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专题04 平面向量
3大高频考点概览
考点01平面向量数量积
考点02投影数量与向量
考点03平面向量运算及共线定理
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（ ）

A． B．1 C． D．
6．（24-25高一下·安徽·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．5
7．（24-25高一下·安徽·期中）已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知任意两个不共线向量、，，，，，则（ ）
A． B．、、三点共线
C．若，则点为的中点 D．若，则
二、填空题
11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知正方形的边长为1，点满足，则______.
三、解答题
12．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在中，已知，点为边的中点，相交于点．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知平行四边形中，，，，点为线段的中点.
(1)设，，用，表示；
(2)求；
(3)点在线段上，，求的值.
14．（24-25高一下·安徽·期中）已知单位向量的夹角为，且向量.
(1)求的值；
(2)若与共线，求实数的值；
(3)求.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的夹角为
D．向量在方向上的投影向量为
4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
三、解答题
6．（24-25高一下·安徽·期中）在直角坐标系中，已知点，，，点满足，，
(1)求；
(2)求在上的投影向量的坐标.
7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，四边形是圆的内接四边形，且，，．
(1)求的大小；
(2)求四边形的面积；
(3)求的值．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角
C．若，则的值为 D．若，则
4．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·安徽·期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（ ）．
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．与夹角的余弦值为
11．（安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为（ ）
A．3 B．8 C． D．9
12．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．2
二、填空题
13．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知向量，则__________.
14．（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是_____.
15．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________．
三、解答题
16．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，
(1)若，求实数；
(2)若，求实数.
17．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，在矩形中，点是线段上一动点（含端点），是上靠近点的三等分点.
(1)设，求的值；
(2)若，求的取值范围.
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专题04 平面向量
3大高频考点概览
考点01平面向量数量积
考点02投影数量与向量
考点03平面向量运算及共线定理
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】AC
【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，，故，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而.
【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心，
可得，
所以，故A正确；
B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，
易知点分别是的中点，
则
，故B项错误；
C选项，因为点是的重心，所以，
故
，
由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
即，所以，则，故C项正确；
对D选项，作于，则为中点，
，
由余弦定理可得，则，
设外接圆半径为，则，即，
则，
则
，故D项错.
故选：AC
2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】过点作，利用向量的减法运算和数量积化简，将问题转化为求的最值，再利用正弦定理和三角函数范围即可求最值.
【详解】过点作，垂足分别为，
因为是外接圆的圆心，则为的中点，
则，
由正弦定理得，
等号当且仅当时成立，
则，
所以的最大值为.
故选：C
3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意将两组向量中所有的排列可能全部列出，可得所有可能取值中的最小值，解方程可得结果.
【详解】设与的夹角为，
有以下3种可能：
（1）；
（2）；
（3），
易知（2）最小，则，
解得，由，得.
故选：A
4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可.
【详解】已知，，设与的夹角为，
由，
解得，则与的夹角．
故选：C
5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】结合图形，先证明，再根据正八边形的性质，求得的长和，利用向量数量积的定义即可求得.
【详解】
如图2，连接，因，，则，
因，故，
在中，因，则，
在中，，则，
由可得，则，
故
.
故选：C.
6．（24-25高一下·安徽·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据向量数量积的几何意义，结合给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再利用二次函数的值域求解即得.
【详解】∵ 是两个互相垂直的单位向量，
∴ 可令 ，
因为向量满足，，所以.
所以.
所以，当 时等号成立.
故选：B
7．（24-25高一下·安徽·期中）已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，两边平方，由向量数量积运算得，再由夹角公式求解.
【详解】因为，所以 ，
即，得 ，
设与的夹角为θ，则，
因为，所以 .
故选：C
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为向量满足，，，
可得，，
所以.
故选：D.
9．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值.
【详解】如图所示，因为，且，所以垂直且平分，
则为等腰三角形，又，所以为等边三角形.
则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，
因为，易知，即，则，
①当点在边上运动时，设，
则，
所以，当时，的最小值为；
②当点在边上运动时，设，
则，
所以，当时，的最小值为；
综上，的最小值为，
故选：C .
