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专题05 空间几何体
3大高频考点概览
考点01空间几何体棱长与面积
考点02空间几何体体积
考点03空间几何体直观图
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（ ）

A． B．4 C． D．6
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在直三棱柱中，是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直三棱柱的外接球半径为
C．的值可以为
D．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题错误的是（ ）
A．用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台
B．若向量，的夹角为钝角，则
C．若，且有两解，则的取值范围是
D．设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为1：3
6．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列说法不正确的有（ ）
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C．在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
D．过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大
7．（24-25高一下·安徽·期中）下列选项中说法正确的是（ ）
A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台
8．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是
9．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
二、填空题
11．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是______，体积是______．
三、解答题
12．（24-25高一下·安徽·期中）梯形中，，，．
(1)若，以为基底表示；
(2)将梯形绕所在的直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处.
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线共面
B．
C．点P是线段上的动点，则满足的点P有且只有一个
D．过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25高一下·安徽·期中）如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为___________.
5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）假设你有一张半径为的半圆形纸片，圆心为，现剪掉一个半径为的半圆（圆心仍为），再将纸片卷成一个圆台的侧面，则该圆台的体积为__________.
6．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，一圆锥的侧面展开图中，，弧长为，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥可以整体放入半径为的球内
D．该圆锥可以整体放入边长为的正方体中
7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（ ）

A． B． C． D．20
三、解答题
8．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积．
9．（24-25高一下·安徽·期中）在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm.
(1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积；
(2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积.
10．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.

(1)求圆台的体积；
(2)在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形，已知 ，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．
5．（24-25高一下·安徽·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的周长为（ ）
A．10 B．8 C．14 D．
6．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
二、填空题
7．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______
三、解答题
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
(1)求平面四边形的面积；
(2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
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专题05 空间几何体
3大高频考点概览
考点01空间几何体棱长与面积
考点02空间几何体体积
考点03空间几何体直观图
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（ ）

A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】根据正四棱台的结构特征，取的中点分别为，确定截面的形状，根据已知求出相关线段长度及内切球半径，利用几何关系列方程求得，进而求侧棱长.
【详解】设正四棱台的下底面边长.，其内切球半径为r，
则，解得，取的中点分别为，
则四边形的内切圆是正四棱台内切球的截面圆中最大的，
且四边形是等腰梯形，，
所以，整理得，
又，所以，易知上、下底面的对角线长分别为4和8，
故侧棱长为
故选：C
2．（24-25高一下·安徽·期中）已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圆台的轴截面，要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，利用勾股定理求出棱长最大的正方体的外接球的半径，进而可得出答案.
【详解】如图，作出圆台的轴截面，
要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，

