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重难点01数列的通项公式
5大高频考点概览
考点01 累加法求数列通项
考点02 累乘法求数列通项
考点03 利用与的关系求通项
考点04 定义法求通项
考点05 构造法求通项
1．(24-25高一下·北京平谷区·)如图，在棱长为2的正方体中，M、N分别是BC、CD的中点，点P是线段上的动点，点Q是侧面上（包括边界）的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有；
②存在无数组点P和点Q，使得平面；
③点P由滑到时，三棱锥体积逐渐增大；
④使得平面的点Q的轨迹长度为．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理可得判断①；根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质判断②；根据线面平行的判定定理得平面，即可确定锥体的高为定值，又的面积为定值即可判断③；先作出的面积截面，然后根据面面平行的判定求出点Q的轨迹，利用勾股定理求其长度判断④.
【详解】对于①，因为，，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理，，又，平面，
所以平面，而点P是线段上的动点，即平面，
所以，正确；
对于②，因为，，且，平面，
所以平面，在中，只要满足，都有平面，
即存在无数组点P和点Q，使得平面，正确；
对于③，因为M、N分别是BC、CD的中点，所以，
所以，平面，平面，所以平面，
所以直线上各点到平面的距离相等，又的面积为定值，
所以三棱锥体积不变，错误；
对于④，设直线与直线分别交于，连接，
分别交于，连接，
则五边形即为平面截正方体的截面；
由于M、N分别是BC、CD的中点，故，
由于，故，同理,
又，则，则，，
同理可求得，，即点为上靠近的三等分点，
点为上靠近的三等分点，
取点为上靠近的三等分点，连接，
则，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
平面，所以平面，所以点Q的轨迹为，
所以，正确.
故答案为：①②④
2．(24-25高二下·北京育英学校·期中)已知数列满足，，给出下列四个结论：
①数列的前n项和；
②数列的每一项都满足；
③数列的每一项都满足；
④存在，使得成立
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③
【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对②③④进行判断，算出即可判断①.
【详解】，，，
，①错误；
，为单调递减数列，
又因为，，
若，则，
所以当时，，所以，②正确；
由可得，即，
又，两边同时除以，可得：
，，… ，，
累加可得，即有，
当时，，所以，④错误；
，，，满足；
由④可知，且时，
，
可得，则，故③正确.
故答案为：②③.
3．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值．
【答案】 8
【分析】根据给定条件的递推公式依次计算求出；再利用累加法求出通项公式即可求解.
【详解】数列满足，由，得；
当时，
，
所以当时，取得最小值.
故答案为：；8
4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则__________；数列的前项和__________．
【答案】
【分析】由题意可得，即可求出，再利用累加法求出数列的通项，再根据等比数列的前项和公式即可得解.
【详解】由题意，
则，
当时，
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故答案为：；.
5．(24-25高二下·北京八一学校·期中)已知无穷数列，给出以下定义： 对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”．
(1)已知数列、的通项公式为，，试判断数列，数列是否为数列”，并说明理由；
(2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有”；
(3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，．求数列的最小项的最大值．
【答案】(1)数列是“数列”，数列不是“数列”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用“数列”的定义判断即可；
（2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取，即可求证充分性，
（3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解.
【详解】（1）因为数列、的通项公式为，，
则，故数列是“数列”，
，即，
故数列不是“数列”.
（2）先证明必要性：
因为为“数列”，所以对任意的，都有，即，
所以对任意的、、，当时，
有，
所以，
又，
所以，
又，则
故，即，故，
再证明充分性：
对于任意的、、，当时，有，
即，
对于任意的,，则有，
即可，所以为“数列”，
因此，数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有.
（3）数列为“严格数列”，且对任意的，有，即，
设，则为单调递增数列，且，
所以
因为，，所以，
所以存在，时，，，
所以，当，，，数列为单调递减数列，
当，，，
因此存在最小值，且最小值为，
由于，所以，，，，
且，，，
所以，即，
，即
所以，
因为，
当时，，
当时，，
当时，
所以当时，的最大值为，
此时，因为，
所以数列的最小项的最大值为.
1．(20-21高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)数列中，若，，则___________.
【答案】
【分析】根据已知条件，再利用累乘法，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
所以，当也适用.
故答案为：.
2．(22-23高二下·北京第二十五中学·期中)数列中，若，，则__________.
【答案】
【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.
【详解】由题意，，可得，所以，
所以.
故答案为：.
