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重难点06函数零点问题
4大高频考点概览
考点01 零点个数
考点02 已知零点个数求参数
考点03 存在零点求参数
考点04讨论零点个数
1．(23-24高二下·北京海淀区北京一零一中·期中)函数的零点个数为____________，其极小值为_____________.
2．(22-23高二下·北京一零一中学·期中)函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(22-23高二下·北京景山学校·期中)关于函数，下列判断不正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
4．(23-24高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数，给出下列四个结论：
①函数存在两个不同的零点
②函数只有极大值没有极小值
③当时，方程有且只有两个实根
④若时，，则的最小值为2
其中所有正确结论的序号是______．
5．(23-24高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知函数，下列命题中：
①函数有且仅有两个零点；
②函数在区间和内各存在1个极值点；
③函数不存在最小值；
④，，使得；
⑤存在负数，使得方程有三个不等的实数根.
其中所有正确结论的序号是_______________.
1．(24-25高二下·北京大兴区·期中)若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．(23-24高二下·北京第八十中学·期中)设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
5．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
(3)若函数有两个零点，且，求的取值范围.
1．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②④
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____．
①函数有3个不动点；
②函数至多有两个不动点；
③若函数没有不动点，则方程无实根；
④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
3．(22-23高二下·北京通州区·期中)已知函数．
(1)求的零点；
(2)设，．
（ⅰ）若在区间上存在零点，求a的取值范围；
（ⅱ）当时，若在区间上的最小值是0，求a的值．
4．(21-22高二下·北京清华大学附属中学奥森、将台路校区·期中)已知函数，.
(1)当时，求证：在上有唯一极大值点；
(2)若没有零点，求的取值范围.
5．(22-23高二下·北京陈经纶中学·期中)设函数．
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：．
(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
1．(23-24高二下·北京育英学校·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的极值；
(3)当时，判断零点个数，并说明理由．
2．(21-22高二下·北京东直门中学·期中)已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值；
(3)当时，求函数的零点个数.（只需写出结论）
3．(22-23高二下·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，写出函数的零点个数.(只需直接写出结果)
4．(23-24高二下·北京第一七一中学·期中)已知函数,其中．
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,判断的零点个数,并加以证明;
(3)当时,证明:存在实数m,使恒成立．
5．(21-22高二下·北京大兴区·期中)已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线方程为y=0，求m的值；
(2)若对任意，都有，求m的取值范围；
(3)讨论在区间上的零点个数.
x
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
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重难点06函数零点问题
4大高频考点概览
考点01 零点个数
考点02 已知零点个数求参数
考点03 存在零点求参数
考点04讨论零点个数
1．(23-24高二下·北京海淀区北京一零一中·期中)函数的零点个数为____________，其极小值为_____________.
【答案】
【分析】直接令求零点，求导，确定单调性后可得极值.
【详解】令，则或（舍去）
所以，故函数的零点个数为；
又，
令，得，在上单调递减，
令，得，在上单调递增，
故的极小值为.
故答案为：；.
2．(22-23高二下·北京一零一中学·期中)函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解.
【详解】记，函数的定义域为，
，故函数在上单调递增.
又，所以函数的零点个数为.
故选:B.
3．(22-23高二下·北京景山学校·期中)关于函数，下列判断不正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【答案】C
【分析】由导数求极值最值可知A正确，由函数单调性和零点存在性定理可知B正确，参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，构造，利用导数判断单调性可知D正确．
【详解】函数的定义域为，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以是的极小值点，故A正确；
设，
，
因为，所以，
所以在上单调递减，
，，
所以，使得，
即函数有且只有个零点，故B正确；
若，即，则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，函数无最小值，且当时，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C错误；
要证，即证，
不妨设，由，，．
设，，
，
在上单调递减，
所以，
所以，即，
又因为，，，，
又因为在上单调递增，
所以有，即，故D正确．
故选：C．
【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系．
4．(23-24高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数，给出下列四个结论：
①函数存在两个不同的零点
②函数只有极大值没有极小值
③当时，方程有且只有两个实根
④若时，，则的最小值为2
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③
【分析】由，得到，可判定①正确；求得，得出函数的单调区间，可判定②错误；根据函数的最小值是，可判定③正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定④错误.
