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专题01数列
16大高频考点概览
考点01 等差数列的基本量
考点02 等差数列的性质
考点03 等差数列前n项和最值
考点04 等差数列前n项和性质
考点05 等比数列的基本量
考点06 等比数列的性质
考点07 等比数列前n项和性质
考点08 等差等比的证明
考点09 裂项相消法求和
考点10 错位相减法求和
考点11 并项求和法
考点12 数列分奇偶
考点13 数列与不等式
考点14 数列整除与插入项问题
考点15 数列的单调性
考点16 数列新定义
1．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)在等差数列中，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
2．(24-25高二下·北京平谷中学·期中)已知等差数列满足：，，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)设等差数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知数列是公差不为零的等差数列．，则________．
5．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)数列满足：对任意，数列，，是公差为的等差数列，且数列也是等差数列．若，，，则________；的前9项和等于________．
1．(23-24高二下·北京延庆区·期中)在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知在等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
3．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ）
A．6 B．13 C．7 D．42
4．(22-23高二下·北京第九中学·期中)已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（ ）
A．18 B．27 C．45 D．54
5．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)若，，成等差数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．(24-25高二下·北京八一学校·期中)已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．(23-24高二下·北京交通大学附属中学·期中)设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
3．(23-24高二下·北京第三十五中学·期中)若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
5．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)已知数列的前项和为
(1)求数列的通项公式
(2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由；
(3)求的最小值，并求取最小值时的值．
1．(23-24高二下·北京第一六一中学·期中)等差数列的前n项和为，，，则______．
2．(21-22高二下·北京理工附中·期中)已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，S11＝11，则公差d的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．(23-24高二下·北京中国人民附属中学·期中)设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
5．(21-22高二下·北京房山区房山中学·期中)已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件　　　　和　　　　　．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
1．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)在等比数列中，已知，则n为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)设等比数列的前n项和为．若，，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)设等比数列的公比，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
4．(23-24高二下·北京房山区·调研)已知等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）
A． B．1 C．或1 D．3
5．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)在各项均为正数的等比数列中， 则 ______.
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知等比数列满足，，则（ ）
A． B． C．8 D．16
3．(24-25高二下·北京房山区·调研)已知数列是等比数列，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．(22-23高二下·北京怀柔区第一中学·期中)设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为______（用数字作答）.
1．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（ ）
A．10 B．8 C．12 D．14
2．(23-24高二下·北京第八中学·期中)记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
5．(22-23高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
1．(24-25高二下·北京第九中学·期中)在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和.
2．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)已知数列的前n项和为，且.
(1)求出，并求出与的递推关系；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值.
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
4．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知无穷数列满足，，令.
(1)求，的值；
(2)证明：数列是等比数列，写出数列的通项公式；
(3)记数列的前n项和为，求，并判断数列：，，，…，，…的单调性.
5．(23-24高二下·北京第三十一中学·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.
1．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为．
（ⅰ）设数列的前项和为，求证：；
（ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明）
2．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)设是各项为正数的数列的前项和，且满足________．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项和.
从①；②；③，
三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，，且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和.
4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
条件①：；条件；②：；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．(24-25高二下·北京延庆区·期中)若各项均为正数的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
①数列是数列；
②；
③若是数列，则数列中必存在小于1的项；
④若是数列，数列的前项和为，存在正整数，使得.
其中，所有正确结论的序号是________.
1．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)若数列的前项和为，且，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数的极值点构成数列().
(1)求；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
3．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
4．(22-23高二下·北京第四中学·期中)已知数列的前项和，数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求使不等式成立的最小正整数的值.
5．(22-23高二下·北京第五十五中学·期中)已知数列中，，___________，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和.
从①前n项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)数列，的通项公式分别为，，数列满足，记为数列前n项和，则（ ）
A．124 B．128 C．132 D．136
2．(24-25高二下·北京平谷中学·期中)记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和
3．(24-25高二下·北京延庆区·期中)已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式及的最大值；
(2)无穷数列的首项为3，前项和为，在下列三个条件中选择一个，使得数列为等比数列.
条件①：，；条件②：；条件③：，.
（i）求数列的前项和；
（ii）若对都有，直接写出的取值范围（不要求计算过程）.
4．(24-25高二下·北京房山区·调研)已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，再从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知，若，求数列的前项和.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
5．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
1．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是__________.
①
②
③若为奇数，则
④
2．(22-23高二下·北京第一○一中学·期中)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
3．(22-23高二下·北京第十九中学·期中)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出，共需要共8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），.问：当时，试确定使得需要__________步“雹程”；若，则m所有可能的取值所构成的集合为__________.
4．(23-24高二下·北京第一六一中学·期中)已知数列的首项，其中，，令集合．
(1)若，写出集合A中的所有的元素；
(2)若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
(3)求证：．
5．(24-25高二下·北京延庆区·期中)已知各项均为正数的无穷数列满足：，其中是正实数.
(1)若，，写出，，的值；
(2)若数列中存在一项，，证明：；
(3)若数列中每一项都不是，证明：，.
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)设函数，且，，其中.
