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专题01 数列
2大高频考点概览
考点01等差数列与等比数列的基本概念
考点02 通项公式与数列求和的综合应用
一、单选题
1．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．31 B．45 C．57 D．63
3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·山东日照·期中）已知数列满足：. ，则（ ）
A．34 B．42 C．46 D．64
二、多选题
6．（24-25高二下·山东济宁·期中）将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（ ）
A．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个
B．若，，则这样的数列共有个
C．若，，，则这样的数列共有个
D．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个
7．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）.
A．. B．数列为等比数列.
C．. D．.
一、单选题
1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．11
2．（23-24高二下·山东日照·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．7 B．8 C．或8 D．
3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）记数列的前n项和为，若，则（ ）
A．301 B．101 C． D．
4．（24-25高二下·山东德州·期中）在等比数列中，，记，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·山东淄博·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
二、多选题
7．（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的公差，则为递增数列
C．若，则
D．若，则
8．（24-25高二下·山东潍坊·期中）设数列的前n项和为，若满足：对任意的正整数，存在正整数m，k，使得，称数列是“T数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为T数列
B．若，则为T数列
C．若，则为T数列
D．若，则存在两个T数列，使得
9．（23-24高二下·山东潍坊·期中）黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高二下·山东淄博·期中）数列的各项均为正数，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．
三、填空题
11．（23-24高二下·山东潍坊·期中）记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．
12．（24-25高二下·山东德州·期中）已知等差数列的前n项和分别为，且，则______.
13．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等比数列中，，则_______．
14．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为______；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为______.
15．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列的前项和为，且，则__________.
16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______．
四、解答题
17．（24-25高二下·山东济南·期中）已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列．
(1)求的值．
(2)记，求被4除的余数．
18．（24-25高二下·山东德州·期中）等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
19．（23-24高二下·山东日照·期中）已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和.
20．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
21．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
22．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
23．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”.
(1)若是函数关于的“N数列”，求的值；
(2)若是函数关于的“N数列”，记.
（i）证明数列是等比数列；
（ii）证明：.
24．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
25．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
26．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
27．（23-24高二下·山东日照·期中）已知数列满足，且对任意正整数都有.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；
(3)设是数列的前项和，求证：.
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专题01 数列
2大高频考点概览
考点01等差数列与等比数列的基本概念
考点02 通项公式与数列求和的综合应用
一、单选题
1．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等比数列的定义求出数列的通项，再利用累加法求出数列的通项，代值即得.
【详解】因数列是公比为3的等比数列，且，
则数列的首项为，，
，
故.
故选：D.
2．（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．31 B．45 C．57 D．63
【答案】C
【分析】根据构造法可得为等比数列，即可求解.
【详解】由可得，故是以2为公比，首项为2的等比数列，
所以，
故选：C
3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据递推公式一一计算即可.
【详解】因为，，
所以，，，.
故选：A
4．（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解.
【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，，故A错误；
为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，
，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可.
5．（23-24高二下·山东日照·期中）已知数列满足：. ，则（ ）
A．34 B．42 C．46 D．64
【答案】B
【分析】由,利用递推思想，逐项求出，再相加即可.
【详解】，
则，，，；
则．
故选：B.
二、多选题
6．（24-25高二下·山东济宁·期中）将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（ ）
A．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个
B．若，，则这样的数列共有个
C．若，，，则这样的数列共有个
D．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个
【答案】BC
【分析】对于A：对的位置分类讨论，即可求解；对于B，根据对称性可得，即可判断B，对于C，分、、三种情况讨论，即可求解；对于D，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可求解.
【详解】对于选项A，从中选出1个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
从中选出2个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
从中选出3个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
从中选出4个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有；
从中选出5个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，所以选项A错误，
对于选项B，由于为奇数，所以没有三个数之和相等的两组数，根据对称性可知这样的数列有个，故选项B正确；
对于选项C，若，从中任选个作为，有种，
因为，，，则一定是剩下四个数中最大的数，
再从个数中选作为，剩下的一个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个；
若，从中任选个作为，有种，
因为，，，则一定是剩下个数中最大的数，且，
再从个数中选个作为，剩下的1个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个；
若，从中任选个作为，有种，
此时中剩下的两个数只能是，且，，
由分步计数原理可知满足条件的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故选项C正确；
对于选项D，若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故选项D错误，
故选：BC.
7．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）.
A．. B．数列为等比数列.
C．. D．.
【答案】BC
【分析】由直接代入得到，再代入得可判断A，构造等比数列，通过递推式变形，发现数列是公比为2的等比数列可判断出B，结合B选项得到的通项公式，从而得到和的通项公式，直接代入通项公式验证CD选项.
【详解】构造等比数列，两边加1得:，
所以数列是首项为，公比为 2的等比数列，
由等比数列通项公式得：，，，
由，首项得，选项A错误；
由可知是公比为2的等比数列，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D错误；
故选：BC.
一、单选题
1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据等差中项的性质即可求解.
