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专题03 复数
7大高频考点概览
考点01复数四则运算
考点02共轭复数
考点03复数模长
考点04复数坐标/象限
考点05复数实部虚部纯虚数
考点06复数范围内方程根的问题
考点07复数的几何意义
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第三中学·期中）若复数，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.
【详解】
故选：B.
2．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第八中学校·期中)已知复数满足，则（ ）
A． B．i C． D．1
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则运算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
二、填空题
3．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）已知i是虚数单位，则______．
【答案】
【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由的周期性可得，
，
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高一下·吉林松原·期中)若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求解即可.
【详解】由题意，，
故选：B.
2．(24-25高一下·黑龙江大庆铁人中学·期中)设复数，则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得.
【详解】，
所以，其虚部为.
故选：A.
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的定义和几何意义，即可求解.
【详解】由，则，
则，即在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A
二、多选题
4．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．的模为
C．的共轭复数为
D．复数在复平面内对应点在第一象限
【答案】BCD
【分析】利用复数除法求出，再逐项判断可得答案.
【详解】由，
对于A，的虚部应为1，故A错误；
对于B，的模为，故B正确；
对于C，的共轭复数应为，故C正确；
对于D，在复平面内对应点为，显然在第一象限，故D正确.
故选：BCD.
5．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知，则（ ）
A．
B．
C．的虚部为4
D．的共轭复数为
【答案】BC
【分析】根据复数相等求参数，由复数的虚部、共轭复数的定义判断各项的正误.
【详解】由题意得，得，A错误，B正确．
的虚部为4，共轭复数为，C正确，D错误．
故选：BC
6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部为 C． D．
【答案】AC
【分析】由已知根据除法运算可得，根据复数模的运算可判断；根据共轭复数和虚部的概念可判断；由复数的四则运算可判断；由虚数不能比较大小可判断.
【详解】因为，所以，
所以，故正确；
因为，所以，所以的虚部为，故错误；
，故正确；
因为虚数不能比较大小，故错误.
故选：.
三、解答题
7．(24-25高一下·吉林松原·期中)已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若复数，求复数的模.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，利用复数的乘法运算化简，得，再根据纯虚数的概念，得，，求得，即可得复数；
（2）把代入，利用复数的除法运算化简，得，进而可求得，再根据复数模的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意得，，
∵是纯虚数，
∴，，
∴，
∴；
（2）由（1）得，代入得
，
∴，
∴，
∴.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）设i是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求出，再根据模长公式计算即可.
【详解】由，则，即，
所以.
故选：B.
2．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题分别求出，比较大小即可.
【详解】由题意得，所以．
故选：A.
3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据共轭复数的定义，复数乘法运算，复数相等，复数模公式运算得解.
【详解】由，得，设，
则，即，
所以，得，所以．
故选：C．
二、填空题
4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知复数，则的模长为__________．
【答案】5
【分析】根据复数的模长公式求解即可.
【详解】因为复数，
所以.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)已知在复平面内对应的点为，则的共轭复数在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，结合共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得，则，所以对应点坐标为.
故选：C.
2．（24-25高一下·吉林省长春市东北师范大学附属中学·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，因此，
故选：B
3．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】,
所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B
二、解答题
4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知复数，当实数为何值时，复数满足下列条件：
(1)复数是实数；
(2)复数是纯虚数；
(3)复数对应的点位于复平面的第四象限.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数为实数时列方程求解实数即可；
（2）根据复数为纯虚数时列方程求解实数即可；
（3）根据复数所在象限列不等式求解即可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，
即当或时，复数是实数；
（2）当时，即当时，复数是纯虚数；
（3）当时，即当时，
复数对应的点位于复平面的第四象限.
5．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求参数值；
（2）由复数对应点所在的象限列不等式组求参数范围.
【详解】（1）由题意得，得，故.
（2）由题设，在复平面内对应的点为，
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
得或，则，即的取值范围为．
6．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）已知复数z满足．
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设且，根据复数的代数形式运算及复数相等求解；
（2）化简后，根据复数对应点所在象限列出不等式求解.
【详解】（1）令且，则，
所以，则解得
所以．
（2）由，得，
故在复平面内对应的点位于第三象限，则
解得，即实数m的取值范围为．
7．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
【答案】（1）1；（2），.
【解析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．
（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．
【详解】解：（1）为纯虚数，
且
（2）在复平面内的对应点为
由题意：，．
即实数的取值范围是．
而，
当时，．
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．－2 B．－1 C．－2i D．－i
【答案】B
【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，所以z的虚部为．
故选：B
2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的相关概念判断即可.
【详解】因为复数，所以的虚部为.
故选：B
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）复数的虚部为（ ）
A． B．4 C． D．4i
【答案】A
【分析】利用复数的减法及复数的有关概念求解.
【详解】依题意，，其虚部为.
故选：A
二、多选题
4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则 B．若复数满足，则
C．若复数满足，则 D．若复数满足，则
【答案】AB
【分析】根据复数除法运算、共轭复数和实数定义可知AB正确；通过反例可说明CD错误.
【详解】对于A，若，可设，，A正确；
对于B，设，则，
若，则，，，B正确；
对于C，若，则，但，C错误；
对于D，若，，则，但，D错误.
故选：AB.
三、填空题
5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）已知，则复数z的虚部为______.
【答案】
【分析】先化简复数，再求解虚部.
【详解】因为，所以，所以虚部为.
故答案为：
6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.
【答案】/
【分析】根据题意，化简复数为，结合复数是纯虚数，得到，即可求解.
