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专题04 三角恒等变换
8大高频考点概览
考点01两角和差公式
考点02二倍角公式
考点03辅助角公式
考点04化简求值
考点05给值求值
考点06三角函数与平面向量交汇问题
考点07三角函数应用
考点08三角恒等式综合问题
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知，且都是锐角，则等于（ ）
A． B．或 C． D．
3．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知α为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）（ ）
A．1 B． C．3 D．
7．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市一中·期中）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中）__________．
9．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知，，且，，求=________.
10．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)的值为__________．
11．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为________.
12．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市二中·期中）满足等式的数组有无穷多个，试写出一个这样的数组___________.
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市一中·期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)对于角，满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知，则可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
三、填空题
7．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知，若，则________．
8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)函数最大值为___________．
四、解答题
9．(24-25高一下·辽宁多校联盟·期中)已知．
(1)求的值．
(2)已知为第四象限角．
①求的值；
②求的值．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知，，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数是偶函数
C．函数的最小值为
D．函数的一个单调递增区间是
3．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)当时，取得最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)为了得到函数的图象，只要将函数图象上（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
三、解答题
5．（24-25高一下·辽宁省朝阳市建平实验中学·期中）已知函数．
(1)求函数的最小值及取最小值时的自变量的集合；
(2)说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知设，求：的值（用表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；则（ ）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对
C．两人都错 D．两人都对
二、多选题
4．(24-25高三上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)下列式子的运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)计算下列各式值，其结果为1的有（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)下列选项化简值为1的有（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知角为的一个内角，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知，，且，，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
4．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中）若，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
6．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)（1）化简：；
（2）已知，求的值．
7．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)（1）已知，，，，求的值.
（2）已知，求的值.
8．(24-25高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知，，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知，且.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
10．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知，．
(1)求、的值；
(2)求的值；
(3)若、均为锐角，且，求的值．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知向量，，函数．
(1)求函数的解析式，并求当时，的值域；
(2)若，且，求的值．
(3)将函数的图象横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，且图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．
3．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

(1)若点，求的值；
(2)若，求．
4．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知向量，，函数
(1)求函数在上的单调递减区间
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围
5．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期中）已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值.
6．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；
(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
一、解答题
1．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设．
(1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当时，求加温带的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
2．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板，其中顶点、在半径上，顶点在半径上，顶点在上，，.设，矩形的面积为.
(1)用含的式子表示，的长；
(2)试将表示为的函数；
(3)求的最大值.
3．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设.
(1)求扇形OMN的面积；
(2)若，求矩形ABCD的面积；
(3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
一、单选题
1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，直线 是曲线的一条对称轴
B．做，且，则
C．若在上恰有5个零点，则的取值范围为
D．存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数
3．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．若，则当时，的图像是单调递增的
4．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市一中·期中）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
三、填空题
5．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______．
6．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知 ，若 对任意的恒成立，则的取值范围是 __________
四、解答题
7．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知，且，证明：
(1)；
(2).
8．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求函数的值域．
9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知函数．
(1)求出函数的单调增区间；
(2)当时，求函数的最大值及最小值；
(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
10．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)填写由函数的图象变换得到的图像的过程；先将图象上的所有点________，得到的图象；再把所得的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标________，得到的图象．
(3)若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，其中，①有解；②恒成立．补全问题（3），并求实数的范围．
11．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期中）已知函数，对，有.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，时，求.
12．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
(3)若函数在上有3个零点,求的取值范围．
13．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数，
(1)若，，求函数的解析式及对称轴；
(2)若，，，且，求的值；
(3)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值．
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专题04 三角恒等变换
8大高频考点概览
考点01两角和差公式
考点02二倍角公式
考点03辅助角公式
考点04化简求值
考点05给值求值
考点06三角函数与平面向量交汇问题
考点07三角函数应用
考点08三角恒等式综合问题
一、单选题
1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式求出目标值.
