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重难点04导数与切线方程
7大高频考点概览
考点01 在一点处的切线
考点02 过一点的切线
考点03 公切线问题
考点04 切线的平行与垂直问题
考点05 切线的条数问题
考点06 切线存在问题
考点07 与切线有关的最值问题
1．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________．
2．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知曲线及点．过作x轴的垂线交C于点，过作C的切线且交x轴于点，过作x轴的垂线交C于点，过作C的切线且交x轴于点，…，依次类推，则的坐标为______，______．
3．(24-25高二下·北京第十四中学·期中)已知函数.
(1)当时，若曲线在点处的切线倾斜角为锐角，求的取值范围；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
4．(24-25高二下·北京陈经纶中学·期中)已知函数.
(1)求的最大值；
(2)若是的一条切线，求实数的值；
(3)若函数，存在最大值，求的取值范围.
5．(24-25高二下·北京第五十中学分校·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)求在区间上的最小值．
大 小
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京房山区·调研)分别过点和作曲线的切线，切线的斜率分别为__________和__________.
3．(22-23高二下·北京海淀区北京大学附属中学行知学院·期中)已知曲线，则在处的切线方程为____________，过原点的切线方程为____________.
4．(24-25高二下·北京八一学校·期中)设函数．
(1)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
(2)过坐标原点作曲线的切线，求证：切点的横坐标为．
5．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)已知函数．
(1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程；
(2)设，求在的最值．
1．(24-25高二下·北京景山学校·期中)曲线与的公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
3．(22-23高二下·北京实验学校·期中)函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．(23-24高二下·北京陈经纶中学·期中)已知函数，对于函数有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②有且仅有两个零点；
③对于任意的，都有成立；
④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点.
其中所有正确的结论序号是_______________
5．(22-23高二下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)已知函数与函数．
(1)若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设．
①求函数的极值；
②试判断函数零点的个数．
x
- 0 +
减函数 极小值 增函数
1．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的一个值可以是__________.
2．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知函数，若曲线在点处的切线平行于直线，则该切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
4．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求函数的解析表达式；
(2)求函数的极值.
5．(23-24高二下·北京第六十六中学·期中)已知函数．
(1)求函数在区间上的平均变化率；
(2)求函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(3)设，若曲线的图象在点处的切线与曲线的图象在点处的切线平行，求实数的值．
1．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知函数.当时，______；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______.
2．(23-24高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：
①存在一类曲线，其法线恒过定点；
②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；
③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；
④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．
其中所有说法正确的序号是______．
3．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)已知函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在经过点 两条，求实数的取值范围；
(3)当时，设点，，为与轴的交点，表示的面积．求的最小值．
4．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数．
(1)若时，取得极值，求a；
(2)求在[0，1]上的最小值；
(3)若直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，直接写出直线l的方程．
5．(21-22高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数．
(1)若函数在时取得极值，求的值；
(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
(3)当时，过点与曲线相切的直线有几条？直接写出结果．
1．(22-23高二下·北京海淀区北京大学附属中学行知学院·期中)已知函数，下列叙述中不正确的一项是（ ）
A．在上单调递增 B．无极值点
C．有唯一零点 D．曲线只有一条斜率为0的切线
2．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)已知函数有下列四个结论：
①的递增区间是和；
②函数有三个零点；
③函数的图像关于中心对称；
④过点存在三条直线和的图像相切.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(21-22高二下·北京师范大学附属中学·期中)函数（其中，为自然常数）
①，使得直线为曲线的一条切线；
②，函数有且仅有一个零点；
③当时，在区间上单调递减；
④当时，，使得直线与曲线没有交点.
则上述结论正确的是________.（写出所有正确的结论的序号）
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)设，函数，.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)求证：当时，不等式在区间上恒成立；
(3)时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由.
5．(23-24高二下·北京育才学校·期中)已知函数
(1)求在点处的切线方程；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
1．(21-22高二下·北京西城区·期末)设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．(22-23高二下·北京汇文中学教育集团·期中)已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（ ）．
A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为
C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为
3．(22-23高二下·北京第八中学·期中)点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为__________.
4．(21-22高二下·北京汇文中学教育集团·期中)已知对于任意 均成立.
①若 ，则 的最大值为_____________.
②在所有符合题意的 中， 的最小值为______.