【详解】解：对于①中，由，可得，解得，所以①正确；
对于②中，由，
令时，可得，当时，或，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以②错误；
对于③中，当趋近正无穷时，趋近，
根据②可知，函数的最小值是，可得函数的大致图象，
所以当时，方程有且只有两个实根，所以③正确；
对于④中，由②知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
其中，当时，即在区间时，可得，所以④错误．
故答案为：①③．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当趋近正无穷时，趋近，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
5．(23-24高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知函数，下列命题中：
①函数有且仅有两个零点；
②函数在区间和内各存在1个极值点；
③函数不存在最小值；
④，，使得；
⑤存在负数，使得方程有三个不等的实数根.
其中所有正确结论的序号是_______________.
【答案】①④
【分析】求出的定义域及导数，结合函数零点、极值点及最小值的意义逐一判断各个命题得解.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
对于①，由，得或，函数有且仅有两个零点，①正确；
对于②，由，即，解得或，
或时，，当时，，
即是函数的极值点，而，②错误；
对于③，显然函数在上递减，在上递增，
而当时，恒成立，又的极小值，
因此是的最小值，③错误；
对于④，由于，恒成立，当 时，，
因为，所以时，使得，④正确；
对于⑤，显然当或时，，而当时，递减，
当时，递增，且当时，，
因此直线与函数的图象最多有两个公共点，
即方程最多有两个不等的实数根，⑤错误，
所以所有正确结论的序号是①④.
故答案为：①④
1．(24-25高二下·北京大兴区·期中)若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到或，求出答案.
【详解】定义域为R，
，
令得或，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，
要想函数有且仅有一个零点，需满足或，
即或，解得或.
故选：D
2．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义转化为有三个根，利用数形结合进行求解即可.
【详解】由题意得函数有三个零点，
则函数，即有三个根，
当时，，则，
由得，即，此时在上单调递减，
由得，即，此时在上单调递增，
当时，，当时，取得极小值，
下面我们作出的图象如图：
要使有三个根，则，故D正确.
故选：D
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，无零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，令，得到关于的不等式，解不等式即可求解.
【详解】当时，则，，
所以在上单调递增，且，，
在内存在唯一零点；
因为函数在其定义域内只有一个零点，
所以当时，无零点，
，令，则或（舍去），
在上单调递减，在上单调递增，
则，即.
故选：C
4．(23-24高二下·北京第八十中学·期中)设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1）当时，的定义域为，
，
令，则，解得，
令，则，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则.
令，其中，
则.
令，解得，令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为，
.
又，函数在上有两个零点，
的取值范围是.
5．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
(3)若函数有两个零点，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）通过求函数在某点的导数得到切线斜率，进而得出切线方程；
（2）根据曲线与直线的位置关系转化为函数的最值问题，通过求导判断函数单调性来确定最值.
（3）通过求导判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，再结合函数零点的情况来确定参数的取值范围.分别对不同情况下的值进行讨论，分析函数的最大值情况以及零点满足的条件，从而得出的取值范围.
【详解】（1）已知当时，，对求导得.
计算，将代入得.
计算，将代入得.
根据点斜式方程，所以切线方程为，即.
（2）当时，，其定义域为.
因为曲线总在直线的下方等价于，即.
设函数，对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得极大值，也是最大值，. 由于，
则，即，所以曲线总在直线的下方.
（3），
分情况讨论.
当，即时. 此时的导数.
根据的单调性，在上，单调递增；
在上，单调递减. 所以.
对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意.
当，即时.因为，根据的单调性，
在上， ， 单调递增； 在上， ，单调递减. 知，
因为有两个零点，且满足，得，.
又因为此时，所以.
由于，即，移项得到.
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
当，即时. 根据的单调性，
在上， ， 单调递增； 在上， ， 单调递减，知.
因为有两个零点，且满足，得，.
所以.
由于，即，移项得到.
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
综上，的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
1．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】B
【分析】①将转化为，求导研究函数的性质，得出恒成立，即得函数无零点；②将转化成，求导研究的性质，得出，符合题意；③时，显然无实根，则函数无零点；④时，由得到，研究函数的性质，即得在上无零点，在上必有一个零点，符合题意.
【详解】①当时，由（*），可得（），
设，，
则当时，，单调递减；当且时，，单调递增.
故时，，即方程无解，（*）也无解，
即此时无零点，不符题意；
②当时，由可得，（），
设，，
则当时，，单调递减；当且时，，单调递增.
