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专题06 立体几何线面位置关系
3大高频考点概览
考点01空间几何体位置关系符号语言
考点02线面平行、面面平行性质定理与判定定理
考点03立体几何求值问题（线线夹角、线面夹角）
选择题
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，且，，则
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行
3．（24-25高一下·安徽·期中）为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A．，则
B．与所成角均为，则
C．，则直线到的距离相等
D．，则
4．（24-25高一下·安徽安庆·期中）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是异面直线
D．若，则
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，直三棱柱的体积记为，则（ ）
A．有7个顶点 B．有6个面
C．直线平面 D．
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则（ ）

A．存在点线段，使，，，四点共面
B．存在点线段，使平面
C．若点满足（），则与点位置有关
D．经过，，，四点的球的表面积为
3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有5个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D．若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
填空题
4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________.
解答题
5．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数.
6．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
(3)若，，求三棱锥的体积．
7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
(1)求证：面；
(2)求证：面；
(3)当平面时，面与交于，求的值．
8．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)过F点作平面平面交于点，交于点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________.
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，是正四面体棱，的中点，正四面体棱长为4，则异面直线，所成角的余弦值为_________．
三、解答题
4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.
(1)证明：直线交于同一点；
(2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长.
5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知正四棱锥.
(1)证明：平面；
(2)当时，求该正四棱锥外接球的体积；
(3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.
6．（24-25高一下·安徽安庆·期中）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
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专题06 立体几何线面位置关系
3大高频考点概览
考点01空间几何体位置关系符号语言
考点02线面平行、面面平行性质定理与判定定理
考点03立体几何求值问题（线线夹角、线面夹角）
选择题
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，且，，则
【答案】C
【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误；
对于B，由，，，，得或与相交，B错误；
对于C，由，，，得，C正确；
对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误.
故选：C
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行
【答案】D
【分析】令a，b共面，分或进行判断.
【详解】令a，b共面，则，
若，，，则，
又，，所以，则；
若，则，而，所以，
所以a，b，l交于一点，
，b，l交于一点或互相平行.
故选：D
3．（24-25高一下·安徽·期中）为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A．，则
B．与所成角均为，则
C．，则直线到的距离相等
D．，则
【答案】B
【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知平行.
【详解】对于A，当时，根据线面垂直的定义，由，可知必有，故当，时，可以不与平面平行，故A错误；
对于B，根据线面角的定义，可知当都与平面成角时，，由线面垂直的性质定理知平行，故B正确；
对于C，如图所示，，但直线到的距离可以不相等，故C错误；
对于D，，则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误．
故选：B．
4．（24-25高一下·安徽安庆·期中）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是异面直线
D．若，则
【答案】D
【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可．
【详解】对于A中，，若，则直线可能平行或异面，所以A错误．
对于B中，若，则或，所以B错误．
对于C中，若，则位可能平行、相交或异面，所以C错误．
对于D中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以D正确．
故选：D
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，直三棱柱的体积记为，则（ ）
A．有7个顶点 B．有6个面
C．直线平面 D．
【答案】BCD
【分析】对于A，B两项，只需根据图形按一定顺序统计即得；对于C，取的中点，连接，证明，即可由线线平行证明线面平行；对于D，结合图形和题设条件，找到两个三棱锥的底面面积与三棱柱的底面面积的倍数关系，以及两者的高的关系，利用体积公式计算即得.
【详解】对于A，如图可知，含有共8个顶点，故A错误；
对于B，由图知，包含平面和共6个面，故B正确；
对于C，如图，取的中点，连接，
因分别为所在棱的中点，点是的中点，
易得，可得，
则有，又平面，平面，
故有平面，故C正确；
对于D，由图易得，
则有，故有；
又因，故有，
于是，故D正确.
故选：BCD.
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则（ ）

A．存在点线段，使，，，四点共面
B．存在点线段，使平面
C．若点满足（），则与点位置有关
D．经过，，，四点的球的表面积为
【答案】AB
【分析】对于A，由条件结合正方体性质证明，由此证明，，，四点共面，由此判断A，对于B，取中点为，证明，根据线面平行判定定理证明平面，由此判断B，对于C，由条件证明点，，三点共线，由此证明点到平面的距离等于点到平面的距离，结合锥体体积公式判断C，对于D，取中点，中点，可得长方体的外接球即过，，，四点的球，再求长方体的外接球的半径及表面积即可判断D.
【详解】对于A，连接，，，正方体中易知，
，分别是，中点，则，所以，
即，，，四点共面，当与重合时满足，，，四点共面，A正确；

对于B，如图，取中点为，连接，，，
因为，分别是，中点，则与平行且相等，是平行四边形，所以，
又是中点，是中点，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，B正确；

选项C，因为（）
所以，
所以，即，
所以点，，三点共线，
又平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
三棱锥的体积，
所以为定值，与点位置无关，C错误；
选项D，取中点，中点，连接，，，，
由已知多面体为长方体，它的外接球就是过，，，四点的球，
所以过，，，四点的球的直径为，半径为，表面积为，D错误．

