则，则，
因为，所以，，
不妨设，，设，
则，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，
又，即，
当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，
即.
故选：C.
2．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)设向量，，满足，，，则的最大值为________．
【答案】；
【分析】如图，设，由题可得终点C所在图形，据此可得答案.
【详解】如图，设，由题可得，，
取AB中点为D，过D做AB垂线，在垂线上取点E，F，使，
从而可使，再以E，F为圆心，为半径作圆，
则当一点G分别在两圆优弧上时，.
注意到，则，即终点C在两圆优弧上.
由图可得，当C在圆E优弧上，且C，E，O三点共线时最大.
则.
故答案为：
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