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专题03 三角函数诱导公式及三角恒等变换
5大高频考点概览
考点01 弧度制
考点02 任意角定义
考点03三角函数的诱导公式
考点04两角和与差的公式
考点05 二倍角及辅助角公式
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度______．

3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是__________．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，点P与点Q重合
D．当点与点重合时，点的坐标可以为
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列命题不正确的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（24-25高一下·安徽·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上．
(1)若角终边上一点P的横坐标为，求和；
(2)求．
3．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知点为角θ终边上一点．
(1)求的值；
(2)求的值．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（24-25高一下·安徽·期中）已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．外接圆面积的最大值为
C．的最小值为8
D．
5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
二、填空题
6．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为_____.
三、解答题
7.（24-25高一下·安徽·期中）已知，且.
(1)求；
(2)若，且，求.
8．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且.
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，，，求的周长．
9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)点在边上.
（ⅰ）若为中线且长为，，求的面积；
（ⅱ）若平分，且，求面积的最小值.
10．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
11．（24-25高一下·安徽·期中）已知，且.
(1)求；
(2)若，且，求.
12．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若是的一条内角平分线，，求的周长.
13．（24-25高一下·安徽滁州·期中）记的内角的对边长分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．存在，使得成立
二、填空题
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________．
三、解答题
4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．

(1)用表示PA的长度；
(2)求的面积的取值范围．
5．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”.
(1)若，证明：.
(2)已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：.
(3)在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求.
6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.
(1)记的相伴函数为，当时，若，求的值；
(2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；
(3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值.
7．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，
(1)若，（）是关于的方程两根，其中，
①求A；
②若，设点为的费马点，求；
(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
9．（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
(1)求角；
(2)若，D为中点，，求b；
(3)若，求的取值范围.
10．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设．
(1)用表示的面积；
(2)求的最大值．
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专题03 三角函数诱导公式及三角恒等变换
5大高频考点概览
考点01 弧度制
考点02 任意角定义
考点03三角函数的诱导公式
考点04两角和与差的公式
考点05 二倍角及辅助角公式
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：，，整理可得，代入结合二次函数运算求解.
【详解】由题意可知：，，
整理可得，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
二、填空题
2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度______．

【答案】/
【分析】确定点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求弧长即可.
【详解】取中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，

则PE//CD，而CD⊥平面，则有面，平面，
于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，
因此，点M在侧面内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形内的圆弧，
如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为.

