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专题07 复数
3大高频考点概览
考点01复数的概念
考点02复数的运算
考点03复数的几何意义
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，则（ ）
A．
B．复数，则
C．复数在复平面内所对应的点位于第一象限
D．复数是方程在复数范围内的一个解
3．（24-25高一下·浙江·期中）设复数为，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若，是复数，则
C．若，是复数，，则
D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）．
A．若，则，且
B．若，则，且
C．若，则向量和相等或相反向量
D．若，则
8．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
二、填空题
9．（24-25高一下·安徽池州·期中）若实数满足，其中为虚数单位，则__________.
10．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是__.
11．（22-23高一下·河北承德·月考）已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则=______.
12．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.
三、解答题
13．（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)求实数的值；
(2)设复数，求；
14．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，其共轭复数为，为实数.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
15．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足
(1)求a；
(2)若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值.
16．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
17．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数，则为（ ）
A．1 B．2 C． D．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
2．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽·期中）设，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数 则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．（24-25高一下·安徽·期中）若复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．5
7．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，（，是虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求；
(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值.
9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心.
(1)求；
(2)记的内角的对边分别为，且.
①判断的形状，并说明理由；
②求的面积.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）下列关于复数的说法中，正确的是（ ）
A．若复数满足满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
B．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等
C．若，则为实数
D．若，则
2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点的集合是圆
C． D．
4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，为实数，则（ ）
A．可能为实数
B．可能为纯虚数
C．若在复平面内所对应的点在第三象限，则
D．若，则
二、填空题
5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________.
6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设是复数且，则的最大值为______．
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专题07 复数
3大高频考点概览
考点01复数的概念
考点02复数的运算
考点03复数的几何意义
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解.
【详解】，
所以的共轭复数为.
故选：.
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，则（ ）
A．
B．复数，则
C．复数在复平面内所对应的点位于第一象限
D．复数是方程在复数范围内的一个解
【答案】CD
【分析】根据复数的概念和性质、四则运算逐项判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，复数不能比大小，B错误；
对于C，复数在复平面内对应的点是，位于第一象限，C正确；
对于D，方程，其中，
方程的两根为，D正确.
故选：CD
3．（24-25高一下·浙江·期中）设复数为，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由共轭复数的定义，复数的模及复数的运算逐项求解判断.
【详解】对于A，，又，所以，故A正确；
对于B，，又，故B错误；
对于C，，又，故C错误；
对于D，因为，又，故D正确.
故选：AD.
4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若，是复数，则
C．若，是复数，，则
D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面
【答案】BD
【分析】根据复数的概念，可判定A错误；设复数，根据复数的运算法则，求得和，可得判定B正确；由，得到，由，可得判定C错误；根据复数模的几何意义，可判定D正确.
【详解】对于A中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以A错误；
对于B中，设复数，
可得
因为，所以，所以B正确；
对于C中，设复数，
可得，，
则，，
若，则，
又由，不能推出，所以C错误；
对于D中，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，所以D正确.
故选：BD.
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】通过共轭复数的概念得到共轭复数，进而可求解.
【详解】因为，即对应的点，
在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用复数的相关概念求出复数的实部和虚部，进而求出的模.
【详解】设，由为纯虚数，为实数，
得，，所以.
故选：A
7．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）．
A．若，则，且
B．若，则，且
C．若，则向量和相等或相反向量
D．若，则
【答案】AC
【分析】举反例即可说明A，C错误；对于B，只有，才有；对于D，只有，才有，由比判断D.
【详解】对于A，若，，则满足，但此时，故A错误；
对于B，，若，则故B正确；
对于C，若，则满足，此时，
同理，此时和即不是相等何量，也不是相反向量，故C错洖；
对于D，故，此时，故，故D正确.
故选：AC．
8．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
【答案】BD
【分析】对于A令即可判断，对于B设，计算，求即可判断，对于C令，则，但复数不能比较大小，对于D设，计算和即可判断.
【详解】对于A，令，则，不满足，故A错误；
对于B，设，若，则，所以，即，故B正确；
对于C，令，则不是实数，不能比较大小，故C错误；
对于D，设，
易知，
又，所以，故D正确.
故选：BD.
二、填空题
9．（24-25高一下·安徽池州·期中）若实数满足，其中为虚数单位，则__________.
【答案】
【分析】用复数相等来计算即可.
【详解】由，可得，解得，
所以.
故答案为：.
10．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是__.
【答案】
【分析】解不等式可求数a的取值范围.
【详解】由复数z的虚部大于0，得 ，解得
故答案为：
【答案】
【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得.
【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为，
由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，
则解得
.
故答案为：
11．（22-23高一下·河北承德·月考）已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则=______.
【答案】
【分析】根据题意先求出复数，然后代入中计算即可.
【详解】由题意：，
所以.
故答案为：
12．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.
三、解答题
13．（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)求实数的值；
(2)设复数，求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由共轭复数定义可知，再由纯虚数定义可知.
