资源简介

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专题01 数列的概念及性质
5大高频考点概览
考点01 数列的概念及递推公式
考点02数列的基本量计算
考点03数列的性质
考点04 数列的前n项和
考点05 综合问题
一、选择题
1．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知数列，满足，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知数列满足，且，则（ ）
A．182 B．173 C．164 D．155
4．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)在数列中，，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
6．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．12 D．21
多选题
7．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知数列中，，能使的n可以为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
8．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
9．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
10．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则是等差数列
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
11．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则的公差为1
B．若为等差数列，则的首项为1
C．
D．
单选题
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知在等差数列中，，则（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
4．(24-25高二下·江西萍乡·期中)若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（ ）
A．1264 B．1224 C．1128 D．1120
5．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
6．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
7．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)在等比数列中，已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)2与32的等比中项为（ ）
A．8 B．17 C． D．
9．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
多选题
10．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)0．记等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．是递增数列
11．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)1．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等比数列 B．
C． D．
12．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)2．已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为
填空题
13．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知是等差数列，且 ，则的通项公式__________.
14．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知等比数列中，，，则______.
一、单选题
1．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若数列满足，则（ ）
A．0 B． C．3 D．1
3．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)若是1与9的等比中项，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
4．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知单调递减的等比数列满足，则（ ）
A． B． C．243 D．729
5．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列为等差数列，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
6．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A．15 B．101 C．21 D．19
二、多选题
7．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为
8．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A． B． C． D．
填空题
9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知等差数列，，，则_________.
10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知等比数列中，是方程的两个根，则______．
11．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知数列满足，，，则______．
12．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知等差数列满足，则的值为_____________________．
13．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．
一、单选题
1．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)在等差数列中，是其前n项和．若，则公差（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若函数，数列满足，则的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
多选题
6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
7．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．当取得最大值时， D．
8．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
填空题
9．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)记为等差数列的前项和，若，则______________.
10．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)等比数列的前项和为，若，则__________.
一、单选题
1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2016 B．2017 C．4032 D．4034
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．3 B． C． D．4
6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
8．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列、的通项公式分别为和（），设这两个数列的公共项构成集合A，则集合元素的个数为（ ）
A．166 B．168 C．169 D．170
二、多选题
9．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( )
A． B．是递增数列
C． D．数列为周期数列
10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A．
B．不存在正整数，对于任意的正整数，均有
C．
D．对于任意的正整数，均有
填空题
11．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知数列满足，，则______.
12．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.
13．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知正项等比数列满足，，则______．
14．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为______.
15．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________.
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专题01 数列的概念及性质
5大高频考点概览
考点01 数列的概念及递推公式
考点02数列的基本量计算
考点03数列的性质
考点04 数列的前n项和
考点05 综合问题
一、选择题
1．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据递推关系计算即可.
【详解】令可得，；令可得，．
故选：C．
2．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知数列，满足，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案.
【详解】，，，，……，
故为周期数列，一个周期为3，
故.
故选：C
3．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知数列满足，且，则（ ）
A．182 B．173 C．164 D．155
【答案】D
【分析】根据题意，由累加法求出通项，进而求得答案.
【详解】因为，则，
，
，…，，
将这个式子相加，可得，
化简得，又，
，则.
故选：D.
4．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)在数列中，，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据，，由递推关系求出，进而得到.
【详解】因为，，
所以，，
故选：C.
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
【答案】A
【详解】解：由an+1 =3Sn，得到an=3Sn-1（n≥2），
两式相减得：an+1-an=3（Sn-Sn-1）=3an，
则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，
得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，
所以an=a2qn-2=3×4n-2（n≥2）
则a6=3×44，选A
6．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．12 D．21
【答案】A
【分析】由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解即可．
【详解】正项数列满足，，所以，
可得，所以是等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故选：A．
多选题
7．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知数列中，，能使的n可以为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】AD
【分析】通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案．
【详解】由，，得：，，，
所以数列是周期为3的数列，所以，
故选：AD．
8．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可.
