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重难点02数列前n项和
4大高频考点概览
考点01 裂项相消法求和
考点02 错位相减法
考点03 分组并项求和
考点04 数列求和的其他方法
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)设随机变量X的分布列如下表所示，
1 2 3 4 5 6
①
②随机变量的数学期望可以等于3.5
③若，则
④数列的通项公式可以为
则上述说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据分布列性质可判断①对，当概率全部相等为时，②说法正确，有等比数列前项和公式计算可得③正确，利用裂项求和可得④错误.
【详解】对于①，易知，
由分布列性质可得，所以，即①正确；
对于②，易知当时，随机变量的数学期望可以等于3.5，即②正确；
对于③，若，结合可知，
，即③正确，
对于④，若数列的通项公式为，
可知，
此时，
不满足分布列性质，即④错误.
综上可知，①②③正确.
故选：C
2．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差 ____ ，数列的前5项和为 ___________．
【答案】 1
【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求出第一空答案，求出Sn的表达式，结合裂项相消法计算可得第二空答案．
【详解】根据题意，设数列的前5项和为T，
为等差数列，若，则有，
解可得，
又由，则，
故，所以，
则．
故答案为：1；．
3．(23-24高二下·北京怀柔·期中)已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号)
①当时，数列的前n项和；
②若数列是单调递增数列，则；
③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；
④若恒成立，则．
【答案】①④
【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】对于①，当时，，所以，
所以
，所以①正确，
对于②，若数列是单调递增数列，则，即，
所以，所以，
因为，所以，所以②错误，
对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误，
对于④，由，得，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，所以，所以④正确.
故答案为：①④
4．(23-24高二下·北京大峪中学·期中)已知数列满足，．给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列是递减数列；
③数列的前n项和；
④数列每一项都满足成立．
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出即可判断③．
【详解】对于①，，，
当时，，所以，
假设当时，；
则当时，，
综上，，故①正确；
对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确；
对于③，，，，，
，故③错误；
对于④，，所以，
累加得，所以，，
所以，又，故成立，④正确．
故答案为：①②④.
5．(23-24高二下·北京海淀区北京师范大学第三附属中学·期中)已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义、通项计算即可；
（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可.
【详解】（1）由已知，
又，即是以3为首项和公比的等比数列，
即；
（2）由（1）可知，所以，
则，
因为，显然，则，证毕.
1．(21-22高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)数列的通项公式为，数列的通项公式为；
(2)
【分析】（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，结合已知条件求解即可；
（2）写出该数列的通项公式后，运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，
所以设数列的公差为，数列的公比为，
因为，，，
所以，
解得，
所以，
，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（2），
所以，①
所以，②
①②，得
所以.
2．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)选①②，答案均为
(2)
【分析】（1）若选①，由前n项和与关系可得数列的通项公式；若选②，由前项之积与关系可得数列的通项公式；
（2）与（1）结合，利用错位相减法可得答案.
【详解】（1）若选①，；
当时，，
则是以为首项，公比为2的等比数列，则；
若选②，，当时，，
又满足，则时，；
（2）由（1）可得.
则，
.
则.
3．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数的极值点构成数列().
(1)求；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出.
（2）利用等差数列定义判断即可.
（3）由（2）的结论，利用错位相减法求出前项和.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则，
所以.
（2）由（1）知，数列的通项公式为，则，
而，
所以数列是等差数列.
（3）由（2）知，，则，
，
则，
两式相减，得，
所以.
4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
条件①：；条件；②：；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式，结合特殊项计算即可求各自通项.
（2）若选①，利用错位相减法计算即可，若选②，利用裂项相消法计算即可，若选③，利用分组求和法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，
当时，，解得，因此，
当时，，即，解得，
所以.
（2）选择条件，由（1）得，，
则，
于是，
两式相减得
所以．
选择条件，由（1）可得，，
则 ，
所以．
选择条件，由（1）可得，，
则
所以．
5．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)若数列的前项和为，且，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）因为①，
所以②，，
①②得，又
所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列，
，
，
等差数列的公差为.
（2）由（1）可得，
，
两式相减得，
1．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________.
① ② ③非零常数，使得 ④ ，都有
【答案】①②④
【分析】由已知项计算判断①；由已知递推关系化简计算判断②；由已知递推关系总结数列的规律，再结合反证法判断③；由已知递推关系找到前项和的规律判断④.
【详解】对于①，由，得，①正确；
对于②，由，，
得，②正确；
对于③，设非零常数，，则，
由题意，不合题意；
当时，则，不合题意；
当时，则，不合题意；
当时，则，不合题意；
当时，，则为数列的的周期，
同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意；
所以不存在非零常数，，使得，③错误；
对于④，由，得；由，得；
由，得，，，
因此，，
则当时，，
于是，
所以，④正确.
故答案为：①②④
2．(24-25高二下·北京师范大学第二附属中学未来科学城学校·期中)已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A．624 B．625 C．626 D．650
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得.
【详解】数列中，，，
当，时，，即数列的奇数项构成等差数列，
其首项为1，公差为2，则，
当，时，，即数列的偶数项构成等比数列，
其首项为1，公比为，则，
所以.
故选：C
3．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：
①；
②；
③设，则；
④设，则有最大值，但没有最小值.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先证明，然后推知当为奇数时，有；当为偶数时，有，再利用该结论解决各个选项即可.
【详解】先进行一些准备工作，证明2个结论.
结论1：.
证明：我们用数学归纳法证明，对任意的正整数，都有.
由，，可知结论对成立；
假设当时结论成立，则
，
故结论在时成立.
综上，对任意的正整数，都有.
结论2：当为奇数时，有；当为偶数时，有.