3．(23-24高二下·北京顺义区第一中学·期中)设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
给出下列四个结论：
①当为等差数列时，；
②当为等差数列时，公差；
③当数列满足时，；
④当数列满足时，时，.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】根据题意可得，且,，，2，，10．对①②结合等差数列的性质分析运算；对③根据等比数列求和以及分布列的性质即可分析运算；对④根据递推关系作差，结合累乘迭代即可求解．
【详解】由题意可得：，且,，，2，，10，
对①：当为等差数列时，则，
可得，故，①正确；
对②：当为等差数列时,由①知，所以，
由于,，所以，解得：，故②错误；
对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，
则，
可得,，③正确；
对④：当数列满足，2，时，则，
可得，,3，时,所以，
由于，所以，
因此，
由于，所以，因此，
当也符合，故，④正确．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了数列的递推公式，根据数列给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式．
1．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)设数列的前n项和为，则的值为（ ）
A．63 B．48 C．15 D．14
【答案】D
【分析】由与的关系即可求解.
【详解】，
故选：D
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)设数列的前项和为．若，，则（ ）
A．18 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根据作差得到，再一一求出前几项即可.
【详解】因为，当时，
所以，即，
所以，
又，所以，
由，则，由，则，由，则，
由，则.
故选：B
3．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)数列的前项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的表达式，再由即可得解.
【详解】因为数列的前项和为，点在函数的图象上，
所以，，故.
故选：A.
4．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)函数的定义域为，无穷数列的前n项和为，写出一个能说明命题“若，则”为假命题的函数的表达式：______．
【答案】
【分析】可根据数列前项和与的关系，结合命题为假的条件来确定函数的表达式．需要明确，若要使“若，则”为假命题，只需即可．
【详解】已知数列的前项和为，根据数列的性质可得．
若，要使“”为假命题，
则当时不满足该式，即，也就是．
满足的函数有很多，比如，此时．
当时，，而，，满足命题为假的条件．
故答案为：（答案不唯一）．
5．(24-25高二下·北京第十五中学·期中)已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使不等式成立的的最小值；
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)10
(3)
【分析】（1）利用的关系式即可求得；
（2）代入不等式可解得，即的最小值为10；
（3）采用分组求和，利用等比和等差数列前项和公式代入计算可得结果.
【详解】（1）当时，可得，
当时，，
显然符合上式，
数列的通项公式为；
（2）因为，所以等价于，
解得或（舍），
又，所以的最小值为10；
（3）由（1）可知，
所以
.
即可得.
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．12 D．21
【答案】A
【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值.
【详解】由得，，
因，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，则，
故.
故选：A
2．(23-24高二下·北京育才学校·期中)在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______.
【答案】
【分析】求出等差数列的首项，直接求出的通项公式即可，利用数列的单调性得最小项为或，利用累加法即可求解.
【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以；
故，所以当时，，当时，，
所以，显然的最小值是或.
又，所以
，即的最小值是.
故答案为：，
3．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案；
（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为，
所以时.
当时，，
所以，
，满足，所以，
数列是正项等比数列，.
所以公比，.
（2）由（1）知，
，
.
4．(23-24高二下·北京延庆区·期中)已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设，且，求.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式；
（2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和；
（3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解
【详解】（1）当时， 得.
由已知①
当时，, ②
①-②得.
所以 .
所以数列为等比数列，且公比为
因为，所以.
设数列公差为，

由得
所以.
综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：.
（2）设，前项和
（3）
即，即，解得
5．(21-22高二下·北京第十三中学·期中)数列的前n项和为，， ．
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的各项；
（2）利用求出数列的通项公式；
（3）推导出数列偶数项是以2为首项，9为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出结果．
【详解】（1），
，令得，
令得，
令得.
（2）①，
当时，②，
①-②得，即，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列；
所以，，
由于不符合通项，
故．
（3），
故数列偶数项是以2为首项，9为公比的等比数列，
所以．
1．(24-25高二下·北京八一学校·期中)在数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值.
【详解】在数列中，已知，，则，
故数列为常数列，则，因此，.
故选：D.
2．(23-24高二下·北京清华大学附属中学·期中)训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论：
①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率；
②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率；
③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于；
④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.
其中，所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【分析】对于①，将条件代入可得，可判断①；对于②，将条件代入整理可得，大小关系不确定，可判断②；对于③，代入条件后可得递推关系，利用构造法求通项可得，通过计算可判断③；对于④，得到递推公式后，利用递推公式迭代可得，结合可得，求解后结合范围可判断④.
