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重难点05含参函数的单调性
5大高频考点概览
考点01 一次函数
考点02 二次函数（可分解）
考点03 二次函数（不可分解）
考点04 指数函数
考点05 二次指数函数
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，都有成立，求整数的最大值.
2．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.
3．(22-23高二下·北京海淀区北京大学附属中学行知学院·期中)已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)设函数，求证：当时，在上存在极小值，且极小值大于1.
0
单调递减 极小值 单调递增
4．(21-22高二下·北京交通大学附属中学分校·期中)已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若恒成立，求a的取值范围.
5．(22-23高二下·北京中关村中学·期中)已知函数，其中且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数没有零点，求实数a的取值范围.
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
1．(23-24高二下·北京通州区·期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的极大值与极小值.
2．(24-25高二下·北京东城区北京宏志中学·期中)已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
x 2
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
3．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)设函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，设，求证：不存在极大值.
4．(23-24高二下·北京中关村中学·期中)已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在上的最大值；
(3)当时，求函数的单调区间；
(4)证明：当时，函数有且仅有一个零点．
5．(23-24高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数，其中．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论当时函数的单调性；
(3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.
1．(23-24高二下·北京第九中学·期中)已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值．
2．(22-23高二下·北京顺义区·期中)已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
3．(22-23高二下·北京第九中学·期中)已知函数．
(1)若函数在点处的切线方程为，求实数a，m的值；
(2)当时，求函数在区间上的最值；
(3)讨论函数的单调性．
4．(22-23高二下·北京朝阳区第八十中学·期中)已知函数．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值；
(3)若，求的单调区间．
5．(21-22高二下·北京一零一中矿大分校·期中)已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
1．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)当且时，判断与的大小，并说明理由．
- - 0 +
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)若函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)判断方程解的个数，并说明理由；
(3)当，设，求的单调区间．
3．(23-24高二下·北京鲁迅中学·期中)已知函数，其中.
(1)若，求此时的值；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由.
4．(23-24高二下·北京朝阳区北京中学·期中)已知函数（）．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若对，恒成立，求的取值范围．
1
0
单调递增 极大值 单调递减
5．(23-24高二下·北京清华大学附属中学·期中)已知函数，其中.
(1)判断曲线在处切线是否与轴平行；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个极值点，设极大值点为，且，判断与2的大小关系，并说明理由.
0
0 0
极大值 极小值
0
0 0
极大值 极小值
0
极小值
1．(22-23高二下·北京海淀区清华大学附属中学永丰学校·期中)已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
2．(23-24高二下·北京第一零九中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
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重难点05含参函数的单调性
5大高频考点概览
考点01 一次函数
考点02 二次函数（可分解）
考点03 二次函数（不可分解）
考点04 指数函数
考点05 二次指数函数
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，都有成立，求整数的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)2
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数，讨论，，求出的单调区间作答.
（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值情况作答.
【详解】（1）当时，，所以，
，所以在处切线斜率，
所以切线方程为.
（2）函数定义域为，，
当时，单调递减区间为；
当时，时，单调递减；
当时，单调递增；
综上，当时，单调递减区间为；无增区间，
当时，单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）当时，恒成立，
即恒成立.
令，
，
由（2）知，在上单调递增，
，故存在唯一的使得，即.
故当时单调递减，
故当时单调递增，
为极小值且为最小值，
，
，
故整数的最大值为2.
2．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；
（3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时， 减区间为，增区间为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.
所以，
因为，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，
令，，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于
即的值为.
3．(22-23高二下·北京海淀区北京大学附属中学行知学院·期中)已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)设函数，求证：当时，在上存在极小值，且极小值大于1.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，结合零点代换证出结论即可．
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，，
若，则，可知函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，当，，当，，
可知函数的增区间为，减区间为；
综上所述：若，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意可知：，可得，
因为，由（1）可知函数在上单调递增，
且，，
所以存在满足，即存在满足，
所以，在区间上的情况如下：
0
单调递减 极小值 单调递增
所以当时，在上存在极小值，
因为，可得，，
则，
所以当时，在上存在极小值，且极小值大于1.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解．
4．(21-22高二下·北京交通大学附属中学分校·期中)已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导函数求得切线斜率为1，然后利用点斜式即可求得切线方程；
（2）求出导函数，对a分类讨论即可得出单调区间；
（3）若恒成立，则在上恒成立，构造函数，利用导数研究其单调性即可得出函数的最值.