【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确；
对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确；
对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误；
对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确．
故选：ABD.
9．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据等比数列的定义判断各选项即可.
【详解】由题意，数列为等比数列，设其公比为，则.
对于A，，则，
所以，所以数列为公比为的等比数列，故A正确；
对于B，当为奇数时，不为整数，无意义，故B错误；
对于C，，则，
所以数列为公比为的等比数列，故C正确；
对于D，，则，
因为不为常数，故D错误.
故选：AC.
10．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则是等差数列
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】AB
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列为等差数列，，则，是关于项数的一次函数，是等差数列，故A正确；
而，，，，
作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或，所以 或，9故C错误；
当等比数列的公比时，，则，，，…，不可能为等比数列，故D错误.
故选：AB.
11．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则的公差为1
B．若为等差数列，则的首项为1
C．
D．
【答案】AD
【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D．
【详解】因为，所以，两式相减得．
若数列为等差数列，则的公差．
又，所以，解得，所以A正确，B错误；
，
所以，所以C错误．
因为，所以恒成立，
即成立，所以D正确，
故选：AD．
单选题
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知在等差数列中，，则（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【答案】D
【分析】根据等差数列的基本量运算求解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
.
故选：D.
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可.
【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，
设的公差为，则，解得，
所以.
故选：B
3．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
【答案】C
【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值.
【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则，
由.
故选：C
4．(24-25高二下·江西萍乡·期中)若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（ ）
A．1264 B．1224 C．1128 D．1120
【答案】B
【分析】根据已知结合二阶等差数列的定义，即可得出，进而根据累加法，即可得出答案.
【详解】依题意，是等差数列，
设其公差为，则，
即①，
，即②.
由①②解得，所以，
所以.
所以，
将以上个等式左，右分别相加，
得，得，
所以.
故选：B.
5．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
6．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【分析】设等比数列的首项为，根据题意列出方程组，求解即可.
【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，
所以有方程组，
解得或.
故选：C．
7．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)在等比数列中，已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得等比数列的公比，进而即可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为q，
，
．
故选：A
8．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)2与32的等比中项为（ ）
A．8 B．17 C． D．
【答案】C
【分析】根据等比中项的定义运算求解即可.
【详解】设2与32的等比中项为，
则，所以.
故选：C.
9．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比.
【详解】由题设，易知是方程的两个根，
又为递增的等比数列，所以，故公比.
故选：B
多选题
10．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)0．记等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．是递增数列
【答案】BCD
【分析】代入等差数列的通项公式和性质，即可判断选项.
【详解】，则，故A错误；
，故B正确；
，，得，所以的最小值为，故C正确；
由，，得，所以数列是递增数列，故D正确.
故选：BCD
11．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)1．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等比数列 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用与的关系可得是以1为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式及求和公式逐项分析即得.
【详解】，
，即，
当时，，
，
，即，
是以1为首项，以为公比的等比数列，故A正确；
∴，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
12．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)2．已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为
【答案】ACD
【分析】根据题设条件求出数列的公差，易得通项和前项和，易于判断A,B两项；对于新数列，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C项；对于D项，因数列的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列的公差为，，由解得：，
故，，故A项正确，B项错误；
将数列列举出来为：
数列列举出来为：
故共同项依次有：,即，
故，则，C项正确；
因，
其前10项和为．故D项正确.
故选：ACD.
填空题
13．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知是等差数列，且 ，则的通项公式__________.
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算求出，代入通项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，
因代入解得，
故.
故答案为：.
14．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知等比数列中，，，则______.
【答案】
【分析】根据下标和性质求出，从而求出，再由通项公式计算可得.
【详解】因为，又，，所以，
又，设公比为，则，则，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得成等差数列，计算即可求得的值.
【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列，
因为，，所以，，
所以，所以，所以.
故选：A.