故答案为：
3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是__________．
【答案】/
【分析】利用弧度与角度之间的转化规则计算.
【详解】因，则.
故答案为：
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，点P与点Q重合
D．当点与点重合时，点的坐标可以为
【答案】ACD
【分析】根据任意角的定义求出运动秒后，点的坐标，则可判断ABC选项；D利用诱导公式化简，即可结合C选项判断.
【详解】运动秒后，点，
由题意可知，点的初始位置为，
则运动秒后，
则，
则时，，故A正确；
时，，
故B错误；
当时，，
即，故C正确；
因，
则由C选项可知，秒后点与点在点处重合，故D正确.
故选：ACD
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列命题不正确的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用三角函数线证明当时，即可判断AC，再由和诱导公式判断BD.
【详解】当时，，
在单位圆中，点，设，则，
过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T，
由，得，
设扇形的面积为，
由图知，即，
即，
对于AC，由，得，AC正确；
对于B，，得，则，B错误；
对于D，由，则，
则，D正确.
故选：B
3．（24-25高一下·安徽·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知式两边平方，可得，将所求式进行配方后，代入结论计算即得.
【详解】由两边取平方，可得，解得，
则.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由三角形的诱导公式对选项一一化简即可得出答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
二、解答题
2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上．
(1)若角终边上一点P的横坐标为，求和；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可知：，结合任意角三角函数的定义运算求解；
（2）由题意可知：，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【详解】（1）由题意可知：，
所以，.
（2）由题意可知：，
所以.
3．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知点为角θ终边上一点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义求解即可；
（2）根据诱导公式化简目标式子，结合（1）的数值求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，．
（2）由诱导公式，可得，
所以原式．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可.
【详解】因为，所以，且，
所以，，
又因为，所以，
则.
故选：C.
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可.
【详解】因为，所以，且，
所以，，
又因为，所以，
则.
故选：C.
3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】，
，
在中，
，
，
为线段上的一点，，且易得，
.
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.
故选：C
4．（24-25高一下·安徽·期中）已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．外接圆面积的最大值为
C．的最小值为8
D．
【答案】BD
【分析】根据三角形的内角和及和差化积可计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、D；根据三角形三边的性质可判断选项C.
【详解】因为，所以，
因为，所以，则，
所以，即，
得，即，故A错误；
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以，则，故的外接圆面积的最大值为，故B正确；
因为，故D正确；
因为，所以，由上述结论可知，所以，故C错误.
故选：BD.
5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状.
【详解】因为，所以，
又根据余弦定理可知，
所以，
因为，所以.
又由，得，
所以，
所以，
因为A和B是三角形的内角，所以，即，
所以是等腰三角形，
又因为，所以，是等边三角形.
故选：D.
二、填空题
6．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为_____.
【答案】
【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值.
【详解】由
，
可得.
故答案为：.
三、解答题
7.（24-25高一下·安徽·期中）已知，且.
(1)求；
(2)若，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到关于的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）先由二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式计算，结合角的范围即可得出答案.
【详解】（1）已知，且，
所以，解得：或，
因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为，
所以.
因为，，，
所以，所以.
8．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且.
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出.结合角的范围，即可得出答案；
（2）根据已知可设，则.根据余弦定理化简即可得出.然后根据等面积，代入化简求解得出的值，即可得出各边长，求出周长.
【详解】（1）因为，
所以．
因为，
所以，
整理可得．
因为，
所以，
从而，即有.
又，所以.
（2）在，角A的平分线交于点，，
由三角形内角平分线定理可知：.
设，则.
由（1）知，，
由余弦定理可得：，
整理可得.
又，，，
即，
解得，
所以周长为.
9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)点在边上.
（ⅰ）若为中线且长为，，求的面积；
（ⅱ）若平分，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）（ⅰ）由，平方进而可求解；
（ⅱ）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理得，，
，
，
，
又，得，
又，故.
（2）
（ⅰ），
，
解得.
.
（ⅱ），
，得，
又，即，，当且仅当，等号成立.
.
10．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角；
（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；
（3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围
【详解】（1）
即
因 ，则，故，解得 .
（2）由（1）已得 由为的平分线，可得
设，由可得 ，
即 解得 ，即.
（3）

方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点，
当点在之间时， 为锐角三角形
∴，即，因，则得，
的面积的取值范围为.
方法二：由正弦定理，可得
∵均为锐角 解得
故 可得 故
又 ，的面积的取值范围为
11．（24-25高一下·安徽·期中）已知，且.
(1)求；
(2)若，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到关于的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）先由二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式计算，结合角的范围即可得出答案.
【详解】（1）已知，且，
所以，解得：或，
因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为，
所以.
因为，，，
所以，所以.
12．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若是的一条内角平分线，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角转化，再结合两角差正弦计算求解；
（2）应用角平分线结合面积公式得出，再应用余弦定理计算求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，
即，
，
.
（2）由题意得，，
由，得，
即，即，
①.
由余弦定理，得，
即②.
联立①②，得或（舍），
的周长为.
13．（24-25高一下·安徽滁州·期中）记的内角的对边长分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，最后由两角和的正弦公式展开即可求解；
（2）利用正弦定理得得，由余弦定理得，最后由三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
化简得，
因为，即，所以，
得，因为，
所以，又，
所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，
所以，
所以的面积为.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】在中，由正弦定理得，又，
则，于是，
由余弦定理得，解得，则，
而，则，
所以的面积.
故选：D
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．存在，使得成立
【答案】AC
【分析】先利用三角恒等变换化简函数成余弦型函数，再根据选项内容逐一判断即可.
【详解】对于A，
，故 A 正确；
对于B，当 时 故B错误；
对于C，当 时 ，
因在上单调递增，则在上单调递增，故C正确；
对于D，若则是函数的一个周期，
因的最小正周期为π，所以 即
显然不存在整数，使得 ，故 D错误.
故选：AC.
二、填空题
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围.
【详解】由余弦定理，和
可得
即，由正弦定理，（*），
因
代入（*）化简得：，即，
因，则，所以，即，
因是锐角三角形，故，解得，
由
令，因函数 在上单调递增，
则，故的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．