【详解】由复数，
因为复数是纯虚数，所以，
解得，经检验符合题意，.
故答案为：.
解答题
7．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，求a的取值范围.
【答案】
【分析】根据复数能与实数比较大小可知该复数为实数，利用复数为实数的条件得到关于、的方程组，再结合不等式求解的取值范围.
【详解】由题，所以为实数，
即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故答案为：.
8．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）设复数，．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部为0且虚部不为0求得a值，进一步得到的共轭复数．
【详解】（1），是实数，
，即，
．
（2）．
是纯虚数，
，即，
，的共轭复数为．
一、多选题
1．(24-25高一下·黑龙江大庆铁人中学·期中)下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．若复数是纯虚数，则
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D.
【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误；
因为复数是纯虚数，
所以，解得，故B正确；
因为是关于的方程的一个根，则另一根为，
由根与系数的关系可得，解得，
则，故C正确；
若复数满足，
由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示：
则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确；
故选：BCD.
2．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知复数是方程的三个互不相同的复数根，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的实部之和为0
B．复数的虚部之积为
C．复数的模长之和为3
D．复数的积为2
【答案】ABD
【分析】先求出方程的三个不同的复数根为：，，，对于A，结合复数实部定义可得答案；对于B，结合复数虚部定义可得答案；对于C，由复数的模的计算公式可得答案，对于D，利用复数乘法可得答案；
【详解】因为，其三个不同的复数根为：，，，
因为三个根的实部分别是0，1，，三个实部之和为0，故A正确；
因为三个根的虚部分别是1，1，，三个虚部之积为，故B正确；
根据模长定义，，故C错误.
，故D正确；
故选：ABD
3．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．对于复数，若，则
C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根
D．复数z满足，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为.
【详解】对于A选项，设，则，
为实数，A对；
对于B，若，例如，满足，
但，，即，故B错误；
对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），
所以为一元二次方程的两根，C对；
对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对．
故选：ACD
二、填空题
4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，其中是虚数单位，则______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理定理求解.
【详解】由是关于x的方程的一个根，得该方程的另一根为，
于是，解得，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解.
【详解】因为，所以点．
因为点A与点B关于直线对称，
所以，
所以．
故选：A
2．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可．
【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
因为，，
所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示，
所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值．
因此作于，则与的距离即为所求的最小值，，
故的最小值是1．
故选：A．
二、多选题
3．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则为共轭复数 D．若，则的最大值为6
【答案】ABD
【分析】设，，根据共轭复数概念、复数乘法、复数模的坐标表示逐项判断AB；根据共轭复数的概念可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设，则，A正确；
对于B，设，故
，
而，B正确；
对于C，，因为，
所以，即，但a与m不一定相等，C错误；
对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
三、填空题
4．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为_______．
【答案】3
【分析】先设出复数，结合给定条件确定的轨迹，再结合复数的模长公式将问题转化为求原点到圆上点的距离最大值问题，最后利用两点间距离公式结合圆的性质求解即可.
【详解】设，因为，所以，
即，则，
得到在以为圆心，半径为的圆上，
由复数模长公式得，其几何意义是原点到的距离，
由两点间距离公式得到原点的距离为，
则，即的最大值为.
故答案为：3
5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.
【答案】
【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得.
【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为，
由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，
则解得
.
故答案为：
6．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
∴.
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专题03 复数
7大高频考点概览
考点01复数四则运算
考点02共轭复数
考点03复数模长
考点04复数坐标/象限
考点05复数实部虚部纯虚数
考点06复数范围内方程根的问题
考点07复数的几何意义
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第三中学·期中）若复数，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第八中学校·期中)已知复数满足，则（ ）
A． B．i C． D．1
二、填空题
3．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）已知i是虚数单位，则______．
一、单选题
1．(24-25高一下·吉林松原·期中)若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·黑龙江大庆铁人中学·期中)设复数，则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
4．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．的模为
C．的共轭复数为
D．复数在复平面内对应点在第一象限
5．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知，则（ ）
A．
B．
C．的虚部为4
D．的共轭复数为
6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部为 C． D．
三、解答题
7．(24-25高一下·吉林松原·期中)已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若复数，求复数的模.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）设i是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知复数，则的模长为__________．
一、单选题
1．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)已知在复平面内对应的点为，则的共轭复数在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·吉林省长春市东北师范大学附属中学·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、解答题
4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知复数，当实数为何值时，复数满足下列条件：
(1)复数是实数；
(2)复数是纯虚数；
(3)复数对应的点位于复平面的第四象限.
5．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
6．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）已知复数z满足．
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
7．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．－2 B．－1 C．－2i D．－i
2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）复数的虚部为（ ）
A． B．4 C． D．4i
二、多选题
4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则 B．若复数满足，则
C．若复数满足，则 D．若复数满足，则
三、填空题
5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）已知，则复数z的虚部为______.
6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.
解答题
7．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，求a的取值范围.
8．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）设复数，．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数．
一、多选题
1．(24-25高一下·黑龙江大庆铁人中学·期中)下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．若复数是纯虚数，则
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
2．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知复数是方程的三个互不相同的复数根，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的实部之和为0
B．复数的虚部之积为
C．复数的模长之和为3
D．复数的积为2
3．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．对于复数，若，则
C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根
D．复数z满足，则的最大值为
二、填空题
4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，其中是虚数单位，则______.
一、单选题
1．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
3．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则为共轭复数 D．若，则的最大值为6
三、填空题
4．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为_______．
5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.
6．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）设复数，满足，，则=__________.
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