5．(22-23高二下·北京海淀区清华大学附属中学永丰学校·期中)令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点处作抛物线的切线交x轴于
在点处作抛物线的切线交x轴于
在点处作抛物线的切线交x轴于
由此能得到一个数列，回答下列问题：
(1)求的值
(2)设，求的解析式．
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重难点04导数与切线方程
7大高频考点概览
考点01 在一点处的切线
考点02 过一点的切线
考点03 公切线问题
考点04 切线的平行与垂直问题
考点05 切线的条数问题
考点06 切线存在问题
考点07 与切线有关的最值问题
1．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________．
【答案】
【分析】利用乘积导数，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】求导得，由曲线的一条切线斜率为0，则，
又当时，，
故该切线的切点坐标为，
故答案为：
2．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知曲线及点．过作x轴的垂线交C于点，过作C的切线且交x轴于点，过作x轴的垂线交C于点，过作C的切线且交x轴于点，…，依次类推，则的坐标为______，______．
【答案】
【分析】设，利用导函数求出曲线在点的切线方程，令即可求得，求出数列的通项公式，即可得出的坐标，最后求出数列的前项和即可.
【详解】设，则，且，
因，则，则曲线在点的切线斜率为，
切线方程为，即，
令得，即，
因，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
故，即的坐标为，
又，则
.
故答案为：；
3．(24-25高二下·北京第十四中学·期中)已知函数.
(1)当时，若曲线在点处的切线倾斜角为锐角，求的取值范围；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)、.
(3)
【分析】（1）先求导，利用条件可得即可求解；
（2）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；
（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
因曲线在点处的切线倾斜角为锐角，
则，得，
则的取值范围为.
（2）当时，，
则，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、.
（3）因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个变号零点，
当时，对任意的，，不符合题意；
当时，函数的对称轴，则在上单调递增，
因为，只需，符合题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需或，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
4．(24-25高二下·北京陈经纶中学·期中)已知函数.
(1)求的最大值；
(2)若是的一条切线，求实数的值；
(3)若函数，存在最大值，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的最大值；
（2）切点，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程，解得即可；
（3）令，求出导函数，结合（1）可得的单调性，依题意只需，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，令，解得，
当时，当时，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以的最大值为它的极大值.
（2）设切点，因为，所以.
所以切线方程可设为：，即，
整理得，令，解得，
所以，故.
（3）令，则.
由（1）可得：当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
所以在时取得最大值.
故当时，，所以；
当时，，即当时，.
所以在上存在最大值的充分必要条件是，即.
令，则.
因为，所以是增函数.
因为，
所以的充要条件是.
所以a的取值范围为.
5．(24-25高二下·北京第五十中学分校·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)求在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)增区间为；减区间为
(3)答案见解析
【分析】（1）利用导数求得，可求得切线方程；
（2）令，求得，列表判断的单调性即可；
（3）利用（2）分类讨论，可求的最小值.
【详解】（1），
所以，所以切线方程为：，即：；
（2）. 令，，
当变化时，的变化情况如下表：
大 小
∴的增区间为；减区间为；
（3）当时，在上递减，在上递增，，
当时，在上递减，，
综上所述：当时，，
当时，.
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可.
【详解】易知函数的定义域为，
设切点坐标为，则可得，
此时切线斜率为，因此切线方程为，
代入点可得，即，
解得，即切点坐标为.
故选：C
2．(24-25高二下·北京房山区·调研)分别过点和作曲线的切线，切线的斜率分别为__________和__________.
【答案】
【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将和代入可求出，即可求出斜率得出结果.
【详解】设切点为，由，得
所以切线方程为，即，
将代入得，解得，此时过点与曲线相切的切线斜率为，
将代入得，解得，此时过点与曲线相切的切线斜率为.
故答案为：；.
3．(22-23高二下·北京海淀区北京大学附属中学行知学院·期中)已知曲线，则在处的切线方程为____________，过原点的切线方程为____________.
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程；设切点坐标为，可得切线方程为，代入原点可得，即可得切线方程.
【详解】因为，则，
若，可得，可知切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为；
设切点坐标为，切线斜率，
可得曲线在处的切线方程为，
若切线过原点，即，解得，
可得切线方程为，即.
故答案为：；.
4．(24-25高二下·北京八一学校·期中)设函数．
(1)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
(2)过坐标原点作曲线的切线，求证：切点的横坐标为．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可知对任意的，恒成立，由参变量分离得，求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，可得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合可解方程，即可证得结论成立.
【详解】（1）因为函数在区间上是减函数，则对任意的，恒成立，
故对任意的恒成立，
令，其中，
因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，
所以，，故实数的取值范围是.