(1)用表示PA的长度；
(2)求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理列出关于的表达式，化简即可.
（2）先求出，再根据三角形面积得到关于的表达式，利用二倍角和辅助角等公式化简，最后根据的取值范围即可求解.
【详解】（1）由，则，则，
在中，由正弦定理有，即，
化简，得.
（2）由面积公式得，
由以上可得
，
又，且，则，，
，则，
故的取值范围为.
5．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”.
(1)若，证明：.
(2)已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：.
(3)在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据向量的“协方差”的定义即可证明；
（2）根据向量的夹角公式即得，利用同角三角函数的基本关系得代入化简得即可得证；
（3）由（2）得，由得，设，则，利用正弦定理求解，再根据同角三角函数的基本关系得，最后利用二倍角即可求解.
【详解】（1）证明：因为，由题意得，
所以，即，
因为为非零向量，所以.
（2）因为，
所以，
同理，
因为，
所以.
（3）因为，
所以，
所以，
设，则，
在中，由正弦定理，得，解得,由，，解得，
故，
所以.
6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.
(1)记的相伴函数为，当时，若，求的值；
(2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；
(3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）由“相伴函数”定义和题设求得，利用同角的三角函数关系式求得，再利用拆角变换与差角公式计算即可；
（2）将函数化成，由题意推得，化简可得，由代入化简得，利用双勾函数的单调性即得；
（3）由题意先求出，作于点，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简得，代入所求式，利用正弦定理将其化成，借助于三角函数的性质即得.
【详解】（1）依题意，，
由，可得，
因，则，故，
于是；
（2）依题意，，其中，，
因函数在时取得最大值，则，解得，
即，则，，
由
，
因，函数在上单调递减，
故当时，取得最小值，此时取得最小值为；
（3）依题，则，因，则.
如图作于点，因点为的外心，则，
如图，
，
则，
由正弦定理，，则，则，
因，则当时，取得最大值为.
7．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证；
（2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解；
（3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围.
【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若选②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）因为，为锐角，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，；
（3）由是锐角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
所以，
所以.
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，
(1)若，（）是关于的方程两根，其中，
①求A；
②若，设点为的费马点，求；
(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】(1)①；②；
(2)．
【分析】（1）①根据一元二次方程根与系数关系，结合消元法、配方法、辅助角公式进行求解即可；
②根据费马点的性质，结合平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可；
（2）根据二倍角的余弦公式、两角和差的正弦公式化简已知三角等式，再结合费马点的性质、余弦定理、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）①由题意得：
，是关于方程的方程的两个不等实根，
，
，由于，，故，均为锐角，，
，
因为均为锐角，所以，而也为锐角，
， ；
②由①知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：，
设，，，由得：
，整理得，
所以．
（2）由，得，
即，又，，则，
于是，整理得，即，
又，，有，则， ，
由点为的费马点，得，
设，，， （，，），
由，得，
由余弦定理得，
，
，
相加得得，
整理得，于是，当且仅当，即时取等号，
又，因此，而，解得，所以实数的最小值为．
9．（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
(1)求角；
(2)若，D为中点，，求b；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解；
（2）由已知可得，两边完全平方即可求解；
（3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理，得，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
又，所以；
（2）因为D为中点，所以，
所以，
所以，
所以，解得或（舍去），
故；
（3）由正弦定理：，
所以，，
因为，所以，所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，
所以，，
所以，所以，
所以的取值范围为.
10．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设．
(1)用表示的面积；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先用角表示的内角，再根据正弦定理表示，再根据三角形面积公式，结合三角恒等变换，即可求解；
（2）根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，,,
中，，由正弦定理，，
所以，，
，
所以，
（2），，
，所以当时，的最大值为1，
此时的最大值是.
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