(1)计算，的值；
(2)设，求证：数列为等比数列；
(3)求证：.
3．(24-25高二下·北京第十五中学·期中)已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知等差数列的公差为d，，且2d是的等差中项
(1)求通项公式：
(2)等比数列的前n项和为，若，求n的最大值．
5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式，前n项和；
(2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
1．(23-24高二下·北京第八中学·期中)已知数列的前n项和为，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和．
2．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
3．(23-24高二下·北京中关村中学·期中)集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”．
(1)判断集合是否为“好集合”；
(2)若集合是“好集合”，求的值．
4．(24-25高二下·北京第九中学·期中)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
5．(21-22高二下·北京中国人民大学附属中学朝阳学校·期中)若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
(3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”．
1．(24-25高二下·北京海淀区·调研)设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)设无穷等比数列，则“为递减数列是”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(24-25高二下·北京大兴区·期中)设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)若项数为k（）的有穷数列满足如下两个性质，则称数列为Z数列：
性质①：；
性质②：对任意的i，j（），与至少有一个是数列中的项.
(1)分别判断下面两个数列是否为Z数列，并说明理由；
数列：1，2，3；
数列：0，1，2.
(2)若数列是Z数列，求证：；
(3)若数列是Z数列，且不是等差数列，求k的值.
2．(24-25高二下·北京八一学校·期中)已知无穷数列，给出以下定义： 对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”．
(1)已知数列、的通项公式为，，试判断数列，数列是否为数列”，并说明理由；
(2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有”；
(3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，．求数列的最小项的最大值．
3．(24-25高二下·北京大兴区·期中)给定项数为的数列，若数列满足，则称数列具有性质，定义.
(1)判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数列具有性质，求证：为等差数列的必要不充分条件是为常数列；
(3)已知数列共有n项，各项互不相等，对于，，若具有性质，记，且，求的所有取值.
4．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知数列，若存在，使得对任意，都有，则称为周期数列，其中满足条件的最小的T称为的最小周期．设数列满足，其中，，，．
(1)当，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列的最小周期；
(2)当时，求证：对任意，的最小周期为定值；
(3)当a为大于2的质数，时，设T为的最小周期，．求证：S为整数．（参考结论：若p为大于2的质数，则是p的倍数）
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专题01数列
16大高频考点概览
考点01 等差数列的基本量
考点02 等差数列的性质
考点03 等差数列前n项和最值
考点04 等差数列前n项和性质
考点05 等比数列的基本量
考点06 等比数列的性质
考点07 等比数列前n项和性质
考点08 等差等比的证明
考点09 裂项相消法求和
考点10 错位相减法求和
考点11 并项求和法
考点12 数列分奇偶
考点13 数列与不等式
考点14 数列整除与插入项问题
考点15 数列的单调性
考点16 数列新定义
1．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)在等差数列中，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式来求解即可.
【详解】由设等差数列的公差为，则，
故，
故选：C.
2．(24-25高二下·北京平谷中学·期中)已知等差数列满足：，，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.
【详解】等差数列的公差为，由，，
得，解得，
所以数列的通项公式，
所以.
故选：A.
3．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)设等差数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质可求.
【详解】在等差数列中，
故选：D.
4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知数列是公差不为零的等差数列．，则________．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，求出首项和公差的等量关系，求出结果即可.
【详解】设数列是首项，公差，
因为，所以，化简得，
所以.
故答案为：.
5．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)数列满足：对任意，数列，，是公差为的等差数列，且数列也是等差数列．若，，，则________；的前9项和等于________．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，利用依次表示，进而求出；再求出即可求出前9项和.
【详解】设等差数列的公差为，依题意，成等差数列，公差，
由成公差为的等差数列，得，
由成公差为的等差数列，得，
而，即，解得，所以；
则，由成公差为的等差数列，得，
所以的前9项和
.
故答案为：；
1．(23-24高二下·北京延庆区·期中)在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中项即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
2．(23-24高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知在等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据下标和性质求出，即可求出公差.
【详解】是等差数列，
，即，
．
故选：A．
3．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ）
A．6 B．13 C．7 D．42
【答案】C
【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为，为方程的两根，所以，
又数列是等差数列，所以，
故选：C.
4．(22-23高二下·北京第九中学·期中)已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（ ）
A．18 B．27 C．45 D．54
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题设得，则；
，则；
，则；
所以,
，则，
于是，所有这九个数的和为.
故选：C.
5．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)若，，成等差数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用等差中项，即可求出结果.
【详解】因为，，成等差数列，所以，解得，
故选：B.
1．(24-25高二下·北京八一学校·期中)已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】根据通项公式，由可得等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数，即可得结果.
【详解】因为为等差数列，，
所以等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数，
所以取得最小值时为8.
故选：A.
2．(23-24高二下·北京交通大学附属中学·期中)设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
【答案】D
【分析】将分别代入等差数列的通项公式和前项和公式中，即可得到首项和公差，根据数列得通项公式分析出数列得变化规律，得出在或时取最小值.