【详解】.
故选：C
2．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知，且都是锐角，则等于（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和余弦公式求解即可.
【详解】因为，且都是锐角，则
所以，
则
则.
故选：D.
3．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知α为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角的正余弦的平方和求得，进而求得，再利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为α为第二象限角，且，所以，
则，所以．
故选：D.
4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】，
，
联立可得，
所以.
故选：B
5．（24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件求出、，结合的范围，再由
可得答案.
【详解】，①
由，
得，代入①，
解得，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，
所有.
故选：A.
6．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市回民区·期中）（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B
7．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市一中·期中）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，利用两角和的正切公式可得.
【详解】因为，
所以，
因为,
所以.
故选：C.
二、填空题
8．（24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中）__________．
【答案】
【分析】根据诱导公式及两角差的正切公式求解即可.
【详解】．
故答案为：.
9．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知，，且，，求=________.
【答案】
【分析】根据，，且，，求得，，再利用两角差的正弦公式求解.
【详解】因为，，且，，
所以，，
则，
，
因为，，
所以，
所以，
故答案为：
10．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)的值为__________．
【答案】
【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
．
故答案为：
11．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为________.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】由角的终边经过点，可得，
又由将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，
则.
故答案为：.
12．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市二中·期中）满足等式的数组有无穷多个，试写出一个这样的数组___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】对化简可得，则，从而可得，，进而可得答案
【详解】解：由，得
，
所以，
所以，
所以，
所以，，所以可以为0，可以为，
故答案为：（答案不唯一）
一、单选题
1．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市一中·期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将条件式弦化切结合角范围求得，利用二倍角正切公式求解.
【详解】依题意得，解得或3.
因为，所以，
所以.
故选：D.
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式列式求解.
【详解】设该等腰三角形的底角为，依题意，，
则，即，解得.
故选：A
3．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两角和的正弦公式展开后求得，然后求得，再由二倍角公式计算．
【详解】，又，则，
所以，
，
故选：A．
4．（24-25高一下·辽宁省多校联盟·期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用二倍角和同角三角函数的基本关系，结合充分性和必要性进行判断即可得出结论.
【详解】由，且，得，
则；故
由，得，
所以
∵，∴
∴
由，解得或
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
5．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)对于角，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式的化简已知，结合角度范围确定的范围，结合平方公式即可得的值.
【详解】因为，所以，
由于，所以，则，
整理得，又，所以
所以，解得，
故选：B.
二、多选题
6．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知，则可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【分析】根据二倍角的正弦公式及商数关系将变形，再化简得到，即可根据三角函数值在各个象限的符号判断所在的象限.
【详解】因为，即，
所以，
即，所以，
所以是第二象限角或第四象限角.
故选：BD.
三、填空题
7．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知，若，则________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，求出，再结合的范围，确定的值.
【详解】因为，
解得或，
又，则，又，所以，则，
所以，所以.
故答案为：.
8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)函数最大值为___________．
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合二次函数求出最大值.
【详解】依题意，，
而，所以当时，取得最大值.
故答案为：
四、解答题
9．(24-25高一下·辽宁多校联盟·期中)已知．
(1)求的值．
(2)已知为第四象限角．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)或3
(2)①；②
【分析】（1）根据二倍角正切公式列式求解即可.
（2）①化切为弦结合列方程组求解即可；
②利用两角差的余弦公式展开，然后利用二倍角的余弦公式和正弦公式代入计算即可.
【详解】（1）由，
得，解得或3．
（2）①由题意得，且．
由得
②
．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由辅助角公式结合正弦函数单调性可判断选项正误；
【详解】，因在上单调递减，则，
则.
故选：D
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知，，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数是偶函数
C．函数的最小值为
D．函数的一个单调递增区间是
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简，，由二倍角公式化简，即可判断A、B，利用辅助角公式化简，即可判断C、D.