证明：由结论1可知，当为奇数时，有；当为偶数时，有.
然后来判断各个选项：
对于①和②，由结论2可知，，故①正确，②正确；
对于③，由结论2可知
，
故③正确；
对于④，由于，故当时，有.
而，，，从而有最小值，故④错误.
所以正确的结论是①②③，恰有3个结论正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题中证明的结论1事实上利用了线性递推数列的结论，由于原递推式对应的特征方程的全部解为，故一定具有形式，再利用前三项确定系数. 当然，即使不使用结论1，也可以通过观察规律的方法直接猜到结论2的结论，再用数学归纳法证明之.
4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用来求解即可；
（2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减．
【详解】（1）解：由于数列为等差数列
所以，解得，
所以．
由于数列为等比数列
所以，解得，
所以．
（2）
．
5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知在数列中，，，_____，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前项和．
从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答．
①数列的前项和；
②；
③且．
【答案】(1);
(2)证明见解析;
(3).
【分析】（1）若选择①，根据与的递推关系列式算出的通项公式；
若选择②，先证出构成公差为的等差数列，然后根据等差数列的通项公式算出答案；
若选择③，先证出构成等差数列，然后根据、求出公差，结合等差数列的通项公式算出答案．
（2）根据的通项公式，可得，然后根据等比数列的定义证出所求结论；
（3）根据等差数列与等比数列的前项和公式加以计算，化简即得的表达式．
【详解】（1）若选择①：前n项和，
则时，，
当时，，也适合上述式子，
综上所述，数列的通项公式为；
若选择②：，则（常数），
可知数列构成公差为的等差数列，首项，
所以数列的通项公式为；
若选择③：且，则，
可知数列是等差数列，
设公差为，则由，得，解得．
所以数列的通项公式为．
（2）证明：若，则由（1）的结论，可得，
因为（常数），且，
所以数列是首项为，且公比的等比数列；
（3）由（1）和（2）得，
所以
＝．
即．
1．(22-23高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据原递推关系构造等差数列，求出 的通项公式，再利用对数的性质计算出 ，再运用缩放法证明.
【详解】 ，
， ，
令 ，则有 ，即数列 从第2项开始是公差为1，首项为 的等差数列，
，即 ，将 代入上式检验得 ，正确；
，
，
显然 ， ；
故选：D.
2．(21-22高二下·北京第三中学·期中)数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则______，数列的前100项的和等于______．
【答案】 2 384
【分析】根据题意，当当时，在内有2项；进而分别讨论当，，，，内的的取值，再求和即可.
【详解】解：因为，所以，当时，在内有2项；
当时，；当时，，
当时，；当时，；
当时，；
所以，数列的前100项的和等于 .
故答案为：2；
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________.
【答案】1012
【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】由，则，则，
，
因为，由等比数列的性质可知，，，，……，
所以上式.
故答案为：
4．(23-24高二下·北京西城区北京师范大学第二附属中学·期中)约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
【答案】(1)8
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）正整数的个正约数构成等比数列，则满足题意，即；
（2）由题意可知，结合可推出是完全平方数，进而可得，由此可知为，即可求得；
（3）由题意知，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.
【详解】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数，即.
于是的一个值为8.
（2）由题意可知，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以.
（3）证明：由题意知，
所以，
因为，
所以
，因为，所以，
所以，即.
【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，考查数列的性质，善于利用放缩法，裂项求和法.
5．(21-22高二下·北京第五中学·期中)对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
(1)若序列为1，2，3，求；
(2)若序列为1，2，…，n，求；
(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)充分不必要条件
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简即可得结果.
（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】（1）解：序列为1，2，3，，，，即8，．
（2）解：时，
时，．
时，，
时，，
，
取时，，
取时，①，
则②，
①②得，
所以．
由序列为1，2，，，可得．
（3）解：序列为序列，2，，的一个排列， ．而反之不成立．
例如取序列为：，，，2，1，满足．
因此是的充分不必要条件．
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重难点02数列前n项和
4大高频考点概览
考点01 裂项相消法求和
考点02 错位相减法
考点03 分组并项求和
考点04 数列求和的其他方法
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)设随机变量X的分布列如下表所示，
1 2 3 4 5 6
①
②随机变量的数学期望可以等于3.5
③若，则
④数列的通项公式可以为
则上述说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差 ____ ，数列的前5项和为 ___________．
3．(23-24高二下·北京怀柔·期中)已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号)
①当时，数列的前n项和；
②若数列是单调递增数列，则；
③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；
④若恒成立，则．
4．(23-24高二下·北京大峪中学·期中)已知数列满足，．给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列是递减数列；
③数列的前n项和；
④数列每一项都满足成立．
其中，所有正确结论的序号是__________．
5．(23-24高二下·北京海淀区北京师范大学第三附属中学·期中)已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证．
1．(21-22高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
3．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数的极值点构成数列().
(1)求；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
条件①：；条件；②：；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)若数列的前项和为，且，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
1．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________.
① ② ③非零常数，使得 ④ ，都有
2．(24-25高二下·北京师范大学第二附属中学未来科学城学校·期中)已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A．624 B．625 C．626 D．650
3．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：
①；
②；
③设，则；
④设，则有最大值，但没有最小值.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的前n项和．
5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知在数列中，，，_____，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前项和．
从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答．
①数列的前项和；
②；
③且．
1．(22-23高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．(21-22高二下·北京第三中学·期中)数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则______，数列的前100项的和等于______．
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________.
4．(23-24高二下·北京西城区北京师范大学第二附属中学·期中)约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
5．(21-22高二下·北京第五中学·期中)对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
(1)若序列为1，2，3，求；
(2)若序列为1，2，…，n，求；
(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
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