【详解】由于6是t和2的等差中项，故，故，
故选：C
2．（23-24高二下·山东日照·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．7 B．8 C．或8 D．
【答案】D
【分析】由韦达定理得到，再根据等比数列性质可以求出.
【详解】等比数列中，是方程的两个根，则，
再根据等比数列性质可以求出.
故选：D.
3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）记数列的前n项和为，若，则（ ）
A．301 B．101 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分组求和法计算即得.
【详解】数列中，，则，
所以
故选：C
4．（24-25高二下·山东德州·期中）在等比数列中，，记，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用等比数列通项公式计算结合乘积即可计算最值.
【详解】等比数列中，，
所以，当，当，
，则的最大值为.
故选：C.
5．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出等差数列的公差，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】因为数列为等差数列，且，，则该数列的公差为，
因此，.
故选：A.
6．（24-25高二下·山东淄博·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出及前n项和，再利用对勾函数的性质求出最小值.
【详解】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，，
因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，，
而，则数列是等差数列，
于是，，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取得最小值38.
故选：C
二、多选题
7．（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的公差，则为递增数列
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据等比数列的性质即可求解A，根据等差数列的性质即可求解BCD.
【详解】对于A,由于数列为等比数列，当公比不为1时，则，故A错误，
对于B，，则，故，所以为递增数列，B正确，
对于C,可知公差为2，首项为1，所以，C正确，
对于D , 若，则,D正确，
故选：BCD
8．（24-25高二下·山东潍坊·期中）设数列的前n项和为，若满足：对任意的正整数，存在正整数m，k，使得，称数列是“T数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为T数列
B．若，则为T数列
C．若，则为T数列
D．若，则存在两个T数列，使得
【答案】ABD
【分析】结合周期数列性质以及“T数列”定义，可判断A；，利用“T数列”定义结合等差等比数列性质可判断BCD.
【详解】对于A，，为：，为周期数列，
则的可能取值为0或1，故当，时，可取，
时，可取，
故为T数列，A正确；
对于B，，则，
故对任意的正整数，为偶数，
令，则，由于为偶数，则为整数，
总能找到正整数，使得成立，如，
即存在正整数m，k，使得成立，B正确；
对于C，，，
当时，，令，
由于，
，故不存在正整数m，k，使得，C错误；
对于D，，可取，
结合B的分析可知为T数列，
对于，，
令，即，
对任意的正整数，总为正整数，
故总能找到正整数，使得成立，如，
故为T数列，即存在两个T数列，使得，D正确，
故选：ABD
9．（23-24高二下·山东潍坊·期中）黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由即可举出反例，对于B，首先得，利用作差法即可判断；对于CD，利用数学归纳法即可证明.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以，
所以，即，故B正确；
对于C，当时，，
若当时，成立，
则时，
，故C正确；
对于D，当时，，
若当时，成立，
则时，，
要使，
而，，
只需，只需，显然，
故只需，
当时，该式子为，显然成立，
若当时，有，
当时，
，
从而对任意正整数均有，
综上所述，，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数均有成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解.
10．（24-25高二下·山东淄博·期中）数列的各项均为正数，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．
【答案】BD
【分析】由导数的意义求出切线的斜率与由斜率的定义式化简可得，代入和可得A错误；构造数列可得B正确，构造数列后由可得C错误；由等比数列的定义可得D正确.
【详解】由得，
所以切线的斜率，
因为各项均为正数，所以化简可得，
对于A，当时，，即；
当时，，即，
所以，故A错误；
对于B，，
所以数列是以首项，公比为3的等比数列，故B正确；
对于C，因为，则，且，故C错误；
对于D，因为，且，则，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（23-24高二下·山东潍坊·期中）记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．
【答案】12
【分析】由已知结合等差数列基本量的计算、等差数列的性质得，进一步结合等差数列基本量的计算列方程即可求解.
【详解】设的首项、公差分别为，则，
所以，
因为，所以.
故答案为：12.
12．（24-25高二下·山东德州·期中）已知等差数列的前n项和分别为，且，则______.
【答案】/
【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得.
【详解】由题意可得，，
则.
故答案为：
13．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等比数列中，，则_______．
【答案】
【分析】由等比数列下标和的性质代入计算，即可得到结果.
【详解】由等比数列的性质可得，即，解得.
故答案为：
14．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为______；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为______.
【答案】 13 235，257，284
【分析】利用给定的递推公式依次计算得解；求出，再借助周期性质求出.
【详解】依题意，，
，
所以当时，使得的最小n为13；
由，得，则或，
若，则；若，则或，
当时，；当时，；
当时，，
由，得，因此数列从第6项起成周期性，周期为3，
于是，当时，；
当时，；当时，，
所以所有可能的取值为235，257，284.
故答案为：13；235，257，284
15．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列的前项和为，且，则__________.
【答案】
【分析】根据并项求和，结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由可得
，
故答案为：
16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可得到切线方程，从而得到，以及与的关系，再由，即可得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而得到通项公式，再令，计算，通过其单调性，即可得到最大值.
