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四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数z满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生 女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、多选题
9．已知平面向量，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（ ）
A．双曲线的渐近线斜率为
B．
C．的面积为
D．的最小值为
11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．
三、填空题
12．已知成等比数列，且，若，则__________.
13．已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________.
14．已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个.
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
16．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.
17．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为．
①求的长；
②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面．
18．已知椭圆的左焦点为.
(1)求的离心率；
(2)为上一点，在处的切线为.
①证明：的方程为；
②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值.
19．设函数.
(1)当时，证明：；
(2)已知函数在区间内存在极值点.
①求的取值范围；
②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．C
6．D
7．A
8．C
9．ABD
10．ACD
11．ABD
12．2
13．
14．
15．（1）解：，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以，因为，所以；
（2），，
，即，
解得（负值已舍去），则，
.
16．（1）因为，
所以，
所以
，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），
则，
则经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）
17．（1）
连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，所以，，
因为沿翻折至，所以，且，
又平面，，
所以平面；
（2）①由（1）知，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，故，
菱形中，，，，
所以在中，，
故，即；
②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，
因为在平面上的射影为，平面平面，所以．
过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接，
由①知，，，故，从而，，
因为与相似，所以，故，
所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
18．（1）由椭圆知，
故，所以的离心率；
（2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上，
由，联立消去得，
即，
也即，
将代入上式化简，得，
因为，
故切线的方程为；
②由①知，的方程为，当时，，则得，
由于，故直线的斜率，
由于，故直线的斜率，
又与交于点，
所以，
设，则，
化简得的轨迹方程为，
，
所以当时，的最小值为．
19（1）设，
则，
因为，所以，
则函数在上单调递增，所以，
得当时，，即得证．
（2） ，
，
因为函数在区间内存在极值点，
所以在内有变号零点．
①当时，因为，所以，
得 恒成立，
得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
当时，令，
则 ，
所以函数在上单调递减，
又 ，
若 ，即，
则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
若 ，即，
因为函数在上单调递减，且 ， ，
所以存在，使得 ，即，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，符合题意，
故的取值范围为：．
②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，得，则，
得在上单调递减，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，
而 ，
，
而 ，
由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得，
即存在唯一的零点，使得．
接下来比较与的大小，
因为，
由，得，得，
则 ，
令，
得
，
令，得，
得在上单调递减，得，
而 ，
令，
得，
得在上单调递减，得，
得，
得 ，
得在上单调递减，得，
得 ，而，得 ，
因为，所以，得，而，
而当时，在上单调递减，
得．

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