【详解】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
3．(23-24高二下·北京第三十五中学·期中)若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解
【详解】因为等差数列满足，，所以，，即等差数列的前10项为正数，从11项开始为负数，故当的前项和最大时，，
故选：A
4．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由等差数列的前项和公式和通项公式可得，，可知当时，取得最大值.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，则，则，即，
因为，即，即，
所以为递减数列，所以，
所以当时，取得最大值.
故选：B.
5．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)已知数列的前项和为
(1)求数列的通项公式
(2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由；
(3)求的最小值，并求取最小值时的值．
【答案】(1)
(2)是等差数列，证明见详解；
(3)；或5
【分析】（1）根据与的关系求出通项公式；
（2）根据等差数列的定义判断；
（3）结合二次函数性质求解最小值及取得最小值时n的值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
又，
所以时，也成立，
所以数列的通项公式为，.
（2）数列为等差数列，证明如下：
因为，
所以数列是等差数列.
（3）因为，又，
所以当或时，最小，最小值为.
1．(23-24高二下·北京第一六一中学·期中)等差数列的前n项和为，，，则______．
【答案】
【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】根据等差数列前项和的片段和性质可知：也构成等差数列，也即构成等差数列，
则，解得.
故答案为：.
2．(21-22高二下·北京理工附中·期中)已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前n项和公式推理计算作答.
【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，
所以.
故选：B
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，S11＝11，则公差d的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质求解即可
【详解】因为等差数列{an}，，,故，故，故
故选：D
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解，可利用等差数列的性质求解，属于基础题
4．(23-24高二下·北京中国人民附属中学·期中)设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的公差为，利用等差数列通项公式和前项和公式求解即可；
（2）由（1）判断出前六项为正，后四项为负，进而利用前项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，，，
解得，，
故.
（2）由（1）知，，
，，，
．
5．(21-22高二下·北京房山区房山中学·期中)已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件　　　　和　　　　　．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
【答案】(1)
(2)当时，当时
【分析】（1）根据可知数列是以公差的等差数列，然后求出首项，即可得通项.
（2）由，分情况讨论即可得
【详解】（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故
选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知 ，
选①③，无法确定数列.
（2），其中,
当，时，
当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
1．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)在等比数列中，已知，则n为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由题意可得，进而得，求解即可.
【详解】在等比数列中，，所以，
由，解得.
故选：A.
2．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)设等比数列的前n项和为．若，，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的求和公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，由于，所以，
则由公式可得，
解得，所以，
故选：B
3．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)设等比数列的公比，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的定义即可.
【详解】由题意可得.
故选：B
4．(23-24高二下·北京房山区·调研)已知等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）
A． B．1 C．或1 D．3
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，利用基本量代换列方程组即可求出.
【详解】设等比数列的公比为，根据题意可得，
，解得或.
故选：C.
5．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)在各项均为正数的等比数列中， 则 ______.
【答案】2
【分析】由等比中项性质求得，结合题设求出公比，即可得解.
【详解】因是正项等比数列，设公比为，则，
由，可得，
又，则公比，
所以.
故答案为：2
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由题意，，即，
又，则.
故选：D.
2．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知等比数列满足，，则（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】C
【分析】由等比数列性质得到，相乘得到答案.
【详解】由等比数列性质可得，
又，故，所以，
所以.
故选：C
3．(24-25高二下·北京房山区·调研)已知数列是等比数列，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据等比数列项的下标和性质计算求解.
【详解】因为数列是等比数列，
又因为，则.
故选：C.
4．(22-23高二下·北京怀柔区第一中学·期中)设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】是首项为正数的等比数列，若公比，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有，充分性满足，
但是时，数列各项均为正，，也就是说时，得不出，不必要．
故选：A．
5．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为______（用数字作答）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则等比数列为，
不妨设调整顺序后的等差数列为，则，
∵，∴，解得或（舍），
令，则，，
∴满足条件的一组的值依次为.
故答案为：（答案不唯一）.
1．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（ ）
A．10 B．8 C．12 D．14
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和的性质列式求解.
【详解】正数的等比数列的前n项和为，则成等比数列，
则，于是，
所以.
故选：D
2．(23-24高二下·北京第八中学·期中)记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质列式，由此求得.
【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列，
其中，所以，
所以.
故选：A
4．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列定义求解并验证即可.
【详解】在等比数列中，由，得，
，，
因此公比，，解得，
此时，符合题意，所以.
故选：C.
5．(22-23高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】是以为公比的等比数列,
所以，
所以公比进而，
所以，
故选：B
1．(24-25高二下·北京第九中学·期中)在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知求出，，即可得出证明；
（2）根据等比数列通项公式得出，即可得出答案；
（3）根据已知得出，进而裂项求和，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以有，
所以，.
（3）由（2）可知，
所以，
所以，，
所以有数列的前n项和.
2．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)已知数列的前n项和为，且.
(1)求出，并求出与的递推关系；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）令代入已知可求得9，由与的关系可得；
（2）由可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式；
（3）根据（2）的通项公式得，则恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.
【详解】（1）当时，，而，
所以，解得9，
当时， ，，
得：，整理得：，
经检验，，满足上式，
所以；
（2）由得 ，
又，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以 .