2．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若数列满足，则（ ）
A．0 B． C．3 D．1
【答案】A
【分析】首先列举计算数列的前面一些项，观察得出数列是周期数列，进而再利用周期性求数列的第102项.
【详解】由条件可知，，，，，... ，
所以数列的周期为3，所以.
故选：A
3．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)若是1与9的等比中项，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】C
【分析】由等比中项的性质求解．
【详解】由已知得，∴，
故选：C.
4．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知单调递减的等比数列满足，则（ ）
A． B． C．243 D．729
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质求出，进而可求出，再根据等比中项即可得解.
【详解】依题意，且，则，
故.
故选：B.
5．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列为等差数列，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】解：在等差数列中，所以，
所以；
故选：A
6．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A．15 B．101 C．21 D．19
【答案】C
【分析】由数列的前几项可得数列的通项公式，进而得到结果.
【详解】因为数列的前几项为，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，则.
故选：C
二、多选题
7．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为
【答案】ACD
【分析】根据前项和求，利用通项公式判断A，求出判断B，利用裂项相消法求和判断C，利用分组求和判断D.
【详解】数列的前项和，
当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，，
则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，
数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D正确.
故选：ACD.
8．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断.
【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；
对，若，则，所以为递增数列，故错误；
对，若，则，所以为递减数列，故正确；
对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
填空题
9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知等差数列，，，则_________.
【答案】
【分析】利用等差数列的基本性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，可得.
故答案为：.
10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知等比数列中，是方程的两个根，则______．
【答案】8
【分析】根据韦达定理及等比中项的性质即可求解.
【详解】由韦达定理可得，由等比数列的性质可得．
故答案为：8.
11．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知数列满足，，，则______．
【答案】1
【分析】方法一：列出数列的前几项，即可得到数列是周期为的周期数列，根据周期性计算可得；方法二：把看作，则，即可得到数列是周期为4的周期数列，根据周期性计算可得.
【详解】方法一：由题意知，，，，
则，，，，，
因此数列是周期为4的周期数列，所以．
方法二：把看作，则，
因此数列是周期为4的周期数列，所以．
故答案为：1.
12．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知等差数列满足，则的值为_____________________．
【答案】3
【分析】根据等差数列下标和性质运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
所以.
故答案为：3.
13．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．
【答案】10
【分析】根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案.
【详解】由题意得：，∴，
，∴，，
∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，
因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于，∴{||}最小的项是第10项，
故答案为：10
一、单选题
1．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用裂项相消法求数列的和即可.
【详解】解：，
所以.
故选：C.
2．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)在等差数列中，是其前n项和．若，则公差（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据等差数列求和公式基本量运算求解.
【详解】等差数列中，是其前n项和．
若，
则公差.
故选：A.
3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由根与系数的关系求出，再根据等差数列的性质即可求出．
【详解】由题可得，，所以，即．
故选：A．
4．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若函数，数列满足，则的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导，根据题意分析可知数列是以首项，公比的等比数列，进而可得.
【详解】因为，则，
又因为，可得，
可知数列是以首项，公比的等比数列，
所以.
故选：A.
5．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】D
【分析】根据可得，结合等比数列的定义可知是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出，进而求出即可求解.
【详解】根据题意：，
两式作差可得，当时，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
故选：D．
多选题
6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D.
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
7．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．当取得最大值时， D．
【答案】BC
【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，从而得且，进而可判断ABC，对于D，作差判断即可
【详解】，所以，
，
所以，所以且，
所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故A正确，BC错误．
因为，所以，故D正确．
故选：BC．
8．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
【答案】ABD
【分析】将两边取倒数，即可得到，从而判断A、B；利用作差法判断的单调性，即可判断C；利用分组求和法判断D.
【详解】因为数列满足，，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故A、B正确；
又，
即，所以数列为递减数列，故C错误；
因为，所以，
所以数列的前项和为
，故D正确.
故选：ABD.
填空题
9．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)记为等差数列的前项和，若，则______________.
【答案】
【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
10．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)等比数列的前项和为，若，则__________.