故选：AB．
3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有5个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D．若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
【答案】ACD
【分析】利用棱柱的几何特征可判断A选项；利用圆锥的几何特征可判断B选项；利用面面平行的定义和线面平行的性质定理可判断CD选项，.
【详解】对于A选项：一个棱柱最少有5个面，且此棱柱为三棱柱，故A正确；
对于B选项：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两
个圆锥拼接而成的组合体，故B错误；
对于C选项：若平面内任意直线和平面平行，则平面内任选两条相交直线与平面平行，由面面平行判定定理可知平面，故C正确；
对于D选项：若直线平行于平面，则在平面内存在直线，使得，
则在平面内垂直于直线的直线都垂直于直线，故D正确.
故选：ACD.
填空题
4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________.
【答案】
【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案.
【详解】连接相交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
可得.
故答案为：.
解答题
5．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由三角形中位线及线面平行的判定定理进行证明；
（2）通过转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可；
（3）连接，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果.
【详解】（1）连接，则为中点，又点为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角，
在等腰直角三角形中，设，则，，，
在中，由余弦定理得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）连接，如图所示，
因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
则，即，所以.
6．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
(3)若，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）取的中点，连接，，易得，且，
所以四边形为平行四边形，再根据线面平行判定证明.
（2）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得．
（3）利用三棱锥体积公式算出体积.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
又，分别为，的中点，
所以易得，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）证明：取中点，连接，，
则易知，，，平面，
所以平面，平面，
所以；
（3），，则三棱锥的体积
．
7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
(1)求证：面；
(2)求证：面；
(3)当平面时，面与交于，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知结合余弦定理可得出，即，进而得出.然后根据线面平行的判定定理，即可得出证明；
（2）根据已知结合线面平行的判定定理，得出面.根据线面平行的性质定理结合已知得出.进而即可根据线面平行的判定定理，得出证明；
（3）设，根据已知条件结合线面平行的性质定理得出.进而根据梯形的性质求出.根据线面平行的性质定理得出，，.然后可求出，进而得出，根据等体积法即可得出答案.
【详解】（1）由为正三角形且可知.
又因为，且，在中，由余弦定理得
，
所以，所以，所以，即.
所以，又因为平面，平面，
所以面.
（2）因为，平面，平面，所以面.
又面，面面，所以.
又面，面，所以面.
（3）
设，如图，连接交于点，连接.
因为平面，平面，平面平面，所以.
在梯形中，，，，
所以有，所以.
因为，所以有，所以．
因为面与交于，面与交于，，
所以有平面平面.
又面，面，所以.
又，所以，，
所以，.
设梯形高为，则.
由，可知，所以.
又四棱锥与三棱锥高相等，
所以．
所以有．
8．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)过F点作平面平面交于点，交于点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)（i）证明见详解；（ii）
【分析】（1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证；
（2）（i）由面面平行的性质定理可证；（ii）猜测点H为靠近点P的三等点，在此基础上证明平面平面即可.
【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形，
所以为的中点，而为的中点，所以，
又平面平面；
所以平面；
（2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可得；
（ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明：
因为为上的点，且，所以在中，，所以，
由（1）知平面，因为平面，所以平面，
由（i）可知，因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，所以.
一、选择题
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，由题意可得出是的重心，可得，即可得出答案.
【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，
则由，，得C是DG中点，
是PD中点，是的重心，
，即.
故选：A.
二、填空题
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________.
【答案】10
【分析】根据对称性截面四边形的周长的最小值，即取最小，再利用侧面展开图，当B，E，三点共线时，最小即可求解.
【详解】由题意，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
所以四边形为平行四边形，则周长，沿将右面和后面相邻两面展开，
当B，E，三点共线时，最小，最小值为，
所以截面四边形的周长的最小值为10.
故答案为：10.
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，是正四面体棱，的中点，正四面体棱长为4，则异面直线，所成角的余弦值为_________．
【答案】
【分析】根据异面直线所成角的定义找到异面直线的夹角，结合正四面体的性质、三角形中位线的性质、余弦定理进行求解即可.
【详解】如图，取中点，连接，，由是的中点，
可得是的中位线，结合中位线定理得，
因为是的中点，所以，
则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4，
由是的中点，得，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
三、解答题
4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.
(1)证明：直线交于同一点；
(2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析，
【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可；
（2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长.
【详解】（1）证明:正方体中，如图连接，
因，则四边形是平行四边形，则，
因分别是的中点，则，
故，所以四点共面，因，
则相交，设交点为，则，而平面，则平面，
同理平面，而平面平面
故，即点在直线上，所以直线交于同一点.
（2）
如图所示，依次连接，
易证，故四点共面.
则即为所求截面.
而，
所以的周长为.
5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知正四棱锥.
(1)证明：平面；
(2)当时，求该正四棱锥外接球的体积；
(3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3).
【分析】（1）根据已知的线线平行关系以及直线与平面的位置关系，利用判定定理证明线面平行.
（2）通过正四棱锥底面正方形中心到各顶点距离以及已知的棱锥侧棱长，确定外接球的球心和半径，再利用球的体积公式求解外接球体积.
（3）对外接球，根据几何关系建立方程求解半径R；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用体积法求出内切球半径 r，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的h 值.
【详解】（1）证明：因为平面平面，所以平面.
（2）底面正方形的中心记为，则，
因为，
所以，即正四棱锥的外接球的球心为，半径为1，所以外接球体积为.
（3）对外接球：，解得：，
对内切球：，
故四棱锥表面积，
由体积法：，
所以，
令，则，
进而，
当且仅当，即时，取最小值，此时.
6．（24-25高一下·安徽安庆·期中）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）以为原点，求得平面的一个法向量为，结合，证得平面，进而证得；
（2）由（1）知：平面的一个法向量为，再由，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）由平面，得到为平面的一个法向量，再由平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，
设平面的一个法向量为，则 ，
令，则，所以，
又因为，
所以平面，因为平面，所以．
（2）解：由（1）中的空间直角坐标系，因为，所以，
且平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：因为平面，可得为平面的一个法向量，且，
由（1）平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
则平面与平面夹角的余弦值为．
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