（2）将代入，利用复数的除法法则求得，可求.
【详解】（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
（2），
所以.
14．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，其共轭复数为，为实数.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【答案】(1).
(2)或.
【分析】（1）根据共轭复数的概念代入计算得，最后利用复数的乘方运算即可得到答案；
（2）根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可得到方程，解出即可.
【详解】（1），所以.
（2），解得或.
15．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足
(1)求a；
(2)若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案；
（2）根据根与系数的关系可求答案.
【详解】（1）由题意知复数z在复平面内对应的点为，
因为点Z在第一象限，所以，
由，得，
即 则 所以.
（2）由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根，
因此，解得.
所以
16．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．
（2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，再结合复数的模的运算法则即可求解．
【详解】（1）设，
则，
所以，解得，
故.
（2）是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，
.
17．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数，则为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据复数模的求法即可求解.
【详解】，
故选：D.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】A
【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解.
【详解】因为，所以复数的虚部为，
故选：A.
2．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，，根据已知得到、，进而求.
【详解】令，，则，
所以，且，
所以，可得，故，
所以.
故选：B
3．（24-25高一下·安徽·期中）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出，即可求出.
【详解】，
则.
故选：D.
4．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数 则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】化简复数，再根据求复数的模的公式即可得解.
【详解】因为
所以
故选：C.
5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.
【详解】，
则.
故选：B.
6．（24-25高一下·安徽·期中）若复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简得出，进而求解，计算即可得出答案.
【详解】由已知可得，
所以，
则.
故选：A．
7．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数的概念即可得解．
【详解】依题意，，则，
所以的虚部为．
故选：A．
二、解答题
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，（，是虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求；
(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先利用复数的除法运算化简，求出，进而可得；
（2）把根代入方程，利用复数相等可求答案.
【详解】（1），
∵是纯虚数，∴，且，
解得，；
（2）依题意，，，
即且，
即或.
9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心.
(1)求；
(2)记的内角的对边分别为，且.
①判断的形状，并说明理由；
②求的面积.
【答案】(1)1
(2)①直角三角形，理由见解析；②
【分析】（1）利用三角形的外心特点得到，结合复数的运算性质可得结果.
（2）①利用降幂公式和余弦定理推得，即可得到结果；
②设，则得，可得与复平面的实轴垂直，与复平面的虚轴垂直，求出的值，得到的长，即可求的面积.
【详解】（1）点是的外心，，即，
由，得，
在第一象限，，故.
（2）①，
，
.
由余弦定理知，两式相加可得，
，故是直角三角形.
②设，则，，
，
与复平面的实轴垂直，
由①得，，则与复平面的虚轴垂直，，
在第一象限，，故，
， .
，
，
的面积为.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽·期中）下列关于复数的说法中，正确的是（ ）
A．若复数满足满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
B．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等
C．若，则为实数
D．若，则
【答案】ACD
【分析】设，化简结合已知以及复数的几何意义可得出A项；举例即可判断B项；设，，代入化简即可判断C项；求解得出的所有复数根，逐个验证即可判断D项.
【详解】对于A项，设，
则，，
所以有，.
因为，所以有，
整理化简可得，由复数几何意义知，复数在复平面对应的点在直线上，A正确；
对于B，当时，为纯虚数，其实部和虚部不相等，故B错误；
对于C，设，，则，
则，故C正确；
对于D，因为，所以，即，解得或.
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，，故D正确．
故选：ACD.
2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】化简复数，进而求得，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，则，
所以在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
3．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点的集合是圆
C． D．
【答案】BCD
【分析】结合题意，通过取反例排除A项；由复数的几何意义可判断B项；设（），利用复数的乘法运算可判断C项；根据复数的几何意义，结合两向量差的模的性质即可推得D项.
【详解】对于A，设 符合题意，但，故A错误；
对于B，由，可得对应的点的轨迹是圆，故B正确；
对于C，设（），由可得，
则，故C正确；
对于D，设复数对应的向量分别为，则，
因，故得，即D正确.
故选：BCD.
4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，为实数，则（ ）
A．可能为实数
B．可能为纯虚数
C．若在复平面内所对应的点在第三象限，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用复数的乘法求出复数，分别从复数的组成，几何意义以及模长定义，逐一判断各选项即得.
【详解】因.
对于A，当时，，故A正确；
对于B，因，且，故不可能为纯虚数，即B错误；
对于C，因复数在复平面内所对应的点的坐标为，依题意，，故C正确；
对于D，由，可得，化简得，解得，故D正确.
故选：ACD.
二、填空题
5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________.
【答案】/
【分析】根据复数的几何意义列出不等式组，求解即可得到答案.
【详解】由题意，复数对应的点在第二象限，需满足：
解得且，故的取值范围为.
故答案为：.
6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设是复数且，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离.
由图可知，.
故答案为：.
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