【详解】因为，，
对于A、B：因为，
所以函数的最小正周期，故A错误；
因为，所以函数为奇函数，故B错误；
对于C、D：因为，
所以函数的最小值为，故C错误；
由，解得，
所以函数的增区间为，
所以为函数的一个单调递增区间，故D正确.
故选：D
3．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)当时，取得最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再求其正切值即可.
【详解】因为
，
故当取得最大值时，若，则，
则
，
则.
故选：C.
二、多选题
4．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)为了得到函数的图象，只要将函数图象上（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.
【详解】由题意得，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故A正确，B不正确．
将图象上所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标
缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，故C正确，D错误．
故选：AC.
三、解答题
5．（24-25高一下·辽宁省朝阳市建平实验中学·期中）已知函数．
(1)求函数的最小值及取最小值时的自变量的集合；
(2)说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到．
【答案】(1)最小值为，；
(2)的图象可由的图象向左平移的单位得到．
【分析】（1）运用辅助角公式，即可去求解；
（2）利用左移思想就可得到答案.
【详解】（1）由，所以函数的最小值为，
此时，得，
所以函数取最小值时的自变量的集合为；
（2）的图象是由的图象向左平移的单位得到．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换公式化简，结合函数单调性比较大小.
【详解】化简可得，由，则，即；
，
，由，则，即，
所以，
故选：D.
2．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出．
【详解】由题意可得：，且，
，解得：，
所以（负值不符合题意舍去），
.
故选：C
3．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知设，求：的值（用表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；则（ ）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对
C．两人都错 D．两人都对
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的正切化简即得.
【详解】依题意，，小张同学正确；
由，即，
则，
则小姚同学正确.
故选：D
二、多选题
4．(24-25高三上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)下列式子的运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC
5．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)计算下列各式值，其结果为1的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式一一判断即可.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：因为，
所以，
所以
，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：AD
6．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据三角恒等变换的公式，逐项计算求值，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A符合题意；
对于B中，因为，得，
所以，所以B符合题意；
对于C中，由，所以C不符合题意；
对于D中，由
，所以D符合题意.
故选：ABD.
7．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)下列选项化简值为1的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对A，利用二倍角的余弦公式即可判断；对B，通分后利用辅助角公式和二倍角正弦公式即可判断；对C，利用二倍角的余弦公式即可判断；对D，通分后利用二倍角正弦公式和两角差的正弦公式即可判断.
【详解】对于A, ，A错误，
对于B，，B正确，
对于C, ，C正确，
对于D，
，故D错误，
故选：BC
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用辅助角公式及二倍角公式，结合角的变换求解即可.
【详解】因为，所以，即，
所以，
所以，
故选：C.
2．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知角为的一个内角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.
【详解】因为为三角形内角，所以，所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
由二倍角公式有：
.
故选：A
3．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知，，且，，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【分析】利用同角的正余弦的平方关系，求得，，进而求得，，进而利用两角差的正切公式可求.
【详解】因为，，所以，所以，
因为，，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：D.
4．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将两式平方相加，再根据平方关系及两角差的正弦公式计算即可.
【详解】由，得①，
由，得②，
①+②得，所以.
故选：C.
二、多选题
5．（24-25高一下·辽宁大连第八中学·期中）若，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值.
【详解】因为，所以，且因为，
所以，则，
则，所以正确；
由可得，又因为，
利用不等式的性质可得，，
所以，
则，
又因为，所以，所以正确.
故选:
三、解答题
6．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)（1）化简：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先将正切化为正弦与余弦的形式，再利用三角函数公式进行化简；
（2）根据三角函数的二倍角公式将式子化简，然后将正切值代入求解.
【详解】（1）化简
（2）已知，根据三角函数二倍角公式，对原式进行化简：
7．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)（1）已知，，，，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用两角差的正切可求的值.
（2）利用换元法结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，，故，，
故，故，故，
故，故.
（2）设，则且，
故.
8．(24-25高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知，，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解.