【详解】由可得，且，，
则切线方程为，令可得，解得，即，
在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
因为切线交轴于，令，则，
即，即，
则，
则，
因为，所以，
且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，
设，则，
当时，，
当时，，
当时，，即，
所以，且，
即的最大值为.
故答案为：；.
四、解答题
17．（24-25高二下·山东济南·期中）已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列．
(1)求的值．
(2)记，求被4除的余数．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据三项的二项式系数成等差，列出方程，求解检验即可；
（2）将拆成，运用二项式定理展开整理后，易得被4除的余数.
【详解】（1）依题意，，即，解得或，因，故；
（2）由（1）可得，则，
由，
易得，故能被4整除，
则可得被4除的余数为1.
18．（24-25高二下·山东德州·期中）等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项与前n项和的基本量运算，列方程，求出首项与公差，即得数列通项；
（2）利用错位相减法求即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
由题意，解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以的前项和
所以
①－②得，
故.
19．（23-24高二下·山东日照·期中）已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组求出公差与公比，得到，再由错位相减法求和即可；
（2）由分组求和结合等比数列求和公式与裂项相消法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，
，
解得：，
，
，
，
，
两式作差得：
.
（2）由（1）得：.
则
.
20．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）时，有，将它与已知式子相比可得，检验是否满足该式子即可得解；
（2）先通过分组求和、等比数列求和公式得，然后对分离参数得不等式对恒成立，从而只需求出的最大值即可得解.
【详解】（1）因为，
所以时，，
所以当时，，
又满足上式，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
所以，
即不等式对恒成立，
令，，
令，可得，
当时，，此时，即此时有，
数列的最大项为，所以．
21．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）作差即可求解，同除以得为等差数列，即可求解，或者利用累加法求解，
（2）利用裂项求和可得，即可求解.
【详解】（1）①
当时，，当时，②
①－②，可得，所以
又满足，故.
对于数列
法一
由数列，同除得
，
即，
又
故数列是首项为2的常数列，故通项公式为.
法二
，
累加得：，又所以
当时，符合上式.所以
（2）令，
所以
因为，故
22．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项求和公式建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1）可得，进而，结合裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，
所以.
23．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”.
(1)若是函数关于的“N数列”，求的值；
(2)若是函数关于的“N数列”，记.
（i）证明数列是等比数列；
（ii）证明：.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）先求出导函数得出斜率，再点斜式得出直线方程；
（2）（i）先求出切线方程，再结合等比数列定义计算证明；（ii）由（ⅰ）可知，则，构造函数，求出导函数得出函数单调性证明.
【详解】（1），曲线在点处的切线斜率为，又，
则在处的切线方程为，
令，则，所以.
（2）（i）由题可知，则在处的切线方程为，
令，则，所以.
在处的切线方程为
令，则，所以.
所以
即
又，则，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）可知，则，
要证，即证：.
因为，即证：，
即证：
构造函数，则
故在单调递增，对任意，
即，取，则有，
故只需证：，
即需证：，
构造函数，则，
故在单调递减，则，
即对任意，取，
即有，
综上，.
24．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用消去，得到等差数列，并通过求出其通项，进而得到的通项，并对时验证；
（2）先求，将数列的前项和转化为数列的前项和.
【详解】（1）∵，
∴，
两式相减得：，
即，
∴，∴，
∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，
∴，∴.
当时，满足上式，∴.
（2）由（1）知，
∴，
∴，
又
即数列是以为首项，为公差的等差数列.
∴.
25．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式；
（2）需要先用错位相减法求得数列{}的前项和为，代入不等式中对分类讨论，转化为最值问题，求出范围即可．
【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2）解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当为奇数时，，
当为偶数时，
综上：实数的取值范围为．
26．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据等差数列等比数列基本量的计算可得公差和公比，即可利用等比等差的通项求解，
（2）利用错位相减法求解，根据的单调性，将问题转化为，解不等式即可求解.
【详解】（1）由可得数列为等差数列，
设的公差为，的公比为，
由于是和的等比中项，所以，
由题意可得，解得，
所以，
即
（2）由（1）可得，
所以，
，
相减可得，
而，于是为单调递增数列，即，
对任意的，不等式恒成立，得，
解得或，
故的取值范围为或.
27．（23-24高二下·山东日照·期中）已知数列满足，且对任意正整数都有.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；
(3)设是数列的前项和，求证：.
【答案】(1)，，
(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）因为对任意正整数都有，
故，，
令，可得，
所以.
当时，，
当时，，符合上式，所以；
（2）由（1）得，当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，
.
综上所述，；
若为偶数，则为奇数，由，得，
解得（舍去）或；
若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求的值为2.
（3）由
现在我们来证明时，，
令，求导得，
所以在上单调递增，所以，
结合当时，，有，
所以.
故
【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简，得，再证明时，，利用结论，对数列进行放缩，得到，可证结论.
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