（3）由题意，
由（2）可知： ，
所以，所以，令，
则，而，
所以，即数列单调递减，
故，所以，所以的最小值为.
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求出.
【详解】（1）证明：因为，
数列的首项为，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）因为，所以，
所以
.
4．(24-25高二下·北京大兴区·期中)已知无穷数列满足，，令.
(1)求，的值；
(2)证明：数列是等比数列，写出数列的通项公式；
(3)记数列的前n项和为，求，并判断数列：，，，…，，…的单调性.
【答案】(1)2，4
(2)证明见解析，
(3)，数列：，，，…，，…是递增数列.
【分析】(1)利用递推思想，由去求出即可；
(2)利用等比数列的递推思想去证明等比数列，然后利用等比数列公式求通项即可；
(3)利用等比数列求和公式求和，再利用递推思想证明数列单调性即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，.
（2）因为，所以.
由(1)知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以的通项公式为.
（3）由(2)知，.所以.
故数列的通项公式为.
数列的前n项和
.
因为当时，，
所以数列：，，，…，，…是递增数列.
5．(23-24高二下·北京第三十一中学·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据证明为定值即可；
（2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
所以，
则，
由，
得，
即，
令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
由，
，
则当时，，
所以若，正整数的所有取值为.
1．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为．
（ⅰ）设数列的前项和为，求证：；
（ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用累加法计算可得；
（2）（ⅰ）依题意可得为等差数列，求出其通项公式，即可求出，由，利用裂项相消法计算可得；（ⅱ）参变分离可得对任意，恒成立，令，利用作差法判断其单调性，即可求出，从而求出的取值范围.
【详解】（1）因为，即，
所以，，…，将这个等式累加，
得，
又，所以，
因为也满足，所以．
（2）（ⅰ）因为，所以为等差数列，
设公差为，又，，所以，
所以，则；
所以，
所以
；
（ⅱ）因为对任意，恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
所以，
所以，所以，则实数的最小值.
2．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)设是各项为正数的数列的前项和，且满足________．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项和.
从①；②；③，
三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
【答案】(1)选择条件见解析，
(2).
【分析】（1）选①，利用前项和与第项的关系求出通项公式；选②③，判定等比数列，再求出通项公式.
（2）由（1）求出，进而求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）选择①，，当时，，
整理得，而，即，
因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为.
选择②，依题意，，由，得数列是等比数列，设其公比为，
由，得，解得，
所以数列的通项公式为.
选择③，由，得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，，
所以.
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，，且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d，代入等差数列的通项公式即可得解；
（2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求数列前n项和为.
【详解】（1）在等差数列中，是与的等比中项，
所以
所以
因为，解得，
所以.
（2）因为，
所以，
所以
.
4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
条件①：；条件；②：；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式，结合特殊项计算即可求各自通项.
（2）若选①，利用错位相减法计算即可，若选②，利用裂项相消法计算即可，若选③，利用分组求和法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，
当时，，解得，因此，
当时，，即，解得，
所以.
（2）选择条件，由（1）得，，
则，
于是，
两式相减得
所以．
选择条件，由（1）可得，，
则 ，
所以．
选择条件，由（1）可得，，
则
所以．
5．(24-25高二下·北京延庆区·期中)若各项均为正数的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
①数列是数列；
②；
③若是数列，则数列中必存在小于1的项；
④若是数列，数列的前项和为，存在正整数，使得.
其中，所有正确结论的序号是________.
【答案】②③④
【分析】代入定义计算即可判断①；借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可判断②③；由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可判断④.
【详解】当时，，，
则，故不是数列，故①错误；
若是数列，则且，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，当时，则总存在正整数，使，
与矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
则，
由随的增大而增大，
故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项，故②③正确；
由，得，
即
，
则
，由随的增大而增大，
且时，，
故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数，使得，故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】关键点睛：本题选项④的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式.
1．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)若数列的前项和为，且，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）因为①，
所以②，，
①②得，又
所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列，
，
，
等差数列的公差为.
（2）由（1）可得，
，
两式相减得，
2．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数的极值点构成数列().
(1)求；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出.
（2）利用等差数列定义判断即可.
（3）由（2）的结论，利用错位相减法求出前项和.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则，
所以.
（2）由（1）知，数列的通项公式为，则，
而，
所以数列是等差数列.
（3）由（2）知，，则，
，
则，
两式相减，得，
所以.
3．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)选①②，答案均为
(2)
【分析】（1）若选①，由前n项和与关系可得数列的通项公式；若选②，由前项之积与关系可得数列的通项公式；
（2）与（1）结合，利用错位相减法可得答案.
【详解】（1）若选①，；
当时，，
则是以为首项，公比为2的等比数列，则；
若选②，，当时，，
又满足，则时，；
（2）由（1）可得.
则，
.
则.