【详解】（1）由，得，又，则，
所以.
（2）由，得，又，
则，又，
所以.
9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知，且.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式即求.
（2）利用同角公式及两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）由，得，而，，
则，，
所以
.
（2）由（1）知，，，
由，得，
因此，
所以.
10．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知，．
(1)求、的值；
(2)求的值；
(3)若、均为锐角，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由两角和与差的正弦公式可得出关于、的方程组，即可解出这两个量的值；
（2）利用二倍角的正弦、余弦公式结合（1）中的结果可得出所求代数式的值；
（3）根据正切函数的单调性得出，可求出、的取值范围，结合同角三角函数的基本关系结合两角和的余弦公式可求出的值.
【详解】（1）由题意得，得．
（2）．
（3）由，得．
由，得，得，
所以，，
由，得，
，
所以
．
一、单选题
1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到有实数解，令，化简得到，结合三角函数的性质，求得，进而求得的取值范围.
【详解】由，所以有实数解，
令，
则，
因为，所以，所以，
解得.
故选：D.
二、解答题
2．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知向量，，函数．
(1)求函数的解析式，并求当时，的值域；
(2)若，且，求的值．
(3)将函数的图象横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，且图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)，值域
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性求解值域；
（2）由，得，结合角的范围求得，又利用两角和的正弦公式结合二倍角公式求解；
（3）根据三角函数图像的变换规律可得的表达式，结合的范围求得的值域，结合的单调性即可求得答案.
【详解】（1）
，
当时，则，所以，
所以的值域为.
（2）由（1），，即，
又，则，又，
所以，故，
所以，，
.
（3）由题意，可得，
，，所以，
且在上单调递增，在上单调递减，，，，
若函数在上恰有一个零点，即方程恰有一根，
所以的取值范围为.
3．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

(1)若点，求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义求出，再将，利用两角和额余弦公式进行求解即可；
（2）将，从而利用两角和的正弦公式进行求解即可．
【详解】（1）因为是锐角，且在单位圆上，

所以，
所以．
（2）因为，所以，
且，
所以，可得，且，
所以
．
4．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知向量，，函数
(1)求函数在上的单调递减区间
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出的解析式并结合三角恒等变换公式化简得，再令，解出该不等式并结合即可得解.
（2）由（1）得的单调性，结合和得和 ，再结合即可得解.
【详解】（1）
，
由，得，
因为，所以，
所以在上的单调递减区间为，.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，
由当时，恒成立，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
5．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期中）已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式得，由周期得的解析式；
（2）由正弦函数的单调递减区间，得到的单调递减区间；
（3）由，解得或，依题得，由正弦函数的图象得和关于直线对称，从而得到，即可求解..
【详解】（1），
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
所以该函数的最小正周期，则，
所以.
（2）由得，
所以的单调递减区间是.
（3）由得或，
即或，
由，可得，
由得，解得；
所以在上有两个不同的解，由图知，，
且，即，
所以，
所以.
6．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；
(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，使得.
【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时.
【详解】（1），故；
（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以
.
（3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.
一、解答题
1．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设．
(1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当时，求加温带的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)，；
(2)．
(3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．
【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域.
（2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解.
（3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值.
【详解】（1）在中，由，得，，
又中，由勾股定理得，
因此，
当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，，
所以函数关系式为，定义域为.
（2）由（1）知，
因此，
于是.
（3）依题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，
设，则，，
，由，得，
，于是，
令，函数在上为增函数，
则当时，最小，且最小值为，此时，
所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．
2．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板，其中顶点、在半径上，顶点在半径上，顶点在上，，.设，矩形的面积为.
(1)用含的式子表示，的长；
(2)试将表示为的函数；
(3)求的最大值.
【答案】(1)，；
(2)（）；
(3).