【详解】对于①，因为，，所以，
所以，该软件无法通过训练提高正确率，①正确；
对于②，若，，则，
整理得，当时，，即，②错误；
对于③，因为，且，，，
所以，变形得，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，得，
因为，③正确；
对于④，因为，且，，
所以，
整理得，
利用上式迭代可得，
当变大时，越来越趋近于0，
因为，所以，
所以，
所以，得，
又，所以，④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点睛：对于④，关键在于通过迭代求得，以及利用确定的范围，然后结合范围即可作出判断.
3．(23-24高二下·北京第六十六中学·期中)已知数列的前项和为，．
(1)求的值；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，；
(3)数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．
【分析】（1）分别将代入，求得的值；
（2）时，利用退位作差法得到，进而得到是等比数列，进而得到数列的通项公式；
（3）反证法，假设存在，，成等差数列，整理为，左边为偶数而右边为奇数，不相等，所以假设不成立.
【详解】（1）由，可得，解得，
时，，即，解得，
时，，即，解得；
（2）当时，由，可得，
两式相减可得，整理为，即，
则数列是首项为6，公比为2的等比数列，
可得，即；
（3）不存在
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，即为，
化为，可得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立．
故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．
【点睛】方法点睛：构造法求数列通项公式：递推关系形如的数列，构造一个以为公比的等比数列，由数列的通项公式得到数列的通项公式.
4．(21-22高二下·北京丰台区·期中)已知数列，，.
(1)求数列的前5项；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)前5项依次为；
(2).
【分析】（1）由题设，根据等比数列的定义写出的通项公式，即可得前5项；
（2）应用分组求和，结合等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）由题设，而，
所以是首项、公比都为2的等比数列，则，
故的前5项依次为.
（2）由（1）知：，
所以.
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重难点01数列的通项公式
5大高频考点概览
考点01 累加法求数列通项
考点02 累乘法求数列通项
考点03 利用与的关系求通项
考点04 定义法求通项
考点05 构造法求通项
1．(24-25高一下·北京平谷区·)如图，在棱长为2的正方体中，M、N分别是BC、CD的中点，点P是线段上的动点，点Q是侧面上（包括边界）的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有；
②存在无数组点P和点Q，使得平面；
③点P由滑到时，三棱锥体积逐渐增大；
④使得平面的点Q的轨迹长度为．
其中所有正确结论的序号是_______．
2．(24-25高二下·北京育英学校·期中)已知数列满足，，给出下列四个结论：
①数列的前n项和；
②数列的每一项都满足；
③数列的每一项都满足；
④存在，使得成立
其中，所有正确结论的序号是__________.
3．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值．
4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则__________；数列的前项和__________．
5．(24-25高二下·北京八一学校·期中)已知无穷数列，给出以下定义： 对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”．
(1)已知数列、的通项公式为，，试判断数列，数列是否为数列”，并说明理由；
(2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有”；
(3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，．求数列的最小项的最大值．
1．(20-21高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)数列中，若，，则___________.
2．(22-23高二下·北京第二十五中学·期中)数列中，若，，则__________.
3．(23-24高二下·北京顺义区第一中学·期中)设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
给出下列四个结论：
①当为等差数列时，；
②当为等差数列时，公差；
③当数列满足时，；
④当数列满足时，时，.
其中所有正确结论的序号是__________.
1．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)设数列的前n项和为，则的值为（ ）
A．63 B．48 C．15 D．14
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)设数列的前项和为．若，，则（ ）
A．18 B．12 C．6 D．3
3．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)数列的前项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)函数的定义域为，无穷数列的前n项和为，写出一个能说明命题“若，则”为假命题的函数的表达式：______．
5．(24-25高二下·北京第十五中学·期中)已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使不等式成立的的最小值；
(3)设，求数列的前项和.
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．12 D．21
2．(23-24高二下·北京育才学校·期中)在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______.
3．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
4．(23-24高二下·北京延庆区·期中)已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设，且，求.
5．(21-22高二下·北京第十三中学·期中)数列的前n项和为，， ．
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的和．
1．(24-25高二下·北京八一学校·期中)在数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高二下·北京清华大学附属中学·期中)训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论：
①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率；
②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率；
③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于；
④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.
其中，所有正确结论的序号是______.
3．(23-24高二下·北京第六十六中学·期中)已知数列的前项和为，．
(1)求的值；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．
4．(21-22高二下·北京丰台区·期中)已知数列，，.
(1)求数列的前5项；
(2)求数列的前n项和.
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