（2）设切点坐标为，，则切线斜率为，
所以，函数在处的切线方程为，
将原点坐标代入切线方程并化简得，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，且，由可得，
因此，切点的横坐标为.
5．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)已知函数．
(1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程；
(2)设，求在的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值
【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，根据导函数的正负即可求解.
【详解】（1）设切点为，由得，
所以所求切线的斜率为，即，
所以，即，故切点为，
所以所求切线的斜率为，切线方程为，即，
故所求切线的方程为．
（2）由条件知，．
所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在单调性为：单调递减，单调递增，
所以．
又
，所以最大值为：
所以在的最小值为，最大值为：
1．(24-25高二下·北京景山学校·期中)曲线与的公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可.
【详解】因为，则，
设切点坐标为，切线斜率为，
可得切线方程为，即；
因为，则，
设切点坐标为，切线斜率为，
可得切线方程为，即；
由题意可得：，解得，
所以公切线的斜率为.
故选：A.
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
3．(22-23高二下·北京实验学校·期中)函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】分别对、求导，解出在点的切线方程，根据切线方程相同解出参数的值.
【详解】解：函数，有，
则，所以函数的图象在点的切线方程为，
又函数，有，
则，所以函数的图象在点的切线方程为，
因为函数与函数的图象在点的切线相同，
所以，即，
故选：.
4．(23-24高二下·北京陈经纶中学·期中)已知函数，对于函数有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②有且仅有两个零点；
③对于任意的，都有成立；
④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点.
其中所有正确的结论序号是_______________
【答案】②③④
【分析】取特值验证可判断①；利用导数求单调区间，结合零点存在性定理可判断②；根据判断的符号即可判断③；利用导数分别求出曲线和的切线方程，根据方程表示同一直线得到两个切点坐标之间的关系，整理化简即可判断④.
【详解】对于①，的定义域为，
因为，，①错误；
对于②，因为，所以在和上单调递增，
又，，，，
所以在区间和上都存在零点，
又在和上单调递增，
即在区间和上各有一个零点，②正确；
对于③，因为，所以，所以，
即，所以③正确；
对于④，因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
得切线方程为，即，
设与相切于点，因为，所以切线斜率为，
得切线方程为，即，
所以，即，
消去得，整理得，即是的零点，④正确.
故答案为：②③④
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用导数求出两曲线的切线方程，利用方程为同一方程得到两切点坐标之间的关系，联立化简即可.
5．(22-23高二下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)已知函数与函数．
(1)若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设．
①求函数的极值；
②试判断函数零点的个数．
【答案】(1)
(2)①答案见解析；②答案见解析.
【分析】（1）因为的图像在点处有公共的切线，，因此则在该点处的导数值相等，得到参数a的值．
（2）①设，分别对参数a进行分类讨论：i. 时， 在上单调递增，无极值；
ii. 时，用列表法求出函数的极小值.②根据单调性结合极值正负分类讨论函数零点个数.
【详解】（1）因为，，所以，.
所以点同时在函数的图像上，
因为，所以，，
由已知，得，所以，即.
（2）①因为，
所以 .
i.当时，
因为，且所以对恒成立，
所以在上单调递增，无极值；
ii.当时，
令，解得（舍）.
列表得：
x
- 0 +
减函数 极小值 增函数
所以当时，取得极小值，且.
综上，当时，函数在上无极值；
当时，函数在处取得极小值.
②当时，在上单调递增，函数零点的个数为1；
当时，在上单调递, 在上单调递增,
函数在处取得极小值.
设单调递增, 单调递减,
又 ,
当时，趋近于0时趋近于正无穷大，
函数零点的个数为2;
当时，趋近于正无穷大时趋近于正无穷大，
函数零点的个数为2;
当时， 在上单调递, 在上单调递增, 函数在处取得极小值,
函数零点的个数为1;
当或时，函数零点的个数1; 当或时,函数零点的个数2;
1．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的一个值可以是__________.
【答案】（答案不唯一，满足均可）
【分析】求出函数的导数，利用导函数有正数的零点求得的范围即可.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由曲线存在垂直于轴的切线，得方程有正根，
因此，所以实数的一个值可以是.
故答案为：
2．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知函数，若曲线在点处的切线平行于直线，则该切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率得到参数，根据切点函数值得到参数，由点斜式方程可得切线的方程.
【详解】由题意得，
曲线在点处的切线平行于直线，
曲线在点处的切线斜率，即，
解得，此时，
即切点为，则切线方程为，即.