【分析】（1）直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可表示出 的值；
（2）求出，代入面积公式得出关于的函数；
（3）利用二倍角公式及辅助角公式，三角恒等变换化简，根据的范围和正弦函数的性质即可得出的最大值．
【详解】（1）因为，四边形是矩形，
所以在中，.
所以.
在中，.
（2）在中，.
所以.
所以
（）.
（3）因为，
（），
所以，当，即时，取得最大值.
3．（24-25高一下·辽宁省七校协作体·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设.
(1)求扇形OMN的面积；
(2)若，求矩形ABCD的面积；
(3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【答案】(1)平方米.
(2)平方米.
(3)，最大值为.
【分析】（1）由扇形面积公式可得；
（2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积；
（3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得.
【详解】（1）由题意，，扇形半径即米，
则扇形OMN的面积为平方米.
（2）因为，在中，，，
在中，，则，
所以.
则矩形ABCD的面积.
所以当时，矩形ABCD的面积平方米.
（3）在中，，，
在中，，则，
所以.
则矩形ABCD的面积
，
所以，其中.
由于，
则当时，即时，.
所以当时，取得最大值，最大值为.
一、单选题
1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用相位整体思想来解决三角函数单调性问题和三角函数值非负问题，可得到相位的范围，结合不等式来求解，再利用分类讨论可求出交集即可.
【详解】由已知可知，
由，解得，
因为在上单调递增，所以，
即，解得①，
此时，解得；
又因为在上，恒成立，所以，
解得，由于，
所以，解得②，
此时，解得，又因为，所以
当时，由①②可知，解得；
当时，由①②可知解得，
所以的取值范围为.
故选:B.
二、多选题
2．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，直线 是曲线的一条对称轴
B．做，且，则
C．若在上恰有5个零点，则的取值范围为
D．存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数
【答案】BC
【分析】首先利用二倍角公式将等式化简，转变成的形式，对于选项A，可利用正弦函数的对称轴公式进行判断；对于选项B，可由已知条件判断函数的最小周期进行求解的值；对于选项C，将函数的零点问题转化为正弦函数与直线的交点问题，通过图象确定范围；对于选项D，先求出平移后函数解析式，然后判断奇偶性.
【详解】
对于选项A：
当时，.
对称轴为，解得.
若是对称轴，则
则解得，不是整数，所以选项A错误.
对于选项B：
因为，且，的最大值为，最小值为，说明之间最小间隔是半个周期.
，即，解得，B正确.
对于选项C：
已知，则.
令，则.
因为在上恰有5个零点，则.
解得的取值范围为，C正确.
对于选项D：
的图像向左平移个单位长度后得到.
若是偶函数，则，.
化简得，则.
当时，，所以不存在，D错误.
故选：BC.
3．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．若，则当时，的图像是单调递增的
【答案】ACD
【分析】化简：用二倍角公式把和变形，再用辅助角公式将式子化为. 分析选项A：正弦函数值在，所以最大值是. 分析选项B：根据周期公式，，算出，不是. 分析选项C：若函数图象关于直线对称，是最值.当时，是最大值，所以图象关于对称. 分析选项D：求出.在内，和正负和变化不单调，所以不单调递增.
【详解】对于A，化简函数，可得，.
则
再根据辅助角公式可得.
因为正弦函数的值域为，所以的最大值为，A选项正确.
对于B，根据正弦函数的周期公式可得的最小正周期，B选项错误.
对于C，若函数的图象关于直线对称，则为函数的最值.
当时，，为函数的最大值，所以的图象关于直线对称，C选项正确.
对于D，先求.则.
当时，.
则在内单调递增， D选项正确.
故选：ACD.
4．（24-25高一下·内蒙古自治区呼和浩特市一中·期中）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
【答案】BCD
【分析】先对函数化简变形，然后由三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】易得，
当时，，所以函数在上有增有递，故A错误；
因为，所以是的一个对称中心，故B正确；
的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，，所以，，且，所以当时，，故C正确；
因为，作出在上的图象如图所示，
与有且只有三个交点，所以，
又因为时，且,关于直线对称，
所以，所以，
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
5．（24-25高一下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______．
【答案】或
【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果.