【详解】（1）函数，当时，，
又，所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为：，即；
（2），，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，令得，令得，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）若恒成立，则在上恒成立，
令，，则，
，令得，令得，令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极大值即最大值，故，
所以a的取值范围为
5．(22-23高二下·北京中关村中学·期中)已知函数，其中且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数没有零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）首先求函数的导数，分，和三种情况，讨论函数的单调性；
（3）根据（2）的结果，由单调性确定函数的最值，根据函数无零点，确定的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以，
因此切线的斜率，
又因为，所以切点为，
所以切线方程为,即.
（2）因为的定义域为，，
①当时，令，解得，
因为，所以
当x变化时，、变化情况如下表：
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以时，的单调增区间为，单调减区间为
②当时，的定义域为，
因为，，所以，
所以在定义域上单调递减，
所以时，没有单调增区间，单调减区间为，
③当时，的定义域为，
令，解得，
因为，所以，
当x变化时，、变化情况如下表：
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以时，的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，时，的单调增区间为，单调减区间为，
时，没有单调增区间，单调减区间为，
时，的单调增区间为，单调减区间为；
（3）由第（2）问的结论知，
①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，因此；
所以当时，函数没有零点，符合题意；
②当时，在定义域上单调递减，
，，
下面证明：
构造函数，因为，
当时，，
所以在上单调递减，所以，
即，
因为在定义域上单调递减，，，
因此当时，函数恰好有1个零点，不符合题意；
③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，注意到且，
所以要使函数没有零点，必须有，解得；
又因为，所以；
即：当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
故函数没有零点，符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查导数与函数性质，零点问题的综合应用，本题第二问，不仅要考虑讨论，同时还需注意定义域的变化，第三问的关键在第二问讨论的基础上，也需分情况讨论函数的最值，由函数无零点，证明不等关系.
1．(23-24高二下·北京通州区·期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的极大值与极小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)的极大值为10，极小值为；
【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论即可得出单调区间；
（2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果.
【详解】（1）由可得其定义域为，
且；
当时，恒成立，此时的单调递增区间为；
当时，，若或，；
若，；
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，，若或，；
若，；
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上可得时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）当时，，此时；
由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
所以可得函数在时取得极大值，即，
在时取得极小值，即；
所以函数的极大值为，极小值为.
2．(24-25高二下·北京东城区北京宏志中学·期中)已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)单调递减区间为和，单调递增区间为；
(3)．
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可；
（2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；
（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.
【详解】（1）因为，所以．
所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，
解得，，所以．
当x变化时，，的变化情况如下表所示．
x 2
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（3）在（2）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．
3．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)设函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，设，求证：不存在极大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到结论；
（2）求得后，对进行再次求导，可求得，结合零点存在定理可说明的正负，从而得到单调性，结合极值点定义可得结论.
【详解】（1）由题意知：定义域为，；
①当时，，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，令，解得，；
当时，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，；单调递增区间为；
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为.
（2）当时，，则，
令，则，
令，解得：，，
当时，；当时，；
，即在，上单调递增，在上单调递减，
，，又，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，不存在极大值.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解含参数函数的单调性、函数极值的求解问题，本题求解极值的关键是能够通过二次求导的方式，结合零点存在定理说明导函数的零点及单调性，进而根据极值点定义得到结论.
4．(23-24高二下·北京中关村中学·期中)已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在上的最大值；
(3)当时，求函数的单调区间；
(4)证明：当时，函数有且仅有一个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
(4)证明见解析
【分析】（1）分别求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程即得；
（2）对函数求导，推出函数的单调区间，求出函数在的极大值，与端点函数值比较，取其中较大值即为函数最大值；
（3）对函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，得出函数的单调区间即可；
（4）根据（3）得到的单调性，可推知在上没有零点，而在上至多有一个零点，从而得到至多有一个零点，再用零点存在定理说明的确存在零点即可.