10．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知任意两个不共线向量、，，，，，则（ ）
A． B．、、三点共线
C．若，则点为的中点 D．若，则
【答案】BD
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用共线向量的基本定理可判断B选项；分析可知，求出的值，可判断C选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，，
，
所以，，
无法判断的符号，无法确定与的大小关系，A错；
对于B选项，由题意可得，
，
所以，，故、、三点共线，B对；
对于C选项，若为的中点，则，
因为，，
所以，，解得，C错；
对于D选项，若，则，故，D对.
故选：BD.
二、填空题
11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知正方形的边长为1，点满足，则______.
【答案】/
【分析】建立坐标系，求出点的坐标，利用模长公式可得答案.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点，，，，，
则，，因此，.
故答案为：

三、解答题
12．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在中，已知，点为边的中点，相交于点．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据和已知条件，两边平方，利用向量的运算求得的长，然后根据向量关系求得；
（2）建立直角坐标系，求出点的坐标，利用向量的夹角的坐标运算公式求；
（3）根据三点共线得，通过向量线性运算，将用和表示，从而将表示成，最后利用共线向量定理得到，求出的值再根据模长和数量积的运算可得.
【详解】（1），
∴，又∵，∴，∴．
（2）如图，以为原点，直线为轴建立直角坐标系.
依题得到：，，，，
设点，由可得：，
即，解得：，所以，
，，
则，，
由．
（3）三点共线，所以存在使得，，
，
，
又三点共线，所以，即．
，
所以
.
13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知平行四边形中，，，，点为线段的中点.
(1)设，，用，表示；
(2)求；
(3)点在线段上，，求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用向量加法的三角形法则和向量数乘即可得到答案；
（2）利用向量数量积公式即可计算；
（3）设，.根据求出即可.
【详解】（1）；
（2），
，
.
.
（3）设，，
，
，
解得，所以.
14．（24-25高一下·安徽·期中）已知单位向量的夹角为，且向量.
(1)求的值；
(2)若与共线，求实数的值；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数量积定义计算即可；
（2）由题意求出，，根据共线列式即可求；
（3）利用平方的方法计算即可.
【详解】（1）由题意得，.
.
（2）由题意得，，
，
因为不共线，所以，解得.
（3）由（2）得，，
.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果.
【详解】由，得，
由，得，
则，
因此在上的投影向量为．
故选：A．
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由投影向量的计算公式求解即可.
【详解】因为向量，，
所以量，，，
则在向量上的投影向量为为.
故选：D.
3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的夹角为
D．向量在方向上的投影向量为
【答案】AB
【分析】ABC选项，由于，从而AB正确，C错误；D选项，利用投影向量求解公式得到D错误.
【详解】因为，所以，
在A中，因为，所以，故A正确；
在B中，因为，所以，故B正确；
在C中，因为，所以与的夹角为，故C错；
在D中，在方向上的投影向量为，故D错.
故选：AB
4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义计算可得，进而可求夹角的大小.
【详解】向量在向量上的投影向量为，
解得，所以，解得.
故选：A.
二、填空题
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
【答案】
【分析】根据投影向量的公式计算即可求解.
【详解】∵，，∴，，，
∴向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
三、解答题
6．（24-25高一下·安徽·期中）在直角坐标系中，已知点，，，点满足，，
(1)求；
(2)求在上的投影向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将向量坐标代入已知式，求解方程组即得；
（2）分别求出与的坐标，代入投影向量计算公式即可.
【详解】（1）由，，可得，
即，则有，解得，
故.
（2）由（1）可得，因，
则，，
于是在上的投影向量为，
则在上的投影向量的坐标为，即.
7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，四边形是圆的内接四边形，且，，．
(1)求的大小；
(2)求四边形的面积；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理以及即可求出，再用余弦定理计算即可；
（2）利用三角形的面积公式计算即可；
（3）过点作，过点作，则在方向上的投影向量为，
通过即可求数量积.
【详解】（1）连接，由题意知，，则，
在，中，由余弦定理得，，，
则，解得，
所以，
因为，所以．
（2）由（1）可知，，
则四边形的面积为
．
（3）过点作，垂足，则为的中点，所以，
过点作，垂足，则，
故，
所以在方向上的投影向量为，
所以．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得答案.
【详解】向量，所以.
故选：A
2．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可.
【详解】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选：D.
3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角
C．若，则的值为 D．若，则
【答案】AC
【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，
所以，解得且，
所以当且时与的夹角为锐角，故B错误；
对于C，因为，所以，解得，故C正确；
对于D，由题意得，.