4．(22-23高二下·北京第四中学·期中)已知数列的前项和，数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求使不等式成立的最小正整数的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)8
【分析】（1）根据求出，为公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求出答案；
（2）利用错位相减法求和得到答案；
（3）在（2）的基础上，解不等式结合单调性得到答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，
经检验，，满足，
综上：，
故，
因为①，当时，②，
两式相减得，即，
中，令得，，
故为公比为2的等比数列，首项为1，
所以，
（2），
则，
两式相减得，
故；
（3），
因为当时，，又单调递增，
故在单调递增，
又，又，
解得，
故最小正整数的值为8.
5．(22-23高二下·北京第五十五中学·期中)已知数列中，，___________，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和.
从①前n项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案；
选②，根据与的关系结合等差数列的定义即可得出答案；
选③，利用等差中项法可得数列是等差数列，再求出公差，即可得解；
（2）求出数列的通项公式，再根据等比数列的定义即可得证；
（3）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.
【详解】（1）解：选①，
当时，，
当时，也成立，
所以；
选②，
因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以；
选③且，
因为，所以数列是等差数列，
公差，
所以；
（2）解：由（1）得，
则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（3）解：，
，①
，②
由①②得，
所以.
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)数列，的通项公式分别为，，数列满足，记为数列前n项和，则（ ）
A．124 B．128 C．132 D．136
【答案】D
【分析】根据数列通项公式，分别求出前7项，写出数列前7项求和.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以数列前7项为，则.
故选：D.
2．(24-25高二下·北京平谷中学·期中)记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式；
（2）利用分组求和法可求得.
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为，
由，，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为，
因为，由得，解得，
所以，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，
.
3．(24-25高二下·北京延庆区·期中)已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式及的最大值；
(2)无穷数列的首项为3，前项和为，在下列三个条件中选择一个，使得数列为等比数列.
条件①：，；条件②：；条件③：，.
（i）求数列的前项和；
（ii）若对都有，直接写出的取值范围（不要求计算过程）.
【答案】(1)，最大值；
(2)（i）选择条件③，；（ii）.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式计算出即可求解；
（2）先根据等比数列的定义，判断出选择条件③使得数列为等比数列，（i）根据分组求和法求数列的前项和即可；（ii）分类讨论当为奇数和偶数时，利用分离参数法求解恒成立问题即可得出的取值范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，
所以.
令，得，所以当或时，取最大值；
（2）选择条件③.
对于条件①：，，，故数列为等差数列；
对于条件②：，无法判定数列为等比数列；
对于条件③：，
因为，，，所以.
所以，即，故数列是首项为3，以为公比的等比数列.
（i）记数列的前项和为，
则
（ii）由（1）知，数列是首项为3，以为公比的等比数列，
所以数列的前项和为，
由得，
当为偶数时，，即，令，则，又在单调递增，故，所以；
当为奇数时，，即，令，则，又 ，所以；
综上所述，.
4．(24-25高二下·北京房山区·调研)已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，再从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知，若，求数列的前项和.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）先根据等差数列的性质求出，再根据等差数列的通项公式求出即可；
（2）先根据条件求出等比数列的通项公式，进而得到，再根据等差及等比数列的前和公式，分组求和即可
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，
解得，所以 ，
所以数列的通项公式；
（2）若选①，由可知是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
；
若选②，由可知是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
；
若选③，由，可得，
所以可知是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以，
所以
.
5．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求和公式求出，即可求出，从而求出公差，再由等差数列通项公式计算可得；
（2）首先求出、，即可求出通项公式，从而得到，再由分组求和法计算可得.
【详解】（1），即，
又，，所以等差数列的公差，
等差数列的首项，
.
（2）因为是和的等差中项， ，即，
又，，，
所以等比数列的公比，
所以，则，
所以
1．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是__________.
①
②
③若为奇数，则
④
【答案】①③④
【分析】由数列的递推公式，逐项计算判断①；由求解判断②；利用并项求和及等差数列前项和公式求解判断③；由为奇数可得，再求得即可判断④.
【详解】对于①，当时，，由，得；当时，，则，①正确；
对于②，当时，得，则，②错误；
对于③，当为奇数时，
，③正确；
对于④，当为奇数，，，两式作差，可得，
由，得，，，，…，则，，
当时，，因此，④正确.
故选：①③④
2．(22-23高二下·北京第一○一中学·期中)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
【答案】A
【分析】根据递推关系逐步求解即可.
【详解】由已知可得，，.
所以解下4个圆环最少需要移动7次.
故选：A.
3．(22-23高二下·北京第十九中学·期中)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出，共需要共8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），.问：当时，试确定使得需要__________步“雹程”；若，则m所有可能的取值所构成的集合为__________.
【答案】
【分析】根据“冰雹猜想”的计算规律，由一直计算下去，直到使得，即可求解，再由，根据“冰雹猜想”的规律倒推，分类情况讨论，求得的值，即可求解.
【详解】（1）当，可得，
所以需要6步使得；
（2）若，则或，
①当时，或，
若，则；若，则.
②当时，或，
综上所述，可得或或或，所以集合.
故答案为：；.