设圆的半径为，则，
因为，所以，
作，因为，所以，
而，由勾股定理得，
则，且，
而，
即得到，解得，
设圆台内正方体的棱长最大值为，则，
．
故选：B.
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定直角梯形绕直角边旋转，形成圆台，然后通过梯形的边长确定圆台上、下底面半径及母线长，最后利用圆台的侧面积公式求解即可.
【详解】
如图所示，直角梯形绕直角边旋转一周得到圆台，其中：
上底面半径，下底面半径，母线长为边的长度.
在梯形中，，
则圆台的侧面积．
故选：A.
4．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在直三棱柱中，是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直三棱柱的外接球半径为
C．的值可以为
D．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
【答案】AD
【分析】利用线面平行判定定理证明平面，再利用等体积法计算可求得A正确，将直三棱柱补充为正方体，可得外接球半径为，故B错误；利用平面展开图和余弦定理计算可得C错误，求出直三棱柱内部能够放入的最大球的半径即可得D正确.
【详解】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面平面，则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
，故A正确；
对于B选项，直三棱柱可以补充为棱长为2的正方体，易知其外接球半径为，故B错误；
对于C选项，将面翻折到与面在同一个平面，如下图所示：
在中，，
由余弦定理可得：
，
当且仅当三点共线时，取最小值，
故不可能为为，故C错误．
对于D选项，因为，则，
的内切圆半径为，
由于直径，所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为的球，其半径为，可得；
因为，所以这个直三棱柱内部可以放入半径为的球，故D正确；
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：在求解三棱柱中能放入的球的表面积时，关键是求出的内切圆半径与三棱柱的高能否满足对应关系，进而确定球的最大半径.
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题错误的是（ ）
A．用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台
B．若向量，的夹角为钝角，则
C．若，且有两解，则的取值范围是
D．设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为1：3
【答案】AB
【分析】由棱台的概念可判断A，由向量夹角与数量积的关系可判断B，由正弦定理可判断C，设设，，得到为的重心，进而可判断D.
【详解】A.用平行于棱锥底面得平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台，故A错误；
B.若向量，的夹角为钝角，则，且，解得且，故B错误；
C.若，，且有两解，则，即的取值范围是，故C正确.
D.设，，
由得，
则为的重心，
设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，，故D正确.
故选：AB
6．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列说法不正确的有（ ）
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C．在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
D．过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大
【答案】ACD
【分析】根据棱柱的性质，圆锥和圆柱的概念可得答案.
【详解】斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，故A错误；
由圆锥的概念可知，B正确；
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故C错误；
过圆锥顶点的截面中，是否是轴截面面积最大，取决于截面三角形的顶角是否小于，故D错误.
故选：ACD.
7．（24-25高一下·安徽·期中）下列选项中说法正确的是（ ）
A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台
【答案】BC
【分析】根据空间几何体的几何特征逐项判断即可.
【详解】对于A，以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A 错误；
对于B，等腰三角形底边上的中线与底边垂直，由圆锥的特征易知B正确；
对于C，棱锥的侧面都为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确；
对于D，如图所示，四边形和是相似的矩形，
但显然该几何体不是四棱台，故D错误.
故选：BC.
8．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是
【答案】A
【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可．
【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，
所以正四面体的表面积．故D选项正确；
如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心，
正四面体各棱长为，则，，，
四面体的体积为，故A选项错误；
正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r，
则有，即，解可得，C选项正确；
将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，
∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为，
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，
所以正方体的对角线为，，．故B选项正确．
故选：A．
9．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案.
【详解】长方体的外接球的半径.
则接球表面积为.
故选：B.
10．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
【答案】B
【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解.
【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为.
故选：B.
二、填空题
11．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是______，体积是______．
【答案】
【分析】根据题设易知，易得外接圆的半径，若球体的半径为，结合已知有求半径，进而求球体的表面积、体积.
【详解】由题设，则，故外接圆的半径，
若球体的半径为，则球心到截面的距离为，故，
所以，故球的表面积是，体积为.
故答案为：，
三、解答题
12．（24-25高一下·安徽·期中）梯形中，，，．
(1)若，以为基底表示；
(2)将梯形绕所在的直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可求出，进而由，得出，即可根据图象得出答案；
（2）分析可得出该梯形，绕所在的直线旋转一周为一个以为半径，为高的圆柱挖去两个以为半径，为高的圆锥（挖去部分表面积等于该圆锥的侧面积）.然后依次求出各部分的面积，相加即可得出答案.
【详解】（1）
如图，分别过点作，垂足为.
由题意可知，梯形为等腰梯形，且，，
所以，，，则可得.
由已知可得，
所以有，
所以有，
所以.
（2）易知该梯形，绕所在的直线旋转一周为一个以为半径，为高的圆柱挖去两个以为半径，为高的圆锥（挖去部分表面积等于该圆锥的侧面积）.
每个圆锥的侧面积为；
圆柱的侧面积为.
所以所得几何体的表面积为．
13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处.
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由棱柱、圆锥的体积公式即可求解；
（2）由棱柱、圆锥的表面积公式即可求解.
【详解】（1）正三棱柱的底面积为.
∴正三棱柱的体积为.
设正三角形的内切圆半径为，
∴，∴，
∴圆锥的体积为，该几何体的体积为.
（2）∵正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，
倒圆锥的母线长为.
倒圆锥的侧面积为.
∴该几何体的表面积为.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用侧棱长表示出，再在侧面中，利用余弦定理列方程求出侧棱长，然后可得三条侧棱两两垂直，通过补形法即可求解.
【详解】设，则，，
因为，则，
在中，因为，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
可知，即，所以，，两两垂直，
可以把三棱锥补形棱长为的正方体，可知球即为正方体的外接球，
其体对角线即为外接球的直径，即，，
所以球的体积．

故选：D
2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线共面
B．
C．点P是线段上的动点，则满足的点P有且只有一个
D．过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
【答案】ABD
【分析】对于A项，连接，证明∥即可；对于B项，由即可求解；对于C项，考虑P为B点和中点时即可；对于D项，延长FE和交于G点，连接交AB于M，连接EM，延长EF和交于H点，连接交于N，连接FN即可.
【详解】
对于A项，如图①，连接，在正方体中，因为∥，，
所以四边形为平行四边形，故有∥，
又分别是棱的中点，则∥，故∥，即可确定一个平面，故A项正确；
对于B项，如图②，，故B项正确；
对于C项，当P和B重合时，显然AP⊥PC；当P为中点时，则，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以CP⊥平面，
因为平面，所以CP⊥AP.故满足的点P不止一个，故C错误.
对于D项，如图，延长FE和交于G点，连接交AB于M，连接EM；
同理延长EF和交于H点，连接交于N，连接FN，
则五边形为过直线EF的截面，故D正确.
故选：ABD．
3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点，
上、下底面三角形的高分别为，，
所以，，
所以，又，
所以正三棱台的高为，
上底面积为，下底面积为，
所以正三棱台的体积为.
故选：.
二、填空题
4．（24-25高一下·安徽·期中）如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为___________.
【答案】
【分析】逐步分割长方体，即可得四面体的体积.
【详解】如图，因为长方体的体积，即，
所以三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，
所以四棱锥和四棱锥的体积，
所以四面体的体积
故答案为：.
5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）假设你有一张半径为的半圆形纸片，圆心为，现剪掉一个半径为的半圆（圆心仍为），再将纸片卷成一个圆台的侧面，则该圆台的体积为__________.
【答案】
【分析】求出圆台上、下底面半径和高，结合台体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：