【详解】（1）当时，，，故，.
从而所求切线经过点且斜率为，故曲线在点处的切线方程为；
（2）当时，，故.
从而当或时；当时.
故函数在和上单调递增，在上单调递减.
根据的单调性可知，当时有，而当时有.
所以对任意都有，而，故在上的最大值是；
（3）设，由于，故
.
①当时，，从而对和均有，故在和上单调递增，从而在上单调递增；
②当时，有，，从而当或时；当时.
故函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，对任意都有，从而当时；当时.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（4）当时，由（3）可知，在和上单调递增，在上单调递减.
一方面，对，有，这表明在上没有零点.
而在上单调递增，所以在上至多有一个零点.
二者结合，就可得到至多有一个零点；
另一方面，我们又有，，以及
.
故由零点存在定理可知，必有一个上的零点.
综上，当时，有且仅有一个零点.
5．(23-24高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数，其中．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论当时函数的单调性；
(3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值.
(2)答案见解析
(3)．
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）由函数有两个不同的零点、，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数的取值范围；
【详解】（1）当时，的定义域为，
当时，，当时，
在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值，
的极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，
又．
当时，令则或．
①当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
②当，即时，在上恒成立，在上单调递增.
③当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（3）有两个不同的零点、，
即有两个不同正实根，得有两个不同正实根，
即与有两个交点，
令，则，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
，解得，所以实数的取值范围为．
1．(23-24高二下·北京第九中学·期中)已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【分析】（1）对函数求导后，利用，求解即可；
（2）对函数求导后，讨论的范围，考查的正负即可；
（3）依题意，恒成立，不等式化为，构造函数，求得的最大值，令最大值小于零，即，构造函数，考查函数的单调性，进一步分析即可.
【详解】（1）由题，函数的定义域为，
则，，
由于曲线在点处的切线与直线垂直，
则，所以，
解得，.
（2），
故当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）依题知，当时，恒成立，
即恒成立，
化简为，
设，
则 ，
当时，恒成立，
故在单调递增，
此时不符合题意；
当时，，
令，得，令，得，
所以在单调递增，在单调递减，
故在处取最大值，
则恒成立，
化为恒成立，
设，
则当时，恒成立，
则在上单调递增，
又，且，，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，根据题目的特点构造一个适当的函数，对其求导，根据的取值讨论与的大小，若不等式恒成立，则只需恒成立即可，再次够造新函数，利用它的单调性即可解题.
2．(22-23高二下·北京顺义区·期中)已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求；
（2）结合（1）中函数的单调性，再由函数零点判定定理可求.
【详解】（1）函数的定义域为，
导函数，
当时，恒成立，在定义域上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，，时，，
若函数有两个零点，则，解得，
故的取值范围为
【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．(22-23高二下·北京第九中学·期中)已知函数．
(1)若函数在点处的切线方程为，求实数a，m的值；
(2)当时，求函数在区间上的最值；
(3)讨论函数的单调性．
【答案】(1)；
(2)最小值为， 最大值为；
(3)答案见解析.
【分析】（1）求出导函数，由求得，再由求得；
（2）求出，求得在上的解，确定的正负得单调性，求得极值（如极值只有一个，则它也是最值），另外计算区间端点处的函数值比较可得最值；
（3），分与讨论可得函数的单调性．
【详解】（1）∵，∴，
∵函数在点处的切线方程为，
∴，解得.
又，所以．
（2）当时，，，
令，解得：（舍去）或，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，
∴最小值， 最大值.
（3）函数的定义域为，,
当时，，函数在上单调递减；
当时，令，解得或（舍去）,
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
4．(22-23高二下·北京朝阳区第八十中学·期中)已知函数．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值；
(3)若，求的单调区间．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)答案见解析
【分析】（1）求导，再令即可得解；
（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；
（3）求导，再分和两种情况讨论即可得解.
【详解】（1），则；
（2），
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
（3），，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
5．(21-22高二下·北京一零一中矿大分校·期中)已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求出在处的切线的斜率，再由原函数求出在处的切点，利用直线点斜式直接得出答案；
（2）分类讨论，当时，由二次函数性质得出；当时，分为与，由导数得出，最后综合得出答案.