4．(23-24高二下·北京第一六一中学·期中)已知数列的首项，其中，，令集合．
(1)若，写出集合A中的所有的元素；
(2)若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
(3)求证：．
【答案】(1)4，5，6，2，3，1；
(2){, }；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由，利用递推关系依次求出a2，a3，a4，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前面项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；
（2）设出数列中的一项为，若是3的倍数，则有；若是被3除余1，由递推关系得到，若被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到符合的形式，再保证满
足≤2020即能求出答案；
（3）分被3除余1，被3除余2，被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项≤3，然后分别由，，进行推证，最终证得1∈A.
【详解】（1）因为，，，，，，，
所以集合的所有元素为：4，5，6，2，3，1.
（2）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，
如果是3的倍数，则；
如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；
如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.
因此该7项的等比数列的公比为.
又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），
设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得
因为，所以或，
由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2020的各项只有：
或, 或,
所以首项的所有可能取值的集合为{, }.
（3）若被3除余1，则由已知可得,；
若被3除余2，则由已知可得,,；
若被3除余0，则由已知可得,；
因此，
所以，对于数列中的任意一项，“若，则”，
因为，所以.
所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若,结论得证.
若,则；若,则,
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
5．(24-25高二下·北京延庆区·期中)已知各项均为正数的无穷数列满足：，其中是正实数.
(1)若，，写出，，的值；
(2)若数列中存在一项，，证明：；
(3)若数列中每一项都不是，证明：，.
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式分别求，，的值即可；
（2）分类讨论当是奇数时，当是偶数，根据及递推公式分别计算即可证明；
（3）先研究相邻三项，借助递推公式表示为，利用基本不等式得出，再利用作差法判断，，及，从而得证.
【详解】（1），，，
（2）因为，
当是奇数时，、为偶数，为奇数，
，
，，
可得，整理得：，解得，
当是偶数，、均为奇数，
，所以，
所以，
综上，当时，.
（3）因为，是偶数，所以，
对于而言，由于为奇数，所以，所以有，
由于数列每一项均为正数，所以利用基本不等式，有，
由于取不到等号，故，
所以数列从第3项开始，奇次项均大于，
又因为
，
，
同时有，
所以数列从第4项开始，偶次项均小于，
，.
1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果.
【详解】根据题意令，
显然为常数；
所以为等差数列，首项为，
由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0，
所以，即，解得，
故选：A
2．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)设函数，且，，其中.
(1)计算，的值；
(2)设，求证：数列为等比数列；
(3)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系直接代入计算可得结果；
（2）利用等比数列定义证明即可得出结论；
（3）根据（2）中的分析可得，再由作差法可分别证明且，可得结论.
【详解】（1）由题意，得，
因为，所以，.
（2）证明：因为，
所以.
所以数列是首项，公比为的等比数列.
（3）由（2），得，
所以.
因为，
且当时，，，
所以，即.
因为，
所以.
综上，对于任意，都有.
3．(24-25高二下·北京第十五中学·期中)已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，；
(3).
【分析】（1）根据等差数列定义求出其公差即可得通项公式；
（2）由数列中与的关系式，利用等比数列定义可证明结论，即可写出等比数列的通项公式；
（3）依题意可得恒成立，利用作差法得出其单调性即可得的最大值为，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）设数列的公差为，
由，可得，解得；
所以，
即数列的通项公式为；
（2）由可得，
两式相减可得，即可得，
，则为定值，
因此可知数列是以为首项，公比的等比数列，
可得，显然首项也符合上式；
即的通项公式为；
（3）由（2）可知；
由可得，
因此可得恒成立，
令，则；
显然可知当时，为递增，当，为递减；
且易知，，因此可知的最大值为，
可得，
即实数的取值范围为.
4．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知等差数列的公差为d，，且2d是的等差中项
(1)求通项公式：
(2)等比数列的前n项和为，若，求n的最大值．
【答案】(1)
(2)n的最大值为
【分析】（1）根据等差数列的基本公式和性质列方程组求解，从而得通项公式：
（2）根据等比数列的基本量求解通项公式，从而得前n项和为，解不等式即可得结论.
【详解】（1）由题可得：，
所以；
（2）设等比数列的公比，
则，，所以，
因为，所以，
则，
所以，
解得，所以n的最大值为.
5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式，前n项和；
(2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，n＝41
【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和；
（2）把Sn分类代入，求解得答案．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，且成等比数列，
得，解得或，
当时，，；
当时，，．
（2）当时，，此时不存在正整数n，使得成立；
当时，由，得，解得或．
此时存在正整数，使得成立．
1．(23-24高二下·北京第八中学·期中)已知数列的前n项和为，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据公式得到，得到，再根据等比数列公式得到答案.
（2）根据等差数列定义得到，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1），当时，，得到；当时，，
两式相减得到，整理得到，
即，故，
数列是首项为，公比为的等比数列，，
即，验证时满足条件，故.
（2），故，
，
，
两式相减得到：，
整理得到：，故.
2．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
【答案】(1)是“等比源数列”， 不是“等比源数列”，理由见解析
(2)不是“等比源数列”，理由见解析
【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，
（2）假设是“等比源数列”得，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.