【答案】28
【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案.
【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列，
所以，因为，解得，
故答案为：28
一、单选题
1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2016 B．2017 C．4032 D．4034
【答案】A
【分析】根据递推关系可证数列是等差数列，进而利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求出，结合条件求得结果.
【详解】由，可得，又
，故数列是以12为首项，8为公差的等差数列，
则，，，
，，
故当时，，
则当时，，又适合上式，故，，
，
，
.
又，故.
故选：A.
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据与的关系可得，进而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公式后代入不等式整理可得恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.
【详解】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，
令，则，而，所以，
即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.
故选：C
3．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】设首项为，由题可知，则数列为等差数列，后由，
可得，即可得答案.
【详解】设首项为，因等比数列各项为正，则，，则数列为等差数列.
，又由题可得，则
，即数列为递减等差数列.
则数列前7项为正数，则当取得最大值时，n等于7.
故选：B
4．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
【详解】解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】由极值点的定义结合韦达定理代入计算，即可得到，，再由等比数列的性质代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
因为，是函数的极值点，
由韦达定理可得，，
所以，因为等比数列奇数项同号，则
由等比数列的性质可知，则.
故选：B
6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：.
7．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合等比数列的性质可知，再对函数求导，代值即可求解
【详解】为等比数列，，，
则．
由
得，
则．
故选：D
8．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列、的通项公式分别为和（），设这两个数列的公共项构成集合A，则集合元素的个数为（ ）
A．166 B．168 C．169 D．170
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出数列、的公共项构成的数列通项，再列不等式求解即得.
【详解】依题意，令，即，整理得，
因此是3的正整数倍，令，即，
于是数列、的公共项构成的数列，有，
由，得，
所以集合中元素的个数为169.
故选：C
二、多选题
9．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( )
A． B．是递增数列
C． D．数列为周期数列
【答案】ABC
【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误．
【详解】数列满足：，当时，，
，
∴数列是首项为，公差为1的等差数列，
，
，故C正确；
，故A正确；
∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．
故选：ABC．
10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A．
B．不存在正整数，对于任意的正整数，均有
C．
D．对于任意的正整数，均有
【答案】ABD
【分析】分别写出数列和数列的前三项，求出或，分别验证可判断A；判断数列是否存在唯一的最大值可判断B；令，利用裂项相消法可求出可判断C和D.
【详解】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即，
因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即．
代入得，等价于，
也即，所以或．
若，那么，所以，
此时不为等比数列，所以不符合题意，
若，则，得，
检验得为等差数列，为等比数列，故A正确；
对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大值，
令，解得，令，解得，当时，，．
所以，即最大值不唯一，因此不存在符合题意的正整数，故B正确；
对于C， ．
记，注意到．
所以，，
故，故C错误；
对于D，由C知，对于任意的正整数，均有，故D正确．
故选：ABD．
填空题
11．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知数列满足，，则______.
【答案】
【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解.
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，
由此解得.
故答案为：
12．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.
【答案】 / 1024
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式、指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】由题意得，则，得.
因为，所以.
易得，则，
所以.
当时，，当时，，
所以.
故答案为：；
13．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知正项等比数列满足，，则______．
【答案】32
【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果.
【详解】设正项等比数列的公比为，可知；
因此可得，两式相除可得，
解得或；
可得或（舍）；
因此.
故答案为：
14．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为______.
【答案】4
【详解】试题分析：当时，或；当时，若，，于是，
若，，于是，
若，，于是，
若，，于是，
所以当时，，
所以要涉及最多的不同的项数列可以为：2,1， 1,0,0…，从而可看出.
【考点】数列的项与和
【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
15．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，根据得到和q的关系，再结合数列单调递减和数列不具有单调性判断q的范围，取一个符合条件的q值，求出对应的即可得到答案．
【详解】设，
由得，，
∵数列不具有单调性，∴，
又∵数列单调递减，故，
综上，，不妨取，则．
经检验符合题意．
故答案为：．
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