故选：B.
3．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；
（2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解.
【详解】（1）因为，由题知，所以的值为.
（2）易知定义域为，因为，
令，则，
当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增，
当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增，
当，即时，由，得到 ，
①时，，此时时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
②时，，此时时，，时，，
在上单调递增，在单调递减上.
综上，当时，在区间上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在单调递减上.
（3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且，
要证，即证，
又
，
即证，即证在区间上恒成立，
令，则，
令，则在恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以时，，
则在区间上单调递减，
所以，即当时，
又，所以当时，，故命题得证.
4．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求函数的解析表达式；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）求导，由求得的值，得解；
（2）利用导数判断单调性，求出极值.
【详解】（1）根据题意，，则，
解得，
.
（2）由（1），
令，解得或，
令，解得，
所以当或时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得极小值，极小值为.
5．(23-24高二下·北京第六十六中学·期中)已知函数．
(1)求函数在区间上的平均变化率；
(2)求函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(3)设，若曲线的图象在点处的切线与曲线的图象在点处的切线平行，求实数的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均变化率的定义计算在上的平均变化率
（2）切线的斜率为在切点处的导数，由直线的点斜式方程得到切线方程，求出与坐标轴的交点进而得到三角形面积；
（3）由切线平行得到斜率相等，所以，解得，再验证即可.
【详解】（1）在上的平均变化率为；
（2）因为，，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即，
令，则，令，则，
则切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（3），，，由题可得，即．
此时，的图象在处的切线方程为，即，
的图象在处的切线方程为，即，满足题意，
故.
1．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知函数.当时，______；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据导数得除法运算即可求出第一空；设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】当时，，
则，
由，
得，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
因为切线过原点，
所以，
整理得：，
因为切线有两条，
所以，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
2．(23-24高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：
①存在一类曲线，其法线恒过定点；
②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；
③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；
④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．
其中所有说法正确的序号是______．
【答案】①②④
【分析】对于①，容易想到圆满足要求；对于②，将其纵截距表示出，然后利用均值不等式求解即可；对于③，求出两条曲线的所有公共法线即可；对于④，将直线和曲线的公共点个数问题转化为函数的零点问题，再使用导数工具求解.
【详解】对于①，圆的法线恒过圆心，故①正确；
对于②，由于曲线在处的切线斜率为，故曲线在处的法线方程为，该直线存在纵截距当且仅当，且此时纵截距为.
此时，且当时，，所以纵截距如存在，则最小值为，②正确；
对于③，假设曲线在处的法线和曲线在处的法线均为直线，
则的斜率满足，即，从而，故.
另一方面，点和确定的直线即为，从而.
所以，故，，得到直线为过和的直线.
上述推理表明是唯一的，所以③错误；
④设曲线在处的法线为.
若，则是的极值点，从而的方程为，该直线和曲线显然只有一个公共点；
若，则，的斜率为，故该直线的方程为.
设，则曲线上的点在上当且仅当.
求导得到，下面进行分类讨论：
如果，则当时，即时，有.
所以在每个上均单调递增，从而在上单调递增；
如果，则当时，即时，有.
所以在每个上均单调递减，从而在上单调递减.
综合以上两种情况，知一定是单调函数，而，所以只有唯一的零点.
这表明曲线上只有唯一一个点在上，即曲线和有唯一公共点.
综上，曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，利用导数的几何意义，以及两条垂直的直线的斜率之间的数量关系，可得到曲线的法线方程.
3．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)已知函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在经过点 两条，求实数的取值范围；
(3)当时，设点，，为与轴的交点，表示的面积．求的最小值．
【答案】(1)当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为
(2)
(3)
【分析】（1）求出导数，在定义域内通过讨论求得函数的单调区间；
（2）由导数求出切线斜率得到切线方程，带点到直线方程得到方程，问题转化为在上有两个零点，通过导数讨论函数的单调性，得到函数的最小值，函数有两个零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围；
（3）代入得到函数解析式，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标，然后得到三角形面积，利用导数求得三角面积最小值.
【详解】（1）函数，定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，若，，则在上单调递减，
若，，则在上单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为.
（2）因为，，
曲线在点处的切线的方程为.
因为切线l经过点，所以，化简得，
令，
又存在经过点 两条切线，
即在上有两个零点，
，
当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，
当时，由，得，
当时，，则在上单调递减，
若，，则在上单调递增，
所以在时取得极小值，即最小值，
令，解得，
又当时，，当时，，
所以实数的取值范围为.