【详解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以不是“等比源数列”．
（2）不是“等比源数列”．
假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，
即中存在的，，三项成等比数列，
也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“等比源数列”．
3．(23-24高二下·北京中关村中学·期中)集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”．
(1)判断集合是否为“好集合”；
(2)若集合是“好集合”，求的值．
【答案】(1)为“好集合”； 不是“好集合”
(2)
【分析】（1）先由集合求出，再由“好集合”定义进行判断即可.
（2）由先求，再结合和中元素结构特征即可推导求解.
【详解】（1）因为，
所以由，
得，显然中的元素从小到大排列后是等差数列，
又由集合中元素个数为可知中元素个数应分别为，
故根据“好集合”定义可知为“好集合”， 不是“好集合”.
（2）因为集合是“好集合”，
所以集合中元素个数为，且和是它的最小的两个元素，
所以集合接下来的四个元素从小到大排列应为，
所以，.
4．(24-25高二下·北京第九中学·期中)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
【答案】(1)1、2、3、18；
(2)50不是“佳幂数”，理由见解析
(3)（ⅰ）1897；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由数列的“佳幂数”的定义求解即可；
（2）由题意求出，由“佳幂数”的定义判断即可；
（3）(i)根据（2）中的分组先确定时，所分组数的范围，结合新定义配出的形式，确定出的最小值；(ii)根据(i)中的结论证明即可.
【详解】（1）因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第组：，
则该数列的前项的和为：
，①
当时，，
则，
由于，对，，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）在①中，要使，有
出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为
第组前项的和为．
则只需．
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤
①审题：仔细阅读材料，认真理解题意；
②建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到原问题中.
5．(21-22高二下·北京中国人民大学附属中学朝阳学校·期中)若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
(3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”．
【答案】(1)是“等比源数列”；不是“等比源数列”，理由见解析
(2)不是“等比源数列”，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题中定义判断
（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解
（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解
【详解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以不是“等比源数列”．
（2）不是“等比源数列”．
假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，
即中存在的，，三项成等比数列，
也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“等比源数列”．
（3）证明：因为等差数列单调递增，所以．
因为则，且，所以数列中必有一项．
为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项，
使得成立，即，
即成立．
当，时，上式成立．
所以中存在，，成等比数列．
所以，数列为“等比源数列“．
1．(24-25高二下·北京海淀区·调研)设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案.
【详解】若递减，则
因此需要满足：且恒成立；
若，，则对所有成立，
若，，则存在使得，与矛盾
递减的充要条件是且，
即若递减，则为递增数列，充分性成立；
若为递增数列，则，
，
由于不知道的正负，故无法判断的正负，
故不能得到为递减数列，必要性不成立，
例如为以下数列：，
则为，不是递减数列，
所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件.
故选：A.
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的单调性和首项与公比之间的关系，判断出两个数列递增对公比的要求即可.
【详解】设等比数列的公比为，当首项，数列单调递增，则.
数列，则数列，首项为，公比为，
当数列单调递增时，若时，则，即，
若时，首项，则，即，所以当数列单调递增时或.
所以由“数列单调递增”能推出“数列单调递增”，
由“数列单调递增”不能推出“数列单调递增”，
所以在等比数列，首项条件下，“数列单调递增”是“数列单调递增”的充分不必要条件，
故选：A.
3．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)设无穷等比数列，则“为递减数列是”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意验证其充分性与必要性即可.
【详解】充分性，由为递减数列，则有2种情况①，此时，
②，此时，综上，充分性不成立，
必要性，因为无穷等比数列，，则，
所以且，即为递减数列，故必要性成立，
综上，为递减数列是的必要不充分条件，
故选：B.
4．(24-25高二下·北京大兴区·期中)设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据等比数列递增性质及特殊数列结合必要不充分条件定义判断即可.
【详解】当“为递增数列”，则“，使得”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的必要条件；
当，则，使得，但是“不为递增数列”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的不充分条件；
故选：B.
5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式以及函数性质，分别对首项和公比分类讨论举反例可得结论.
【详解】当首项时，若，此时数列单调递减，
如，因此充分性不成立；
若数列单调递增，当首项，时，满足题意，
如，可知必要性不成立；
综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)若项数为k（）的有穷数列满足如下两个性质，则称数列为Z数列：
性质①：；
性质②：对任意的i，j（），与至少有一个是数列中的项.
(1)分别判断下面两个数列是否为Z数列，并说明理由；
数列：1，2，3；
数列：0，1，2.
(2)若数列是Z数列，求证：；
(3)若数列是Z数列，且不是等差数列，求k的值.
【答案】(1)数列不是Z数列，是Z数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)4
【分析】（1）由数列中，当时，与都不是数列中的项，而数列中，一定是数列中的项，即可求解；
（2）根据Z数列的性质可得若，则，从而得，这个等式相加后可证；
（3）根据Z数列的性质以及不是等差数列，对参数进行分类讨论即可.
【详解】（1）对于数列：1，2，3，当时，，，
此时与都不是数列中的项，所以数列：1，2，3不是Z数列；
对于数列：0，1，2，若对任意的i，j（），可得或1或2，
可得一定是数列中的项，所以数列：0，1，2是Z数列；
（2）证明：记数列的各项组成的集合为，又，
由数列为Z数列，，所以，即，所以，
设，因为，所以，
又，
则，，…，，，
将上面的式子相加，得，
所以.
