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专题01 直线与圆及圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线）
5大高频考点概览
考点01直线与圆
考点02椭圆
考点03双曲线
考点04抛物线
考点05轨迹问题
(
考点01
直线与圆
)
1．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求.
【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，
所以直线的斜率为，
又因为线段的中点为，所以直线的方程为，
整理可得.
故选：C.
2．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦长为__________.
【答案】
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长.
【详解】

如图，由圆与圆相减，
整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：，
由圆的圆心到直线的距离为，
由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.
故答案为：.
3．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为______．
【答案】
【分析】由圆的方程得出圆心与半径，根据已知及点到直线的距离公式列出方程求解即可．
【详解】由得，，圆心，半径，
所以，又，
所以圆心到直线的距离为，解得，
故答案为：．
4．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解.
【详解】由，
可得：，
即，
结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，
故选：B
5．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，借助点到直线距离判断即可.
【详解】设切点坐标为，求导得，
依题意，，即，解得或，
则切点坐标为或，切线与直线的距离即切点到该直线距离，
当切点为时，，
当切点为时，，
由，即点到直线的距离最大.
故选：D
6．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)（多选）已知直线，圆，则下列命题正确的有（ ）
A．直线l过定点
B．若直线l过C点，则
C．存在实数t，使得直线l与圆C相切
D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为
【答案】AB
【分析】对于A，根据直线方程特点易得；对于B，将点代入，计算即得；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于D，根据直线过圆内的定点，即可判断当且仅当时弦长最短，同时结合图象可判断此时直线的斜率不存在，从而排除.
【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确；
对于B，直线l过点，则有，则，故B正确；
对于C，由圆心到直线的距离，可得，
显然的值不存在，故C错误；
对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长，
而直线l过定点，当且仅当时， ，此时，，
但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误.
故选：AB.
(
考点02
椭圆
)
7．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意由圆锥曲线的定义逐一判断即可.
【详解】当，即时，方程表示的曲线为圆；
当，，，即时，方程表示的曲线为椭圆；
当，即时，方程表示的曲线为双曲线；
方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线.
故选：D.
8．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．12
【答案】B
【分析】由离心率的定义即可求解.
【详解】由题意可知：，
所以，
解得：，
故选：B
9．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则（ ）
A．
B．
C．当与，不重合时，
D．设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是
【答案】ACD
【分析】由题意确定椭圆方程，结合椭圆的性质及向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】由题意知：，由，可得，
所以椭圆的方程为，所以，A正确；，B错误；
设，，，则，C正确；
设，则，
由，可得：，
解得：，
则，所以，即，D正确.
故选：ACD.
10．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上．
(1)求出椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线过定点．
【分析】（1）利用给定的离心率和椭圆经过的点求出基本量，进而得到椭圆方程即可.
（2）联立方程组结合韦达定理得到，再利用得到，最后分类讨论求解定点即可.
【详解】（1）因为离心率为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
因为，所以解得，
则椭圆C的标准方程为.
（2）①若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形，
得到，此时，
则直线，与椭圆方程联立，
解得，故直线过椭圆左焦点，即，
②若直线斜率存在，如图，设，
联立方程组，消去得，
由韦达定理可知，
由已知得，且设，
可以求出直线方程为，
令，得到，，
故，又因为，
故，
代入韦达定理得，
求得，即，得到或，
当时，直线过，此时三点重合，不符合题意；
当时，直线方程为，此时直线AB过定点
综上所述：直线过定点．
11．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②1
【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可；
（2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可；
【详解】（1）由题意可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由条件，即，
由于直线不过点，故，
化简可得，
所以
，
代入（▲）式，，此时直线恒过定点．
②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，