故时，，即方程只有1个实数解，
则函数有且仅有一个零点，符合题意；
③当时，因，显然该方程无实数解，不符题意；
④当时，由可得，（），
设，则在上的零点等价于的零点，
而，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故时，，
当时，，故时，函数无零点，
又，故由零点存在定理，由可知，函数在上只有一个零点，
在上也只有一个零点，符合题意.
故选：B.
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____．
①函数有3个不动点；
②函数至多有两个不动点；
③若函数没有不动点，则方程无实根；
④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
【答案】②③④
【分析】由不动点的定义，逐项建立方程，并构造函数，根据方程与函数的关系，利用导数研究函数的单调性，可得答案.
【详解】对于①，令，，，当且仅当时取等号，
则函数在上单调递减，而，即函数在上只有一个零点，
所以函数只有一个不动点，故①不正确；
对于②，因为二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不动点，故②正确；
对于③，由题意可得方程无实根，即无实根，则，
当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有，
由，则，即，所以方程无实根；
当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有，
由，则，即，所以方程无实根；
综上所述，方程无实根，故③正确；
对于④，由点在曲线上，则，又，即有，
易知函数在定义域内单调递增，若，则，显然与矛盾，
因此，当时，，即当时，，
对，，可得，
令，，由，而两个等号不能同时取到，
即当时，，则函数在上单调递增，有，
即，则，故④正确.
故答案为：②③④.
3．(22-23高二下·北京通州区·期中)已知函数．
(1)求的零点；
(2)设，．
（ⅰ）若在区间上存在零点，求a的取值范围；
（ⅱ）当时，若在区间上的最小值是0，求a的值．
【答案】(1)零点是0；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）a的值为．
【分析】（1）由即可求解零点；
（2）（ⅰ）对求导，再对分类讨论，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解的范围；
（ⅱ）对分类讨论，求出的最小值，从而可得的值．
【详解】（1）因为，
令，即，
解得，
所以的零点是0；
（2）（ⅰ）因为，所以，所以，
①当时，．所以在区间上单调递增．
所以．
所以在区间上不存在零点，不符合题意．
②当时，令，即，得．
若，即时，．所以．
所以在区间上单调递增．
又，所以在区间上不存在零点，不符合题意．
若，即时，令，得；令，得．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
因为，所以存在，使得．
当，．
所以存在，使得．
由零点存在性定理，存在，使得．
所以在区间上存在零点．
综上所述，a的取值范围是；
（ⅱ）当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，也是最小值．
①当，即时，在区间上单调递增．
所以在区间上最小值为．
所以．
所以．
②当，即时，在区间上单调递减．
所以在区间上最小值为．
所以．
所以，不符合题意．
③当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以在区间上最小值为．
所以，即．
令，
所以．
所以在区间上单调递减．
因为，
所以在区间上无零点．
所以当时，方程无解，不符合题意．
综上所述，a的值为．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．(21-22高二下·北京清华大学附属中学奥森、将台路校区·期中)已知函数，.
(1)当时，求证：在上有唯一极大值点；
(2)若没有零点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出导函数，然后设，再进行求导并判断出函数的单调性，进而结合零点存在定理确定出原函数的单调性，最后证明问题；
（2）设，进而讨论函数的零点问题，进而确定出函数的零点问题，最后求出答案.
【详解】（1）若，则，.
令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，，所以在上有唯一零点.
于是，时，，单调递增，时，，单调递减，所以在上有唯一极大值点.
（2），令，则，
①若，则，在上是增函数.
因为，，所以恰有一个零点.
令，得，代入，得，解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时，故无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，故当且仅当，即时，无零点，符合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】本题第（1）问运用了二次求导和零点存在定理，问题非常典型，可以作为范例；第（2）问应当注意0不是函数的零点，此处容易出错.
5．(22-23高二下·北京陈经纶中学·期中)设函数．
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：．
(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)①；②证明见解；
(2).
【分析】（1）①当时，求得，得到，进而求得曲线在点处的切线方程；
②令，利用导数求得在单调递减，得到，即可求解；
（2）求得，令，分和两种情况，结合和单调性，求得，设使得，利用函数的单调性，得到，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，，可得，
则，
可得曲线在点处的切线方程，即.