（3）（i）当时，由②，，，
与数列不是等差数列矛盾，不合题意；
（ii）当时，存在数列符合题意，例如数列0，2，6，8，故可为4.
（iii）当时，由（2），①
当时，，所以，.
又，
，
所以，，…，.
所以，
因为，所以，，得，，
所以②
由①②两式相减得，.
与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
综上所述，.
2．(24-25高二下·北京八一学校·期中)已知无穷数列，给出以下定义： 对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”．
(1)已知数列、的通项公式为，，试判断数列，数列是否为数列”，并说明理由；
(2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有”；
(3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，．求数列的最小项的最大值．
【答案】(1)数列是“数列”，数列不是“数列”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用“数列”的定义判断即可；
（2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取，即可求证充分性，
（3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解.
【详解】（1）因为数列、的通项公式为，，
则，故数列是“数列”，
，即，
故数列不是“数列”.
（2）先证明必要性：
因为为“数列”，所以对任意的，都有，即，
所以对任意的、、，当时，
有，
所以，
又，
所以，
又，则
故，即，故，
再证明充分性：
对于任意的、、，当时，有，
即，
对于任意的,，则有，
即可，所以为“数列”，
因此，数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有.
（3）数列为“严格数列”，且对任意的，有，即，
设，则为单调递增数列，且，
所以
因为，，所以，
所以存在，时，，，
所以，当，，，数列为单调递减数列，
当，，，
因此存在最小值，且最小值为，
由于，所以，，，，
且，，，
所以，即，
，即
所以，
因为，
当时，，
当时，，
当时，
所以当时，的最大值为，
此时，因为，
所以数列的最小项的最大值为.
3．(24-25高二下·北京大兴区·期中)给定项数为的数列，若数列满足，则称数列具有性质，定义.
(1)判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数列具有性质，求证：为等差数列的必要不充分条件是为常数列；
(3)已知数列共有n项，各项互不相等，对于，，若具有性质，记，且，求的所有取值.
【答案】(1)具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)和.
【分析】（1）依据性质的定义判断；
（2）必要性结合等差数列的定义可证，不充分性，可举反例；
（3）当可结合否定，当、时举例；当时，列举的所有可能性，推出矛盾.
【详解】（1）因为，所以数列1，2，4，6具有性质.
（2）先证必要性，
若是等差数列，设公差为，
则，所以为常数列，
所以“为常数列”是“为等差数列”的必要条件；
再证不充分性，
若是常数列，设，
则当时，摆动数列：，，，，…，具有性质，
且，故，，，，…，不是等差数列，
所以“为常数列”不是“为等差数列”的充分条件，
因此，为等差数列的必要不充分条件是为常数列.
（3）当时，因为，
所以，不符合；
当时，数列：3，2，4，1，
此时，符合；
当时，数列：2，3，4，5，1，
此时，符合；
以下证当时，不存在满足题意的，
因为，且数列具有性质，
所以，且，
所以有以下三种可能：
①②③
当时，
因为，且数列各项互不相等，
所以，，…，是公差为1（或）的等差数列，
当公差为1时，由，得或，
或与已知矛盾，
当公差为时，同理得出与已知矛盾；
所以当时，不存在n满足题意.
其他情况同理，不存在n满足题意.
综上，n的所有取值为4和.
4．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知数列，若存在，使得对任意，都有，则称为周期数列，其中满足条件的最小的T称为的最小周期．设数列满足，其中，，，．
(1)当，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列的最小周期；
(2)当时，求证：对任意，的最小周期为定值；
(3)当a为大于2的质数，时，设T为的最小周期，．求证：S为整数．（参考结论：若p为大于2的质数，则是p的倍数）
【答案】(1)4
(2)8
(3)证明见详解
【分析】（1）直接列举数列的前几项，进而发现周期；
（2）根据条件可知，，找出最小的值即可；
（3）根据条件可知，，因此是的约数，求出数列在一个周期内的和，结合等比数列的前n项和即可证明.
【详解】（1）对于
数列是的最小周期是4；
对于
数列的最小周期是4；
对于
数列是的最小周期是4；
对于
数列是的最小周期是4；
故数列的最小周期是4.
（2）当时，数列是由和递推关系定义的，
递推关系可表示为模运算：
该递推的周期与2在模17下的阶数有关，即最小的使得，
因为，，，．
因此，2的阶数为8，即，
推广到任意初始值，由于是质数，且，故与17互质，
此时，数列的周期仅取决于2的阶数，与初始值无关，
因此，无论取何值，数列的最小周期均为8.
（3）数列是由和递推关系定义的，
数列的递推关系为，
因为，故数列的通项为：
根据费马小定理，，因此是的约数，
设T为的最小周期，即是2在模下的阶数，即最小的满足，
在一个周期内，
由等比数列前n项和可知，
因为是2的阶数，所以，因此：
即整除，从而整除，
因此：，
所以，
因为，所以是整数.
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