所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件．
故的最小值为．
解法二：①设，，由条件，即（★），
由点在椭圆上，则有，
即①，同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式可得：，
即，
变形可得．所以直线恒过定点．
②解法同一.
(
考点03
双曲线
)
12．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________.
【答案】4
【分析】利用等轴双曲线的离心率为，结合实轴长可算出焦距.
【详解】由反比例函数曲线是等轴双曲线，可知其离心率为，
再由函数与焦点所在的直线的交点坐标为，
这两点间的距离为实轴长，即，所以，
再由，
故双曲线的焦距长为，
故答案为：.
13．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得.
【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或.
故选：D.
14．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 . 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____.
【答案】 14
【分析】利用点差法，可求直线的斜率，在中，利用勾股定理可求的值.
【详解】如图：
设点，，渐近线方程为，
则，，相减得，
，所以.
设与轴交于，，，
则，，
，
在直角中，，，，
所以，解得，实轴长为14.
故答案为：；14
15．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的几何性质及离心率的定义即可求解．
【详解】∵多边形为正六边形，设边长为，
∴，
，
故选：C．
16．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，_____；当时，则_________.
【答案】 /
【分析】利用点在双曲线上得到等量关系，利用斜率公式得到定值求解第一空；利用正弦定理，面积公式，和角正切公式，结合第一问结论化简计算得出第二空.
【详解】
（1）当时，双曲线方程为：由于点在双曲线上，设点，
，．
．
（2）在中，由正弦定理：
，，
，
，
由（1）可得：，
.
故答案为： ；．
17．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)（多选）设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则双曲线的两条渐近线的方程是
B．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3
C．若，则的面积等于
D．若双曲线为等轴双曲线，且，则
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据点在双曲线上，结合离心率的计算即可求解B，根据焦点三角形的性质结合双曲线定义即可求解C，根据余弦定理即可求解D.
【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为，
当，时，双曲线的渐近线方程是，故A错误；
对于B：因为点在上，则，得，
所以双曲线的离心率，故B正确；
对于C：因为，若，则，
即，即，
得，所以，故C正确；
对于D：若为等轴双曲线，则，从而，
若，结合，则，，
在中，由余弦定理，得，故D正确，
故选：BCD.
18．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若，证明数列是等差数列.
(3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程；
（2）根据等差数列定义证明即可；
（3）应用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意可设双曲线的标准方程为（，），
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）因为点（）在曲线上，所以
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）可知，
由于，所以
所以
所以
(
考点04
抛物线
)
19．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义得到，从而，结合图形，可知当三点共线，且在中间时，取得最小值，利用点到直线的距离计算即得.
【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知．
如图，设于点，则，
由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值．
由抛物线，得，
所以的最小值即点到直线的距离，为．
故选：D ．

20．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和.
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程.
(2)求证：为定值.
(3)求面积的最小值.
【答案】(1)标准方程为，准线方程为
(2)证明见解析
(3)16
【分析】（1）根据焦点坐标求解即可；
（2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可.
【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴，
∴抛物线C的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设点P的坐标为，，
由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为k，则切线的方程为，
联立方程组，消去x，得，
∴得（*），
又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
联立方程组整理得，，
∴，，
∵，∴，
整理得，
代入有，
∴，∴且，
∴AB：，故直线AB过定点.
∴，，
∴，
点P到直线AB的距离为，
∴，
因为函数在单调递增，而，
∴当时，，
所以面积的最小值为.
21．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点.
(1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；
(2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可.
（2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
设直线的方程为，
联立方程组，得到，
因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得，
此时，代入抛物线中得，
由抛物线定义得．
（2）由题意得直线的方程为，
如图，设，，连接，
联立方程组，得到，由，则．
因为，且，，
所以，解得，
当时，，，所以直线，
联立方程，得到，则，
因为，所以为的中点，又为的中点，直线交于点，
所以点为的重心，所以
，
同理当时，，综上可得．
(
考点05
轨迹问题
)
22．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ）
A．直线上 B．圆上 C．抛物线上 D．椭圆上
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律及线面垂直的性质得到，即可得解.
【详解】由，
因为平面，平面，所以，即，
所以，
又底面是边长为的菱形，，为底面内的一个动点，
所以在以为直径的圆上.
故选：B
23．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B．点为该曲线的一个焦点
C．该曲线上任意两点之间的最大距离为
D．该曲线的离心率为
【答案】ACD
【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判断各选项.
【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为.
平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点.
在直角三角形中，由，
则有，，
，，
所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确；
该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确；
再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径，
在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则，
如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系，
则，过作垂直于轴，交椭圆于点，则，
设椭圆方程为，将代入得：，
最后可得，
由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误；
即椭圆离心率为，故D正确；
故选：ACD.
24．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知平面上动点的坐标满足，，.
(1)求点的轨迹方程.
(2)设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，.
（ⅰ）证明：直线过定点.
（ⅱ）设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）方程联立，消去即可求解；
（2）（ⅰ）设，，，通过求导，确定切线方程进而可求解；（ⅱ）由三角形面积公式得到进而可求解.
【详解】（1）因为，，所以，，
由得，，所以，
即点的轨迹方程为（）
（2）
（ⅰ）设，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，整理得，
同理曲线在点处的切线方程为
由于是两切线的交点，所以
所以直线的方程为，
整理得，令得
所以直线过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为，
当点在轴下方时，.
因为
因为，，所以
令（），
则
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最大值为.
25．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)“相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点.
(1)在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时，
（i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标；
（ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值；
(2)在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程.
【答案】(1)（i），最大值，；
（ii）当所在直线与该圆相切时，最大，
(2)
【分析】（1）（i）利用两直线夹角公式表示，化简换元利用二次函数性质求最大值.
（ii）用相对运动观点分析几何条件，找到当所在直线与该圆相切时，最大，即可得解.
（2）将椭圆放在新坐标系中，写出椭圆方程，利用椭圆与坐标轴相切得，进而得到原坐标轴所在两直线斜率的关系，进而得到椭圆中心点的轨迹方程.
【详解】（1）（i）如图1，由
可知，
所以