②令，
则，
当，可得，在单调递减，
又因为，所以，即，即，
即当时，．
（2）解：由函数，可得，
令，
当时，，即，在区间上单调递增，
因为，所以，
所以函数在区间上没有零点，不符合题意；
当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，
由，解得，
当时，在区间上恒成立，
即，在区间上单调递减，
因为，所以，
所以函数在区间上没有零点，不符合题意；
综上可得，
设使得，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
1．(23-24高二下·北京育英学校·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的极值；
(3)当时，判断零点个数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，无极小值
(3)当时有一个零点，当时无零点
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；
（3）依题意可得，令，则判断的零点个数，即判断的零点个数，利用导数说明的单调性，求出，再令，，利用导数说明的单调性，即可求出，从而得解.
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，且，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，
又，
所以当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（3）令，即，
因为，所以，
令，
所以判断的零点个数，即判断的零点个数，
又，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，，
则，因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当时有一个零点，即有一个零点，
当时无零点，即无零点，
综上可得当时有一个零点，当时无零点.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数，.
2．(21-22高二下·北京东直门中学·期中)已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值；
(3)当时，求函数的零点个数.（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)1
【分析】（1）由题意首先求得切点坐标和切线的斜率，然后计算切线方程即可；
（2）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的最值即可；
（3）结合函数的性质给出函数零点的个数即可.
【详解】（1）当时，，，
故，，
切线方程为.
（2）由函数的解析式可得，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，
在区间上恒成立，函数单调递减，
在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为.
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为.
（3）当时，函数的零点个数为1个.
证明：①当时，令解得，
即在上只有一个零点；
②当时，由（2）知
在上单调递减，在上单调递增，
故，
而，
故在上只有一个零点；
③当时，，
在上单调递增，且连续不间断，
且，
故在上只有一个零点，且零点所在区间为.
综上所述，当时，在上只有一个零点。
3．(22-23高二下·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，写出函数的零点个数.(只需直接写出结果)
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)1个零点
【分析】（1）求得，得到且，进而求得切线方程；
（2）求得，分、、、和，四种情况讨论，进而求得函数的单调区间；
（3）由（2）知，当时， 单调递增，结合，得到在只有一个零点；当时，得到函数的递减区间为，递增区间为，结合极值和时，函数，得到在只有一个零点.
【详解】（1）解：由，可得，
则且，所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由函数的定义域为，且，
若，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，令，解得或，
①若时，即时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②若时，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
③若时，即时，可得，单调递增，
所以函数的单调递增区间为；
④若时，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为.
（3）解：由（2）知，当时，可得，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得极大值，极大值为，
当时，函数取得极小值，其中，
当时，函数，
所以函数在只有一个零点，
综上可得，函数在只有一个零点.
【点睛】方法技巧：对于利用导数零点的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据零点或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与零点的区别．
4．(23-24高二下·北京第一七一中学·期中)已知函数,其中．
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,判断的零点个数,并加以证明;
(3)当时,证明:存在实数m,使恒成立．
【答案】(1)
(2)1个
(3)证明见解析
【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;
(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;
(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.
【详解】（1）解:由题知,
,
,
,
故在点处的切线方程为,
即;
（2）由题,,
,
,
,
故在上单调递增,
,
故有1个零点;
（3）由题,,
,
令
,
,
即在上单调递增,
,
且
,
故,使得,
即
在上单调递增,
即,单调递减,
即,单调递增,
故,
若恒成立,
只需,
即即可,
故存在实数m,使恒成立.
【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:
(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;
(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;
(3)对新的函数进行求导求单调性;
(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;
(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.
5．(21-22高二下·北京大兴区·期中)已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线方程为y=0，求m的值；
(2)若对任意，都有，求m的取值范围；
(3)讨论在区间上的零点个数.
【答案】(1)1
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由函数导数的几何意义可得，从而得出答案.
（2）求出，分，分别讨论出函数的单调性，得出其最小值，从而可得出答案.
（3）由（2）中得出函数的单调性，结合零点存在定理可得答案.
【详解】（1）因为曲线在点处的切线方程为y=0，所以，
即，解得m=1.
（2），，
由于在单调递增，所以.
①当时，，所以在单调递增，即.
②当时，令，解得，
，的情况如下：
x
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
函数在单调递减，即，不合题意.
综上，使在都成立的m的范围是.
（3）根据第（2）的结论，
①当时，在单调递增，且有唯一零点x=0，所以在区间上没有零点；
②当时，
若，即时，在区间上有1个零点；
若，即时，在区间上没有零点；
综上，时，在区间上没有零点：当时，在区间上有1个零点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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