（3）当时，，，
则，，
直线l的方程为.
令，得，即，
又，，
所以.
令，，，
则当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，
则，
所以当时，取得最小值.
4．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数．
(1)若时，取得极值，求a；
(2)求在[0，1]上的最小值；
(3)若直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，直接写出直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导得到，根据得到并验证，可得答案；
（2）对进行分类，利用导数分析在上的单调性，进而求得在上的最小值；
（3）设直线与曲线相切于点，利用导数的几何意义得，由题意知只有一组解，求得即可得直线的方程.
【详解】（1），则.
由题意得，得，
所以，
当时，；当时，.
所以在时取得极大值；在时取得极小值.
所以
（2）由，，得，
当时，，是单调递增函数，
当时，，
若即时，，在上是单调递减函数，；
若即时，
时，，单调递减，时，，单调递增，
故
（3）设直线与曲线相切于点，则，
直线的斜率，
直线的方程为
即，
联立，得，即，
解得或
因为直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，所以，得.
将代入的方程为得
直线的方程为：.
5．(21-22高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数．
(1)若函数在时取得极值，求的值；
(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
(3)当时，过点与曲线相切的直线有几条？直接写出结果．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析；
(3)3条
【分析】（1）求导，利用极值点的定义得到方程，求出，再代入进行检验，满足要求；
（2）在（1）的基础上，得到在处取得极小值，结合当时，恒成立，确定在处取得极小值，也是最小值；（3）设出切点，求导，利用导函数的几何意义及两点间斜率公式列出方程，得到，问题转化为关于的一元三次方程的实数根的个数问题，构造函数，根据特殊点的函数值的正负，结合零点存在性定理及一元三次方程最多有3个零点，确定有3个实数根，即所以过点与曲线相切的直线有3条.
【详解】（1）由题意得：，
，解得：，
当时，，当或时，，
当时，，所以是极大值点，满足要求，
综上：
（2）由（1）知：在，上单调递增，
在上单调递减，故在处取得极小值， 且，
，
当时，恒成立，
综上：在处取得最小值，最小值为-1
（3）当时，
可以得到不在上，
设过的切线的切点为，则，
因为，所以，
又，解得：，
问题转化为关于的一元三次方程的实数根的个数问题，
令，
又，，，，
所以在内各有一个实数根，
又因为在实数范围内最多有三个根，
因此有三个不相同的实数根，
所以过点与曲线相切的直线有3条.
【点睛】求解函数过一点的切线，要设出切点，根据导函数的几何意义及两点间斜率公式，列出方程，进而求解出切点，本题中，用此方法将切线条数问题转化为方程的根的个数问题，进而构造函数研究零点个数即可.
1．(22-23高二下·北京海淀区北京大学附属中学行知学院·期中)已知函数，下列叙述中不正确的一项是（ ）
A．在上单调递增 B．无极值点
C．有唯一零点 D．曲线只有一条斜率为0的切线
【答案】D
【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，即可判断AB；由结合单调性判断C；对于D：令，解得，结合导数的几何意义分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，且对任意恒成立，
可知在上单调递增，则无极值点，故AB正确；
因为，结合单调性可知有唯一零点0，故C正确；
令，即，解得，
且，即切点坐标为，可知切线方程为，
所以曲线的斜率为0的切线有无数条，故D不正确；
故选：D.
2．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)已知函数有下列四个结论：
①的递增区间是和；
②函数有三个零点；
③函数的图像关于中心对称；
④过点存在三条直线和的图像相切.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求导后分析单调性可得①正确；利用极值数形结合可得②错误；利用可得③正确；设切点由导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式得到方程然后构造函数求导分析极值数形结合可得④正确.
【详解】对于①，，
令，解得或，所以的递增区间是和，故①正确；
对于②，由①可得极值点，，由函数图象可得
所以方程的解即与的交点，只有一个，故②错误.
对于③，
，
所以对称中心为，故③正确；
对于④，设切点为，则，，
所以切线方程为，
代入点可得，
整理可得，
令，则，
所以极值点为或2，且，
所以与有三个交点，即方程有三个根，所以过点存在三条直线和的图像相切，故④正确.
故选：C
3．(21-22高二下·北京师范大学附属中学·期中)函数（其中，为自然常数）
①，使得直线为曲线的一条切线；
②，函数有且仅有一个零点；
③当时，在区间上单调递减；
④当时，，使得直线与曲线没有交点.