又且，
则，
设，
则，
故当且仅当即时，有最大值，此时点为；
（ii）如图2，视点固定，点为动点时，可等同于原坐标轴绕旋转，
故点在半径为1的圆上运动，
当所在直线与该圆相切时，最大，此时，
即，与（i）中结果一致.
（2）如图3，用“相对运动”的思想，可以视是定点，且为新的坐标原点，

让椭圆长轴落在新轴，短轴落在新轴，易知椭圆方程为，
此时点（原坐标原点）为与该椭圆相切的两条相互垂直切线的交点，
设为，当斜率均存在时，设两斜率为，
故的方程为，
与联立消有：，
其，
化简有：，
上式整理为关于的二次三项式：，
同理，
故为关于的方程的两不等实根，
于是，则；
当分别平行坐标轴时，易知可取，也满足.
综上可知，在新坐标系下，点始终与点距离为定值，
还原至原坐标系，点也始终距离点为定值，
但由于点始终在第一象限，
则点所在轨迹方程为，表示一段椭圆弧.
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专题01 直线与圆及圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线）
5大高频考点概览
考点01直线与圆
考点02椭圆
考点03双曲线
考点04抛物线
考点05轨迹问题
(
考点01
直线与圆
)
1．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦长为__________.
3．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为______．
4．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)（多选）已知直线，圆，则下列命题正确的有（ ）
A．直线l过定点
B．若直线l过C点，则
C．存在实数t，使得直线l与圆C相切
D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为
(
考点02
椭圆
)
7．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
8．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．12
9．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则（ ）
A．
B．
C．当与，不重合时，
D．设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是
10．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上．
(1)求出椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
11．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
(
考点03
双曲线
)
12．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________.
13．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
14．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 . 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____.
15．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（ ）

A． B．2 C． D．
16．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，_____；当时，则_________.
17．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)（多选）设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则双曲线的两条渐近线的方程是
B．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3
C．若，则的面积等于
D．若双曲线为等轴双曲线，且，则
18．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若，证明数列是等差数列.
(3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和.
(
考点04
抛物线
)
19．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和.
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程.
(2)求证：为定值.
(3)求面积的最小值.
21．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点.
(1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；
(2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积.
(
考点05
轨迹问题
)
22．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ）
A．直线上 B．圆上 C．抛物线上 D．椭圆上
23．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B．点为该曲线的一个焦点
C．该曲线上任意两点之间的最大距离为
D．该曲线的离心率为
24．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知平面上动点的坐标满足，，.
(1)求点的轨迹方程.
(2)设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，.
（ⅰ）证明：直线过定点.
（ⅱ）设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值.
25．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)“相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点.
(1)在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时，
（i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标；
（ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值；
(2)在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程.
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