因为，所以，解得，
当时，，，
此时，，，故D错误.
故选：AC.
4．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可求出向量的坐标.
【详解】因为向量，，则.
故选：B.
5．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.
【详解】∵，，
∴.
故选：C.
6．（24-25高一下·安徽·期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求出的等价条件，即可判断得出答案.
【详解】因为，.
所以.
综上所述，“”是“”的充分必要条件．
故选：C．
7．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】由题意得，，
因为，所以，解得.
故选：C.
8．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（ ）．
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
【答案】BCD
【分析】根据题意，正八边形的每条边所对的角均为，且中心到各个顶点的距离都是，由向量的数量积的运算公式，可得判定A错误；连接交于点，得到，集合向量的线性运算法则，可得判定B正确；根据投影向量的计算方法，可判定C正确；设向量与的夹角为，得到，由，得到点在线段上运动时，取得最大值，利用向量的数量积的运算法则，结合正弦的倍角公式，可判定D正确.
【详解】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为，且中心到各个顶点的距离都是，
对于A，由，所以A错误；
对于B，连接交于点，则为的中点，且，
由，所以B正确；
对于C，向量在上的投影向量为，所以C正确；
对于D，设向量与的夹角为，则，
其中表示在方向上的投影向量的模，
在正八边形中，可得，延长交与点，
当点在线段上运动时，向量在方向上的投影向量的模取得最大值，且数量积为正数，
又由为等腰直角三角形，且，
在直角中，，
在等腰中，，
则，所以D正确.
故选：BCD.
9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：建立平面直角坐标系，根据三角函数定义设，然后由平面向量的坐标运算表示出，结合三角恒等变换和三角函数性质即可得解；法二：取的中点为，中点为O，利用极化恒等式化简，结合图形可解.
【详解】方法1：由已知，弧是以为圆心，1为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
，
令，，则，
当时，，，
，
存在，使，即，
当时，的最小值为．
方法2：利用极化恒等式，取的中点为，则，
，
取中点为O，则：，
因为，所以，
当在弧上时，，当且仅当三点共线时取等号，
则
故选：A．
10．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．与夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据向量的加法的坐标运算和模长公式可判断A；根据垂直的坐标运算可判断B；利用夹角余弦及向量共线计算判断C；利用向量坐标求模公式及求向量夹角公式即可判断选项D.
【详解】对于A，，则 ，故A正确；
对于B，因为
所以故B 正确；
对于C，，若与的夹角为锐角，
则得且与不共线（同向），
，解得：且
则的取值范围为：，故C错误；
对于D，，，
，所以与夹角的余弦值为：
，故D正确.
故选：ABD.
11．（安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为（ ）
A．3 B．8 C． D．9
【答案】B
【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可.
【详解】
如图，因为点O是BC的中点，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8.
故选：B.
12．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案.
【详解】设，则由已知可得.
又
，
，
所以联立得，.
所以
．
故选：D.
二、填空题
13．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知向量，则__________.
【答案】5
【分析】根据向量模的坐标表示即可得到答案.
【详解】，则.
故答案为：5.
14．（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是_____.
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件得出向量、、的坐标，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出的表达式，进而求出其最小值.
【详解】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设，. 设，
已知，，可得：，
，所以.
.
根据向量模的计算公式：可得：
因为，所以，则，当且仅当时取等号.
故答案为：.
15．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________．
【答案】2
【分析】设，，转化条件为 ，数形结合即可求解.．
【详解】设则，，，
则点A,B分别在x,y轴上运动，点C在单位圆的第一象限（包含与坐标轴正半轴的交点）上，，
，，如图所示，
则，
分别作点C关于关于y轴、x轴的对称点,则均在圆上，为单位圆的直径，
所以，
所以，
当且仅当点A,B在线段上时，等号成立，此时，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
三、解答题
16．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，
(1)若，求实数；
(2)若，求实数.
【答案】(1)
(2)或3
【分析】（1）由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可；
（2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】（1），
由，得，
解得；
（2），
由，得，
解得或3.
17．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，在矩形中，点是线段上一动点（含端点），是上靠近点的三等分点.
(1)设，求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据向量的线性运算即可；
（2）转化为，再根据向量数量积运算律和定义计算得到，最后根据的范围即可得到其范围.
【详解】（1）由题意知，
则，则.
（2）
因为，所以的取值范围是.
.
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