则上述结论正确的是________.（写出所有正确的结论的序号）
【答案】①③④
【分析】求出函数的导函数，对分类讨论，分别得到函数的单调性，即可判断.
【详解】解：因为，所以，，
对于①，若为曲线的一条切线，则切点为，所以，显然符合要求，故①正确；
当时显然不满足②，故②错误；
当时，当时，当或时，所以在上单调递增，在和上单调递减，
故时，在区间上单调递减，即③正确，
又，，又当时，当时，
此时，
则当时，当，使得直线与曲线没有交点，
当时，当时，当或时，所以在上单调递减，在和上单调递增，
又，，又当时，当时，
此时，
则当时，当，使得直线与曲线没有交点，故④正确；
故答案为：①③④
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)设，函数，.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)求证：当时，不等式在区间上恒成立；
(3)时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)可能，理由见解析
【分析】（1）先设，求其导数，再根据取值不同，分析正负，从而确定单调区间.
（2）当时，设，求导数，判断上正负，确定单调性，求出最小值，若最小值大于等于，则不等式恒成立.
（3）假设是切线，设出切点，根据切线斜率和切点在切线上、曲线上列方程，求解方程，若有解则可能是切线.
【详解】（1）设，其定义域为.
对求导得：
.
当时，.
令，即，因为，所以，解得；
令，解得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，.
令，即，解得或；
令，解得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
当时，.
令，即，解得或；
令，解得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，设，.
对求导得：.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，.
.
所以，即，所以在区间上恒成立.
（3）假设直线是曲线的切线，设切点为.
，则切线斜率 ①，
且 ②.
由①得，即，解得或.
当时，代入②得，符合题意，
所以当时，直线有可能为曲线的切线.
5．(23-24高二下·北京育才学校·期中)已知函数
(1)求在点处的切线方程；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
故曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，切线方程为，
因为切线经过原点，故，所以，
故，切点为，切线方程为，
即过原点的切线方程为.
1．(21-22高二下·北京西城区·期末)设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由导数求出两曲线的切线
【详解】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为，
，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为，
，
这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，
|PQ|的最小值即为两切点间的距离．
所以，
故选：C．
2．(22-23高二下·北京汇文中学教育集团·期中)已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（ ）．
A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为
C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为
【答案】B
【分析】先判定与直线平行且与的图象相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标.
【详解】将化为，
即直线l的斜率为，
因为，所以，
令，得，
∴当M最小时，点P的坐标为，
此时点P到直线的距离为，
所以M的最小值为；
过点P且垂直于的直线方程为，
联立，得，
即点Q的横坐标为.
故选:B．
3．(22-23高二下·北京第八中学·期中)点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】由解析式可分析两函数互为反函数，则图象关于对称，则点到的距离的最小值的二倍即为所求，利用导函数即可求得最值.
【详解】因为与互为反函数，两函数图象关于对称，
设点为，则到直线的距离为，
设，则，令，即，
所以当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
所以，则，
所以的最小值为.
故答案为：
4．(21-22高二下·北京汇文中学教育集团·期中)已知对于任意 均成立.
①若 ，则 的最大值为_____________.
②在所有符合题意的 中， 的最小值为______.
【答案】 0； /
【分析】（1）时，转化为恒成立，构造函数，求导确定单调性求出最小值，即可求得 的最大值；
（2）令，由得，再说明当与在点处相切时取得最小值即可.
【详解】①若 ，对于任意 均成立，即恒成立，令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，则 ，故，即 的最大值为0；
②令，，要使最小，即最小，又对于任意均成立，
故，即，以下说明能取到，令，则，，
故在处的切线方程为，即，
结合图像可知，当时，满足对于任意 均成立，此时，故 的最小值为.
故答案为：0；.
5．(22-23高二下·北京海淀区清华大学附属中学永丰学校·期中)令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点处作抛物线的切线交x轴于
在点处作抛物线的切线交x轴于
在点处作抛物线的切线交x轴于
由此能得到一个数列，回答下列问题：
(1)求的值
(2)设，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义和点斜式方程求解切线方程，然后令即可求出结果．
（2）根据导数的几何意义，求出切点处的切线斜率，求出切线方程，令，即可表示出．
【详解】（1），可得，
所以，
所以切线方程为：，
令可得，即．
（2）因为，所以在处的切线斜率为，
所以切线方程为：，
令，得，
∴，即，
∴的解析式：．
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