【详解】（1）当时，，
则，
在处的切线的斜率，且，
在处的切线方程为，
即；
（2）当时，，
此时在上单调递增；
当时，定义域为，，
当时，在定义域上恒成立，
此时在上单调递增，无递减区间；
当时，由解得，，解得，解得，
此时在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：
当，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为.
1．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)当且时，判断与的大小，并说明理由．
【答案】(1)的单调递增区间为；单调递减区间为和．
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性即可；
（2）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论.
【详解】（1）的定义域为，且．
令，得．
与的情况如下：
- - 0 +
所以的单调递增区间为；单调递减区间为和．
（2）当且时，，证明如下：
令，则．
设，则．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
从而，即．
所以的单调递增区间为和．
当时，，即；
当时，，即．
综上，当且时，．
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)若函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)判断方程解的个数，并说明理由；
(3)当，设，求的单调区间．
【答案】(1)
(2)方程有两个解，理由见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求导，得出，求出，即可得切线方程.
（2）利用第一问的导函数判断的单调性，方程解的个数即为函数与的交点个数.
（3）求导，分别讨论、和时的单调性.
【详解】（1），，又，所以切线方程为.
（2）方程有两个解.
由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，当时，，当时，，所以函数与有两个焦点，所以方程有两个解.

（3） ，
当时，，在上单调递增；
当时，，所以时，，单调递减，
和时，，单调递增；
当时，，所以时，，单调递减，
和时，，单调递增；
综上所述：当时，的单调增区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和.
3．(23-24高二下·北京鲁迅中学·期中)已知函数，其中.
(1)若，求此时的值；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由.
【答案】(1)2
(2)增区间，减区间
(3)，理由见详解
【分析】（1）求出导数，由，即可解得的值；
（2）利用导数的正负，求得的单调区间；
（3）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系.
【详解】（1）函数，则，
因为，所以，解得.
（2）的定义域为，，
所以在区间和上单调递减，
在区间上单调递增，
所以的递增区间为，递减区间为；
（3）当且时，，
证明如下：
令，则，
设，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，即，
所以的单调递增区间为.
当时，，即，
当时，，即，
综上所述，当且时，.
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤，（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.
4．(23-24高二下·北京朝阳区北京中学·期中)已知函数（）．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若对，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出，得到函数的单调区间，从而求得函数的最大值；
（2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性；
（3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，令，则，于是可列表如下：
1
0
单调递增 极大值 单调递减
∴当时，取最大值为.
（2）（），
当时，令或，
①当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
④当时，由，则函数在上单调递增.
综上：
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间.
（3），则不等式转化为，
设，
令（），则，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
又，
得，则，
即，所以，即实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．(23-24高二下·北京清华大学附属中学·期中)已知函数，其中.
(1)判断曲线在处切线是否与轴平行；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个极值点，设极大值点为，且，判断与2的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)平行；
(2)答案见详解；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用导数求出斜率，由解析式求切点纵坐标，求出切线方程可得；
（2）求导，分，，讨论可的单调区间；
（3）由知，可得，利用（2）中结论，分，讨论.当时，构造函数，利用导数讨论其最值，由即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以曲线在处的切线为，与轴平行.
（2）令，则或.
当时，时，，；
时，，.
故时，，所以单调递增区间为.
当时，，则有
0
0 0
极大值 极小值
所以单调递增区间为和，单调递减区间为.
当时，，则有
0
0 0
极大值 极小值
所以单调递增区间为和，单调递减区间为.
综上，当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）由知，则.
若有两个极值点，则.
当时，，，则有，则.
当时，，即，
又得则，
设，，则，令，得.
0
极小值
故，此时，.
所以当时，；当时，.
1．(22-23高二下·北京海淀区清华大学附属中学永丰学校·期中)已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【详解】（1）由题设，
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递减区间为，递增区间为.
（2）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，.
（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.
2．(23-24高二下·北京第一零九中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【详解】（1）由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递增区间为R，无递减区间；
时的递减区间为，递增区间为.
（2）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，
（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.
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