圆台可视为在圆锥中截去圆锥而成，
设圆锥的底面半径为，则，解得，
圆锥的母线长为，圆锥的高为，
同理可知，圆锥的底面半径为，高为，
所以，圆台的高为，
因此，圆台的体积为.
故答案为：.
6．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，一圆锥的侧面展开图中，，弧长为，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥可以整体放入半径为的球内
D．该圆锥可以整体放入边长为的正方体中
【答案】ABD
【分析】对于A由扇形面积公式即可判断，对于B计算圆锥的半径和高，利用圆锥曲线的体积公式即可求解，对于C设圆锥外接球的半径为，即得求出与比较即可，对于D正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图2，此平面到顶点的距离为体对角线的一半，计算平面截正方体得的正六边形的边长和点到该正六边形的高即可判断.
【详解】对于A：因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为，所以圆锥的侧面积为，故A正确；
对于B：设圆锥底面半径为，则，解得，
圆锥的高，母线长，圆锥体积，故B正确；
对于C：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为，
过点的轴截面如图1，为外接球球心，则，解得，故C错误；
对于D：过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图2，此平面到顶点的距离为体对角线的一半，即为，
平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为，
以该圆作为圆锥的底面，点为顶点即可得到圆锥.故D正确.
故选：ABD.
7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（ ）

A． B． C． D．20
【答案】C
【分析】利用割补法求解几何体体积即可.
【详解】如图，把几何体补全为长方体，则，，

所以该几何体体积为.
故选：C.
三、解答题
8．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积．
【答案】，．
【分析】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可．
【详解】由题意，球的一个截面圆的面积是．
则，
则，
在中，，
则，
解得，
所以球的表面积为，
．
9．（24-25高一下·安徽·期中）在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm.
(1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积；
(2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆锥和圆柱的体积公式计算容积.
（2）利用圆锥、圆柱的侧面积公式求容器的表面积.
【详解】（1）圆锥的底面半径为20cm，高为20cm，所以圆锥的容积为：
（），
圆柱的底面半径为20cm，高为50cm，所以圆柱的容积为：
（），
所以该容器的容积为：
（）.
（2）圆锥的侧面积为：（），
圆柱的侧面积为：，
圆柱的底面积为：（）.
所以需要涂防水涂料的面积为：（）.
10．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.

(1)求圆台的体积；
(2)在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得圆台的下底面和上底面的半径，又由梯形的面积求得高，最后利用圆台的体积公式即可求解；
（2）由圆台性质，延长交于点，由与相似即可计算,设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角为，在侧面展开图中，连接，即可计算出的最短距离.
【详解】（1）由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，
设圆台的高为，则，所以，
所以圆台的体积为.
（2）在梯形中，，即母线长为3.
如图，由圆台性质，延长交于点，
由与相似，得，即，解得.
设该圆台的侧面展开图的圆心角为，
则，所以，
在侧面展开图中，连接，则从点到的最短路径为线段，
又在中，，
由余弦定理得，
所以.
验证知，由，得，
此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意.

一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形，已知 ，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可.
【详解】如图，根据斜二测画法画性质可得，作于，于，
则三角形、为两个全等的等腰直角三角形，故.
则.
画出原四边形ABCD，可知
且 ，则四边形 ABCD 为直角梯形，其面积为
故选：D
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直观图的画图原则画出原图图形，则可得出直角梯形的边长，再利用圆台的体积公式计算即可.
【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，，
则圆台的上底面半径，下底面半径，高，
则上底面面积，下底面面积，
由圆台的体积公式.
故选：C.
3．（24-25高一下·安徽·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】记与轴的交点为D，依题意可得，利用勾股定理求出，最后根据计算可得.
【详解】记与轴的交点为D，
因为，所以，
又轴，所以四边形为平行四边形，所以，
由题意可知：，
因为轴，，所以轴，
又，所以，所以，
．
故选：B．
4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长.
【详解】从直观图可得，
原图形为：
则四边形OABC为平行四边形，，
，
所以其周长为.
故选：C.
5．（24-25高一下·安徽·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的周长为（ ）
A．10 B．8 C．14 D．
【答案】C
【分析】在直观图中求出，画出原图形，由斜二测法定义得到各边长，求出周长
【详解】在直观图中可以得到，，
在直观图中，由勾股定理得，
画出原图形，则，
在原图形中，，由勾股定理得，
其中，
所以的周长为
故选：C．
6．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质.
【详解】
由斜二测画法可知，原图中的，
再用勾股定理可得：，
同理可得，所以原图是等边三角形，
故选:A.
二、填空题
7．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______
【答案】
【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积.
【详解】由题意，，
原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为，
可得．
故答案为：．
三、解答题
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
(1)求平面四边形的面积；
(2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】(1)面积为5；
(2)体积为，表面积为．
【分析】（1）把直观图还原为原平面图，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可；
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱和圆锥的组合体，计算其体积和表面积即可.
【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，
其中，，，如图所示：
所以平面四边形的面积.
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，
其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为1，母线长为，
则旋转体的体积为，
表面积为.
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