【详解】由题意得，
令，得，则，
∴或，
∴或，
∵，∴或，解得或．
故答案为：或.
6．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知 ，若 对任意的恒成立，则的取值范围是 __________
【答案】
【分析】根据三角恒等变换结合诱导公式化简函数，再根据平方公式将不等式转化为对任意的恒成立，令，则不等式转化为，结合函数性质得最值即可得所求.
【详解】
则，
则不等式转化为：对任意的恒成立，
令，则不等式转化为对任意的恒成立，
又函数在上单调递减，所以当时，，故
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
7．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立；
（2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立.
【详解】（1）因为，所以，
两边同时除以，得，即.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以.
8．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，即可得最小正周期；
（2）以为整体，结合正弦函数的单调性运算求解；
（3）以为整体，结合正弦函数的有界性运算求解.
【详解】（1）由题意可得：
所以函数的最小正周期为．
（2）令，，解得，，
故函数的单调递减区间为．
（3）因为时，则，
可得，则，
所以函数的值域为.
9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知函数．
(1)求出函数的单调增区间；
(2)当时，求函数的最大值及最小值；
(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）由辅助角公式得到，利用整体法求出单调递增区间；
（2）求出，结合正弦图象得到最大值和最小值；
（3）先求出，，当时，，当时，令，将其看作关于一次函数，其中，得到不等式组，
【详解】（1）
，
令，解得，，
所以函数的单调增区间为，.
（2）由（1）知，，
当时，，
由于在上单调递增，
故当时，取得最大值，最大值为，
最小值为.
（3）由（2）知，，
由，
①当时，，
②当时，令，
将看作关于一次函数，其中，
则需满足，解得且，
综上所述，的范围为.
10．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)填写由函数的图象变换得到的图像的过程；先将图象上的所有点________，得到的图象；再把所得的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标________，得到的图象．
(3)若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，其中，①有解；②恒成立．补全问题（3），并求实数的范围．
【答案】(1)，
(2)向右平移个单位长度，变为原来的；
(3)答案见解析
【分析】（1）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；
（2）由（1）中函数，利用三角函数图象变换求解即得.
（3）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】（1）因为
，
所以函数的最小正周期；
由，得，
所以函数的单调增区间为.
（2）先将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象；
再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象.
（3）若选择①，不等式有解，即，
由，得，
则当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以.
若选择②，不等式恒成立，即．
由，得，
则当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
11．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期中）已知函数，对，有.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，时，求.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用诱导公式与和角公式化简函数解析式，由题意得，结合角的范围即可求得，即得函数解析式；
（2）先求得，利用同角的三角函数公式求得，由进行拆角，利用和角公式展开计算即得.
【详解】（1），
对，有，则，
则，因，解得，故；
（2）因，由，可得，
则，
故
.
12．（24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
(3)若函数在上有3个零点,求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式；
（2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可；
（3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可.
【详解】（1）因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以.
（2）因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
（3）（3）令，由（2）知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，

由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，，解得，
综上，的取值范围为．
13．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数，
(1)若，，求函数的解析式及对称轴；
(2)若，，，且，求的值；
(3)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可；
（2）利用已知可求得，结合同角三角函数的平方关系可求得，进而利用可求值；
（3）根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算.
【详解】（1）函数，．
则的最小正周期，
因为，，所以函数的最小正周期，
所以，解得
①当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为
②当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为；
（2）当，
由，则，
由，则，可得，
所以
.
（3）由题意可知，
因为是的一个零点，即，所以，
所以或，
故或，又，（舍），
故，则，
当时，，设，则，则原式可化为，
即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点，
作出在上的图象如下图所示，
所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为，
设与的3个不同的交点分别为、、，则、，
∴，即，整理得．
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